高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 一題多解專題三 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題(1).doc

一題多解專題三：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題 1.構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法(1) 對于(或可化為)左右兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式,構(gòu)造函數(shù)f(x),使原不等式成為形如 f(a)f(b)的形式.(2)對形如f(x)g(x),構(gòu)造函數(shù)f(x)= f(x)-g(x).(3)對于(或可化為)的不等式,可選(或)為主元,構(gòu)造函數(shù)(或 ).2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形. (2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)對h(x)求導(dǎo). (4)利用判斷h(x)的單調(diào)性或最值. (5)結(jié)論.例：設(shè)為常數(shù)），曲線與直線在(0，0)點相切. (1)求的值. (2)證明：當(dāng)時，.【解題指南】(1)點在曲線上，則點的坐標(biāo)滿足曲線方程；同時據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以建立 另一個方程，求出a,b; (2) 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式【解析】方法一：（1）由的圖象過點（0，0）得b=-1； 由在點（0，0）的切線斜率為， 則. （2）當(dāng)時， 令，則 . 令，則當(dāng)時， 因此在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)，又， 則時， 所以時，即在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)， 由，則時， 故時，即.方法二：由（1）知， 由基本不等式，當(dāng)時， （i) 令，則， 故，即 （ii） 由（i)、（ii）得，當(dāng)時， 記，則當(dāng)時， 因此在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)，又，得， 故時，.針對性練習(xí)：1設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xr.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln 21且x0時，exx22ax1.解析(1)由f(x)ex2x2a，xr知f(x)ex2，xr.令f(x)0，得xln 2. 于是當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)2(1ln 2a)(2)設(shè)g(x)exx22ax1，xr， 于是g(x)ex2x2a，xr. 由(1)知當(dāng)aln 21時，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是對任意xr都有g(shù)(x)0，所以g(x)在r內(nèi)單調(diào)遞增 于是當(dāng)aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0) 而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.2. 設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)。（1） 求正實數(shù)的取值范圍；（2） 設(shè)，求證： 解：（1）對恒成立， 對恒成立 又 為所求。 （2）取， 一方面，由（1）知在上是增函數(shù)， ,即； 另一方面，設(shè)函數(shù) 在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又 當(dāng)時，, , 即 綜上所述，。3.已知函數(shù)， 證明：對于任意的兩個正數(shù)，總有成立； 解：由：， 而：， 又因為：所以：，即：成立。4.設(shè)，函數(shù) .(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，函數(shù) 取得極值，證明：對于任意的 .解：(1) 當(dāng)時，恒成立，在上是增函數(shù)； 當(dāng)時，令，即，解得. 因此，函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增， 在區(qū)間 內(nèi)也單調(diào)遞增.令，解得.因此，函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減. （2）當(dāng)時