新課標(biāo)下微積分內(nèi)容教學(xué)的現(xiàn)狀與思考.doc

新課標(biāo)下微積分內(nèi)容教學(xué)的現(xiàn)狀與思考24中學(xué)數(shù)學(xué)研究2008年第9期新課標(biāo)下微積分內(nèi)容教學(xué)的現(xiàn)狀與思考山東臨沭一中(276700)王峰晨微積分的內(nèi)容在中學(xué)教材中幾進(jìn)幾出,00年之前的大綱與考綱只要求到數(shù)列極限,函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)定積分都是選學(xué)內(nèi)容,o0年開(kāi)始的新教材幾乎是大學(xué)微積分內(nèi)容的縮編版,從數(shù)列極限,函數(shù)極限,函數(shù)的連續(xù),可導(dǎo)到導(dǎo)數(shù)的概念,應(yīng)用,只是定積分的內(nèi)容屬選學(xué)內(nèi)容,04年起的新課標(biāo)則又出現(xiàn)了新的變化,完全刪除了數(shù)列極限,函數(shù)極限,沒(méi)有連續(xù)的內(nèi)容,只有導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,但之前作為不考察內(nèi)容的定積分出現(xiàn)在了課標(biāo)和考綱之中.從07年新課標(biāo)的高考來(lái)看,作為新增內(nèi)容定積分考察的比較普遍.在短短的幾年之內(nèi)經(jīng)歷了三套教材的變化,深切的感受到一次又一次的變化尤其是實(shí)驗(yàn)教材的變化對(duì)教學(xué)特別是對(duì)高考的影響.下面就個(gè)人在高中微積分教學(xué)中遇到的問(wèn)題談一點(diǎn)看法.一,極限內(nèi)容的刪除給學(xué)生學(xué)習(xí)以及更深地理解數(shù)學(xué)帶來(lái)不便.微積分中的基本概念是函數(shù),極限,實(shí)數(shù),導(dǎo)數(shù),積分等,其中極限是微積分的基礎(chǔ).微積分的產(chǎn)生和發(fā)展都是建立在用極限的方式認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)事物的基礎(chǔ)上的.極限是重要的數(shù)學(xué)思想之一,也是人們認(rèn)識(shí)世界的一種重要的思維方式,它和我們以前學(xué)到的思維方式有很大的不同.其一,極限的刪除給一些與極限相關(guān)的初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來(lái)障礙.不止在微積分內(nèi)容中,在初中到高中的很多內(nèi)容中都已有極限的例子如初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)當(dāng)一十時(shí),函數(shù)的圖象是趨向無(wú)窮的.在高中指數(shù)函數(shù)中,當(dāng)a>1時(shí),一十.時(shí),函數(shù)的圖象又是怎樣接近軸的.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,概率怎樣反映事件發(fā)生的可能性的大小.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,頻率分布直方圖是怎樣變化成正態(tài)分布曲線的.在三角函數(shù)中,周期是怎樣對(duì)函數(shù)的圖象產(chǎn)生影響的.在雙曲線內(nèi)容L中,Y=-.i-為什么稱(chēng)為雙曲線的漸近線.如此之a(chǎn)多的內(nèi)容都涉及到極限的方法或思想.學(xué)生已經(jīng)有了這么多的關(guān)于極限的直接體驗(yàn),把極限內(nèi)容刪去的直接后果就是上述的那些都成了失去基礎(chǔ)的擺設(shè).失去了極限理論的支持,學(xué)生理解這些問(wèn)題只是停留在想象的層面上.在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組編寫(xiě)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀中,他們這樣敘述刪去極限的原因先講極限,把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限來(lái)講,于是,形式化的極限的概念就成了學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙,嚴(yán)重影響了對(duì)導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解.其實(shí)我們?cè)诶辖滩闹胁恢v導(dǎo)數(shù),也照樣說(shuō)講極限,而那時(shí)數(shù)列極限在高考題中幾乎是每年必考.