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第十二章微分方程 高階微分方程 一 可降階的高階微分方程 1 高階微分方程的定義 2 可降階的高階微分方程類型 1 2 3 3 可降階的高階微分方程的解題方法流程圖 可降階的高階微分方程 是通過引入變量進(jìn)行降階 轉(zhuǎn)化為成一階微分方程 通過判定一階微分方程的類型 求出通解 解題方法流程圖如下圖所示 解題方法流程圖 逐次積分 解一階微分方程 解一階微分方程 Yes No 二 二階常系數(shù)線性微分方程 1 定義 1 二階常系數(shù)線性齊次微分方程 2 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 2 解的結(jié)構(gòu)性質(zhì) 3 齊次方程的解題方法 2 求齊次線性方程的通解 1 寫出特征方程 并求特征根 4 非齊次方程的特解 1 若 設(shè)特解為 不是特征方程的根 是特征方程的單根 是特征方程的重根 設(shè)特解為 2 若 不是特征方程的根 是特征方程的根 5 非齊次方程的解題方法 求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解 一般分為四步 2 求對應(yīng)的齊次線性方程的通解 4 寫出原方程的通解 解題方法流程圖如下圖所示 1 寫出特征方程 并求特征根 解題方法流程圖 求通解 例1 求方程的通解 解 由于不顯含 令 則 代入原方程整理得 即 因此 再積分一次 即得原方程的通解為 此解可以寫成 代入原方程整理得 即 為一階線性微分方程 利用公式得 即 積分得 代入原方程整理得 分離變量得 積分得 所以 即 從而 分離變量得 所求方程的特解為 分析 由二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) 先求出 對應(yīng)齊次方程 從而得出通解及方程的表達(dá)式 特征方程為 對應(yīng)齊次方程為 對應(yīng)齊次方程通解為 所求的方程為 通解為 分析 此為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 由解的結(jié) 構(gòu) 先求出對應(yīng)齊次的通解 再求出其本身的一個特解 解 所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 它的特征方程 解得兩個不同的實根 故齊次方程的通解為 由于是型 其中 且 不是特征方程根 所以應(yīng)設(shè)特解 得非齊次方程的通解為 解得 所求的特解為 解 所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 它的特征方程為 解得兩個不同的實根 故齊次方程的通解為 由于是型 其中 解之 得 由此求得一個特解為 比較等式兩邊的系數(shù) 得 求出把它們代入原方程 得 故齊次方程的通解為 其中 代入原方程 解之得 故特解為 于是所求通解為 故齊次方程的通解為 屬于混合型 令 不是特征方程根 故可設(shè) 所以 得 是特征方程根 故可設(shè) 求 于是原方程的通解為 可解得此二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 即 亦即 分析 此等式中含有積分上限函數(shù) 因此想到利用積分 上限函數(shù)的性

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