傳染病感染數(shù)學(xué)模型論文.doc

5 傳染病感染問(wèn)題研究一、 摘要：面對(duì)嚴(yán)重影響人類(lèi)生活甚至生存的傳染病感染問(wèn)題，越來(lái)越多的人意識(shí)到研究其傳染的嚴(yán)峻性和重要性。許多學(xué)者和專(zhuān)家都投入了巨大的精力花費(fèi)了許多時(shí)間來(lái)研究各種傳染病的傳播規(guī)律和預(yù)防手段，目的就是爭(zhēng)取將其對(duì)人類(lèi)的損害降到最低。利用數(shù)學(xué)模型，建立適當(dāng)?shù)募僭O(shè)然后對(duì)傳染病感染問(wèn)題進(jìn)行適模擬然后進(jìn)行研究，找出適當(dāng)?shù)念A(yù)防手段是目前研究傳染病傳播比較流行的做法。誠(chéng)然對(duì)于現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜和不可預(yù)測(cè)性我們?cè)诮⒛Ｐ蜁r(shí)是無(wú)法進(jìn)行完整的模擬，只能對(duì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行適當(dāng)合理的假設(shè)。因此本文就是就是在對(duì)傳染病感染進(jìn)行簡(jiǎn)單假設(shè)（孤島疾病問(wèn)題）的基礎(chǔ)上對(duì)傳染病感染問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并根據(jù)給出數(shù)據(jù)驗(yàn)證建模的準(zhǔn)確性，分析模型的優(yōu)缺點(diǎn)并給出改進(jìn)方案。二、 關(guān)鍵詞:傳染病 數(shù)學(xué)模型 微積分 三、 引言： 在人類(lèi)生活中，一直受到各種傳染病的困擾，造成各種影響范圍巨大人數(shù)眾多的死亡事件，如十四世紀(jì)四十年代肆虐歐洲的“黑死病”，共造成了全世界大約7500萬(wàn)人死亡，其中2500萬(wàn)為歐洲人約占?xì)W洲總?cè)丝诘娜种唬陂g讓整個(gè)歐洲出現(xiàn)了許多“空城”“死城”影響巨大。雖然隨著醫(yī)學(xué)的進(jìn)步，諸如霍亂、天花等曾肆虐全球的疾病已經(jīng)得到了有效的控制，但是一些全新的，不斷變異升級(jí)的傳染病卻不間斷的向人類(lèi)襲來(lái)，如二十世紀(jì)八十年代開(kāi)始迅速傳播艾滋??；以及2003年席卷全球肆虐整個(gè)中國(guó)的“非典型肺炎（SARS）”和此后陸續(xù)出現(xiàn)的瘋牛病、禽流感和豬流感都給人們的生活和生命帶來(lái)極大的危害和困擾。長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳統(tǒng)的傳染病模型，模擬和描述傳染病的傳播過(guò)程，解釋傳播規(guī)律，分析受感染人群以及人數(shù)的變化規(guī)律，探索抑制和制止傳染病傳播和蔓延手段等，都是世界各國(guó)政府和專(zhuān)家學(xué)者們關(guān)注的課題之一。 研究傳染病模型不可能通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)，而且從醫(yī)療部門(mén)和衛(wèi)生組織得到資料也是十分有限的，而且這些資料絕大多數(shù)是不完全和不充分的，同時(shí)由于不同的傳染病傳播的過(guò)程方式傳染源各有不同，所以，我們只能按照一般的機(jī)理建立簡(jiǎn)單的模型。四、 問(wèn)題重述與分析:考慮在一個(gè)人口數(shù)量為N的孤島上，一部分到島外旅游的居民回來(lái)使該島感染了一種高傳染性的疾病。在某時(shí)刻t將會(huì)被感染的人數(shù)為X(t)。1) 在合理的假設(shè)下建立模型2) 若初始被感染的人數(shù)，畫(huà)出X關(guān)于t的圖形；若初始被感染人數(shù)為，畫(huà)出X關(guān)于t的圖形。3) 把X作為t的函數(shù)，解出前面給出的模型。