它是一種重要的數(shù)學(xué)思想,是看問(wèn)題的態(tài)度.怎么能說(shuō)要理解好導(dǎo)數(shù)就刪去產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)的極限呢?極限是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)必需的,不應(yīng)該成為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的障礙.其二,導(dǎo)數(shù)概念和定積分概念的教學(xué)帶來(lái)不便.實(shí)驗(yàn)教材上沒(méi)有哪怕一點(diǎn)的極限內(nèi)容包括符號(hào),但在表述導(dǎo)數(shù)的概念時(shí),教材上還是堂而皇之的寫(xiě)上了廠():lim羔,連起碼I的說(shuō)明和瀆法都沒(méi)有介紹,學(xué)生根本就不知道這是什么,更不知道這是什么意思.教材處理定積分時(shí)先用極限的思想把曲邊梯形進(jìn)行無(wú)限的分割,學(xué)生的疑問(wèn)是顯而易見(jiàn)的,怎么好好的一個(gè)曲邊梯形就成了矩形了呢?缺乏了極限理論的闡釋和系統(tǒng)的訓(xùn)練,在應(yīng)用的時(shí)候必然遇到困難.然后又進(jìn)一步把概念的產(chǎn)生過(guò)程總結(jié)為分割,近似替代,求和,取.hL極限且)dx),這里面無(wú)論從概念到符號(hào)哪一點(diǎn)少了對(duì)極限的理解都不行.這樣的結(jié)果真成了他們自己說(shuō)的無(wú)論是導(dǎo)數(shù)概念,還足導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,更多的是作為一種規(guī)則來(lái)教,來(lái)學(xué),影響_r對(duì)導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解.他們說(shuō)學(xué)極限會(huì)帶來(lái)這樣的后果,其實(shí)刪去極限這樣的結(jié)果會(huì)更加嚴(yán)重,特別是對(duì)一些優(yōu)秀的學(xué)生,直接的后果就是對(duì)于導(dǎo)數(shù)之于函數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)深層次的問(wèn)題時(shí)顯得悟性不2008年第9期中學(xué)數(shù)學(xué)研究25夠,比如說(shuō)講求函數(shù)的切線時(shí)學(xué)生就是不明白有多個(gè)交點(diǎn)為什么還是切線.其三,對(duì)于認(rèn)識(shí)函數(shù)的影響.06年高考有這樣一道題目:例1(06年全國(guó)I卷)設(shè)函數(shù).廠()=e一e.(1)證明i廠()的導(dǎo)數(shù)廠(X)2;(2)若對(duì)所有都有廠()aN,求a的取值范圍.對(duì)于(2),最直接的方法是把原式變成e一eaN在0時(shí)恒成立.當(dāng)=0時(shí),左邊=0,右邊=0,此時(shí)a為任意實(shí)數(shù).當(dāng)x>0時(shí),則a<,這種分離參數(shù)的方式可以把.的取值范圍x轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)不含參的函數(shù)的最小值問(wèn)題,由導(dǎo)數(shù)的定義,易判斷出函數(shù)在(0,+.)上為增函數(shù),如何求其最小值呢?如果有極限的概念及運(yùn)算,n一我們會(huì)很容易得到g()>g(o)=lim,又由羅比達(dá)法則,得lim=lim=2,綜l上所述,a的取值范圍是(一,2.這種方法卻因?yàn)闃O限的概念及運(yùn)算等問(wèn)題把學(xué)生擋在了門(mén)外,而采取了作差構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行含參函數(shù)的討論.學(xué)生在高中階段就培養(yǎng)極限的理念,這樣的理念的建立在對(duì)事物的觀察與理解之上的,是深刻的.若到大學(xué)之后再重新學(xué)習(xí)極限,全是純理論方面的闡述且缺乏老師的精心講解與反復(fù)的訓(xùn)練,學(xué)生對(duì)這一思想方法的理解和領(lǐng)悟必將陷入一種混沌狀態(tài).缺乏了對(duì)極限思想的深刻理解和領(lǐng)悟,必將影響整個(gè)微積分乃至高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).綜上所述,高中階段的教學(xué)中,無(wú)論從實(shí)用的角度還是為以后大學(xué)的學(xué)習(xí)的角度,在高中講一些極限知識(shí)都是十分有必要的.