全國高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二篇函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用習(xí)題理.docx

第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用【選題明細(xì)表】知識點、方法題號一次、二次函數(shù)模型1,3,4,6,7,8,14指、對數(shù)函數(shù)模型2,9基本不等式模型及函數(shù)模型綜合應(yīng)用5,10,11,12,13,15基礎(chǔ)對點練(時間:30分鐘) 1.如表顯示出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),判斷它最可能的函數(shù)模型是(A)x45678910y15171921232527(A)一次函數(shù)(B)二次函數(shù)(C)指數(shù)函數(shù)(D)對數(shù)函數(shù)解析:由表可知,自變量x每增加1個單位,y的值增加2個單位,因此是一次函數(shù)模型.故選A.2.導(dǎo)學(xué)號 18702093一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年,剩余的物質(zhì)為原來的,當(dāng)剩余的物質(zhì)為原來的64125時,需要經(jīng)過(C)(A)5年(B)4年(C)3年(D)2年解析:由指數(shù)函數(shù)模型知()x=64125,解得x=3.3.A,B兩城相距100 km,在兩地之間距A城x km處的D地建一座核電站給A,B兩城供電,為保證城市安全,核電站距城市的距離不得少于10 km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)為0.25,且A城供電量為20億度/月,B城為10億度/月,要使供電費用最小,則x等于(B)(A)50 km(B) km(C)25 km(D)15 km解析:由題意知供電費用y=5x2+(100-x)2(10x90).則y=x2-500x+25 000=(x-)2+故x=時,y有最小值.故選B.4.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a m(0a12),4 m,不考慮樹的粗細(xì),現(xiàn)在用16 m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的面積為S m2,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是(C)解析:設(shè)CD=x,則S=x(16-x)(4x16-a),u=Smax=f(a)=5.某學(xué)校擬建一塊周長為400米的操場,如圖所示.操場的兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形,學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域,為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大,矩形的長應(yīng)該設(shè)計成(B)(A)50 米(B)100 米(C)125 米(D)150 米解析:設(shè)矩形的長為x米,半圓的直徑為d米,中間矩形的面積為S平方米,依題意可得,2x+d=400,d=(0x200).S=dx=x=(400-2x)2x2=,當(dāng)且僅當(dāng)400-2x=2x,即x=100時,學(xué)生的做操區(qū)域最大.即矩形的長應(yīng)該設(shè)計成100米.選B.6.加工爆米花時,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時間為(B)(A)3.50分鐘(B)3.75分鐘(C)4.00分鐘(D)4.25分鐘解析:由實驗數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知,二次函數(shù)p=at2+bt+c的圖象過點(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分別代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以當(dāng)t=3.75分鐘時,可食用率p最大.7.某種新藥服用x小時后血液中的殘留量為y毫克,如圖所示為函數(shù)y=f(x)的圖象,當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫克時,治療有效.設(shè)某人上午8:00第一次服藥,為保證療效,則第二次服藥最遲的時間應(yīng)為(C)(A)上午10:00(B)中午12:00(C)下午4:00 (D)下午6:00解析:當(dāng)x0,4時,設(shè)y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x,當(dāng)x4,20時,設(shè)y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得解得所以y=400-20x.所以y=f(x)=由y240,得或所以3x8.故第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午4:00.8.某商場出售一種商品,每天可賣1 000件,每件可獲利4元.據(jù)經(jīng)驗,若這種商品每件每降價0.1元,則比降價前每天可多賣出100件,為獲得最好的經(jīng)濟效益每件單價應(yīng)降低元.解析:設(shè)降低x元,總利潤為y元,由題意得y=(1 000+100)(4-x)(0x1010,得()x108,兩邊取以10為底的對數(shù),得xlg 8,所以x.因為45.45,所以x45.45,故經(jīng)過46小時,細(xì)胞總數(shù)可以超過1010個.答案:4610.為了優(yōu)化城市環(huán)境,方便民眾出行,某市在某路段開設(shè)了一條僅供車身長為10 m的BRT行駛的專用車道.據(jù)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn),該車道上行駛中前、后兩輛BRT公交車間的安全距離d(m)與車速v(km/h)之間滿足二次函數(shù)關(guān)系d=f(v).現(xiàn)已知車速為15 km/h時,安全距離為8 m;車速為45 km/h時,安全距離為38 m;出行堵車狀況時,兩車安全距離為2 m.(1)試確定d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系d=f(v);(2)車速v(km/h)為多少時,單位時間內(nèi)通過這條車道的公共汽車數(shù)量最多,最多是多少輛?