4) 由 3)，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)求X的極限。5) 設(shè)島上的人口有5000人，在傳染期的不同時(shí)刻被感染人數(shù)如下表天數(shù)t2610被感染人數(shù)X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5問(wèn)這些數(shù)據(jù)能否支持所6) 利用2)的結(jié)果估計(jì)模型中的常數(shù)，并預(yù)測(cè)t=12天時(shí)被感染的人數(shù)。分析上述模型的優(yōu)缺點(diǎn)，試給出改進(jìn)方案。問(wèn)題分析:根據(jù)題目意思,這是一種傳染病,感染人數(shù)是隨時(shí)間演變的過(guò)程,要求感染人數(shù)與時(shí)間的關(guān)系就應(yīng)該建立動(dòng)態(tài)模型,在此我選擇微分方程,題目并未給出感染人數(shù)與未感染人數(shù)之間的關(guān)系,因此我們可以假設(shè)兩者之間存在一個(gè)以常量作為感染強(qiáng)度的正比關(guān)系，并以此建立模型。五、 建立模型：1. 模型假設(shè)：1.假設(shè)傳染病期間總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死和遷。2.假設(shè)健康尚未感染的人群不具免疫力，即為易感人群。 3.該傳染病說(shuō)有傳播途徑是與病原接觸。 4.每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染人數(shù)與該時(shí)刻未被感染人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k,即傳染強(qiáng)度。2. 符號(hào)說(shuō)明：X（t）：t時(shí)刻被感染的人數(shù) S（t）：t時(shí)刻未被感染的人數(shù) k:感染強(qiáng)度 N:孤島上的人口總數(shù) X0：孤島上最開(kāi)始感染的人數(shù)3. 模型的建立與求解：由于已感染人數(shù)和未感染人數(shù)之間成正比故一定時(shí)間內(nèi)被感染人數(shù)為kX(N-X)即為=kX(N-X)。聯(lián)立方程組求解得： 六、 模型求解:1. 模型為方程為：=kX(N-X) 2. 圖形為：附圖1。附圖2.3. 模型的解為：4. 在3情況下： 5. 由3推導(dǎo)： 經(jīng)計(jì)算隨著感染人數(shù)增多誤差明顯增大6. 從5中結(jié)果來(lái)看僅僅將單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)與該單位時(shí)刻為感染人數(shù)成正比這個(gè)比例是不夠精確的，還應(yīng)考慮隨時(shí)間推移康復(fù)的人數(shù)。以下為改進(jìn)方案：模型假設(shè)：健康人數(shù)減少率正比于 康復(fù)人數(shù)增加正比于S（t） 感染人數(shù)的增加量為健康人數(shù)減少量減去康復(fù)人數(shù)增加量 總?cè)藬?shù)為N 符號(hào)說(shuō)明：X（t）感染人數(shù) S（t）健康人數(shù) Y（t）康復(fù)人數(shù) k感染強(qiáng)度 l免疫強(qiáng)度模型建立與求解：七、 模型的推廣與改進(jìn) 我們建立傳染病模型的方法是微分方程模型,這種模型的思想和方法都有廣泛應(yīng)用,可以應(yīng)用于經(jīng)濟(jì).人口.交通.戰(zhàn)爭(zhēng).社會(huì).醫(yī)藥.物理.化學(xué)等等方面.再綜合03年的非典以及06年的艾滋病給我們帶來(lái)的后果以及應(yīng)對(duì)措施，本模型可以應(yīng)用到現(xiàn)如今h1n1傳播的控制，再加上相關(guān)部門(mén)的合作來(lái)降低傳染性。附錄：第（2）題程序運(yùn)行結(jié)果：時(shí)，取，則(源程序見(jiàn)SY_f_1.m)y=dsolve(Dy=0