如果怕學(xué)生理解不好,就把教材編排的更接近學(xué)生的生活和實(shí)際,少作一些形式化的訓(xùn)練,多一些深入生活的引導(dǎo),你得相信高中數(shù)學(xué)老師的水平和智慧.二,有了導(dǎo)數(shù)以后,認(rèn)識(shí)函數(shù)仍然困難.有人總結(jié)說(shuō)初中數(shù)學(xué)就學(xué)習(xí)了數(shù),高中數(shù)學(xué)就學(xué)習(xí)了函數(shù).老教材上其實(shí)只有函數(shù)的定義,奇偶性和定義法解決的單調(diào)性,還有就是一些基本初等函數(shù),稍復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有辦法去認(rèn)識(shí)其圖象和性質(zhì).新教材中補(bǔ)充了縮編版的微積分以后,基本可以把一個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)認(rèn)識(shí)清楚.在新課標(biāo)下又出現(xiàn)了問(wèn)題,其一就是上面談過(guò)的刪去了極限的問(wèn)題,其二就是想準(zhǔn)確的把函數(shù)圖象作出來(lái)的話,還缺了一個(gè)函數(shù)的極為重要的特征一函數(shù)的凹凸性.其實(shí)作為函數(shù)的一個(gè)基本特征,從單調(diào)性到凹凸性是很自然的事情.在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中,與函數(shù)凹凸性有關(guān)的琴生不等式出現(xiàn)在競(jìng)賽大綱上,那時(shí)高中數(shù)學(xué)中還沒(méi)有導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)已經(jīng)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)又快十年了,而函數(shù)的這一基本特征還是原地不動(dòng).特別是在05,06,07年各省的高考題中大量出現(xiàn)關(guān)于函數(shù)的凹凸性的題目,我們不得不好好的審視函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.實(shí)驗(yàn)教材上就函數(shù)的凹凸性也作了一些引導(dǎo)和嘗試.如高中數(shù)學(xué)人教版必修(A版)第53頁(yè)B組第5題:證明:(1)若,()=ax+6,則1=,I1)十2)一;(2)若g()=+ax+J,則gf華1,Ig(1)+g(2)一上述題目中,學(xué)生就體會(huì)了單調(diào)性相同的而凹凸性不同的函數(shù)的區(qū)別.實(shí)驗(yàn)教材的嘗試不止于此,在必修的第三章函數(shù)與方程第二節(jié)幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型中,教材比較了指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù)在遞增時(shí)的不同,也讓學(xué)生體會(huì)了函數(shù)單調(diào)性相同凹凸性不同的不同結(jié)果.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,不講函數(shù)的凹凸性的已經(jīng)不多了.甚至在平時(shí)的練習(xí)和測(cè)驗(yàn)中,學(xué)生已經(jīng)把使用凹凸性的結(jié)論即_廠()0或f()0與琴生不等式等作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)使用得比較純熟了,并且解決了一些用常規(guī)方法解決起來(lái)非常麻煩的方法.例如例2(武漢市高中畢業(yè)生二月調(diào)研測(cè)試題)已知函數(shù).廠()=+2+alnx.(I)若函數(shù)-廠()在區(qū)間(0,1上恒為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;()當(dāng)t1時(shí),不等式2t一1)2f(t)一326中學(xué)數(shù)學(xué)研究2008年第9期恒成立,求實(shí)數(shù)0的取值范圍.解:(I)略,()法1(構(gòu)造函數(shù)法)令g(t)=2t一1)一t)+3,(t1),因?yàn)間(t)=21廠(2t一1)一廠()=2(一1)2一(1),當(dāng)n2,由于t(2t一1)1,故g(t)0,從而當(dāng)t1,+)時(shí)g(t)為增函數(shù),g(t)g(1)對(duì)任意的tE1,+o.)恒成立.當(dāng).>2時(shí),g()=二=8(卜1)(一爭(zhēng))t(2t一1)因?yàn)?lt;?<(?,)時(shí),g(t)<0即g(t)是減函數(shù),于是g(t)<g(1)=0,與題意不符,舍去.綜上,實(shí)數(shù)0的取值范圍是(一,2.法2由)=+2+alnx,x1,+),所以I廠(1)=1+2+0=3,又由-廠(2t一1)2/(t)一3,可得2t一1)2/(t)一_廠(1),即_二二)=1,又1,+),所以2t一11,+)在1,+)上為下凸函數(shù),所以()=2x+2+()=2一0即n2x在1,+)恒成立,故有n2.兩種方法的優(yōu)劣是顯而易見(jiàn)的,在考試時(shí)間有限的情況下,能在短時(shí)問(wèn)內(nèi)把法1想出來(lái)并寫(xiě)出來(lái)我覺(jué)得沒(méi)有可能,而法2簡(jiǎn)單易行,更重要的是抓住了題目的本質(zhì)特征.從學(xué)生的選擇上看,沒(méi)有一個(gè)學(xué)生用法1,作出來(lái)的學(xué)生都用了法2,更加說(shuō)明了方法的優(yōu)劣.學(xué)生的需要應(yīng)該是教師努力的方向.從這些方面可以看出,函數(shù)的凹凸性引入高中數(shù)學(xué)已經(jīng)具備了可能性和必要性.如果具備了極限和凹凸性這兩個(gè)工具,學(xué)生就可以研究高中階段的任一個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì).在高等數(shù)學(xué)中,關(guān)于函數(shù)特征的內(nèi)容不過(guò)才三節(jié):函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的拐點(diǎn)與凹凸性,函數(shù)的圖象,并且講過(guò)之后就不再使用.而高中生如果具備了研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)的能力,將會(huì)大大改變高中數(shù)學(xué)的格局,原來(lái)關(guān)于函數(shù)的值域與最值的求法,一元二次方程根的分布,求參數(shù)的范圍,不等式恒成立的問(wèn)題,數(shù)列,三角函數(shù)等等將統(tǒng)統(tǒng)失去特有的和奇怪的方法而統(tǒng)一歸到函數(shù)導(dǎo)數(shù)的門(mén)下.那將更好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性,產(chǎn)生更多的通性通法,對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)產(chǎn)生很好的促進(jìn),讓學(xué)生更好的學(xué)習(xí)函數(shù).三,建立一個(gè)合理的微積分的知識(shí)體系.常常要求學(xué)生讓學(xué)生把知識(shí)結(jié)構(gòu)化,網(wǎng)絡(luò)化,但新課表的微積分的體系在哪里呢?其實(shí)高中階段只是需要一個(gè)認(rèn)識(shí)函數(shù)的微積分體系,對(duì)于那些復(fù)雜的如連續(xù),可導(dǎo)等問(wèn)題不必學(xué)習(xí)和研究.高中的函數(shù)以基本初等函數(shù)及簡(jiǎn)單復(fù)合為主,用不到那許多的理論,建立一個(gè)能夠有效的認(rèn)識(shí)函數(shù)的體系即可.通過(guò)一二的敘述我們大概的可以把這個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)點(diǎn)列舉出來(lái):函數(shù)的極限,導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,函數(shù)的凹凸性(二階導(dǎo)數(shù)).然后在作一些研究函數(shù)圖象的訓(xùn)練即可.以上是在教學(xué)與處理高考題的時(shí)候遇到的一些與微積分有關(guān)的不便.需要即發(fā)展的方向,課程改革當(dāng)然是為了減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān),在減負(fù)的同時(shí),更應(yīng)當(dāng)去提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).怎樣搭建一個(gè)易學(xué)易懂,輕松而高效的知識(shí)體系,需要在實(shí)踐中不斷的摸索前進(jìn).從老教材到新教材再到實(shí)驗(yàn)教材,都是把學(xué)生應(yīng)會(huì)的,有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的東西吸納進(jìn)來(lái),把一些生澀的,復(fù)雜的和無(wú)用的剔除出去.希望新課標(biāo)的研制者可以體