解:(1)設(shè)d=f(v)=av2+bv+c(a0),將點(0,2),(15,8),(45,38)分別代入得a=,b=,c=2.所以d=f(v)=v2+v+2.(2)設(shè)單位時間內(nèi)通過的汽車數(shù)量為Q,則Q=1 000(輛),當(dāng)且僅當(dāng)=,即v=30時等號成立.答:當(dāng)v為30 km/h時通過的汽車數(shù)量最多,最多為1 000輛.能力提升練(時間:15分鐘) 11.我們定義函數(shù)y=x(x表示不大于x的最大整數(shù))為“下整函數(shù)”;定義y=x(x表示不小于x的最小整數(shù))為“上整函數(shù)”;例如4.3=4,5=5;4.3=5,5=5.某停車場收費標(biāo)準(zhǔn)為每小時2元,即不超過1小時(包括1小時)收費2元,超過一小時,不超過2小時(包括2小時)收費4元,以此類推.若李剛停車時間為x小時,則李剛應(yīng)付費為(單位:元)(C)(A)2x+1(B)2(x+1)(C)2x (D)2x解析:如x=1時,應(yīng)付費2元,此時2x+1=4,2(x+1)=4,排除A,B;當(dāng)x=0.5時,付費為2元,此時2x=1排除D,故選C.12.(2016北京東城區(qū)二模)一名顧客計劃到商場購物,他有三張優(yōu)惠券,每張優(yōu)惠券只能購買一件商品,根據(jù)購買商品的標(biāo)價,三張優(yōu)惠券的優(yōu)惠方式不同,具體如下:優(yōu)惠券1:若標(biāo)價超過50元,則付款時減免標(biāo)價的10%;優(yōu)惠券2:若標(biāo)價超過100元,則付款時減免20元;優(yōu)惠券3:若標(biāo)價超過100元,則超過100元的部分減免18%.若顧客購買某商品后,使用優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多,則他購買的商品的標(biāo)價可能為(C)(A)179元(B)199元(C)219元(D)239元解析:由題意,優(yōu)惠券1比優(yōu)惠券2減免的多,所以他購買的商品的標(biāo)價超過200元.他購買的商品的標(biāo)價為219元,優(yōu)惠券1減免21.9元;優(yōu)惠券2減免20元;優(yōu)惠券3減免21.42元;標(biāo)價為239元,優(yōu)惠券1減免23.9元;優(yōu)惠券2減免20元;優(yōu)惠券3減免25.02元.故選C.13.汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車,這一過程中,由于人的反應(yīng)需要時間,以及汽車慣性有一個剎車距離,設(shè)停車安全距離為s,駕駛員反應(yīng)時間內(nèi)汽車所行距離為s1,剎車距離為s2,則s=s1+s2,而s1與反應(yīng)時間t有關(guān),s1=10ln(t+1),s2與車速v有關(guān),s2=bv2.某人剎車反應(yīng)時間為(-1)秒.當(dāng)車速為60 km/h時,緊急剎車后滑行的距離為20米,若在限速100 km/h的高速公路上,則該汽車的安全距離為 米.(精確到米)解析:因為剎車反應(yīng)時間為(-1)秒,所以s1=10ln(-1+1)=10ln=5,當(dāng)車速為60 km/h時,緊急剎車后滑行的距離為20米,則s2=b602=20,解得b=,即s2=v2.若v=100,則s2=100256,s1=5,則該汽車的安全距離s=s1+s25+56=61(米).答案:6114.某工廠的固定成本為3萬元,該工廠每生產(chǎn)100臺某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元,設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品x(百臺),其總成本為g(x)萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),并且銷售收入r(x)滿足r(x)=假設(shè)該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡,根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)規(guī)律求:(1)要使工廠有盈利,產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍?(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大?解:依題意得g(x)=x+3,設(shè)利潤函數(shù)為f(x),則f(x)=r(x)-g(x),所以f(x)=(1)要使工廠有盈利,則有f(x)0,因為f(x)0或或或7x10.5.3x7或7x10.5,即3x10.5.所以要使工廠盈利,產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于300臺小于1 050臺的范圍內(nèi).(2)當(dāng)37時,f(x)10.5-7=3.5.所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺產(chǎn)品時,盈利最大.15.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過9萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.(1)若建立函數(shù)y=f(x)模型制定獎勵方案,試用數(shù)學(xué)語言表述該公司對獎勵函數(shù)f(x)模型的基本要求,并分析函數(shù)y=+2是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型,并說明原因;(2)若該公司采用函數(shù)y=作為獎勵函數(shù)模型,試確定最小的正整數(shù)a的值.解:(1)設(shè)獎勵函數(shù)模型為y=f(x),則公司對函數(shù)模型的基本要求是:當(dāng)x10,1 000時,f(x)是增函數(shù);f(x)9恒成立;f(x)恒成立.函數(shù)模型f(x)=+2不符合公司要求.當(dāng)x10,1 000時,f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(1 000)=+2=+2,所以f(x)不恒成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.(2)對于函數(shù)模型f(x)=,即f(x)=10-,當(dāng)3a+200,即a-時遞增,要使f(x)9對x10,1 000時恒成立,即f(1 000)9,所以3a+181 000,所以a,要使f(x)對x10,1 000時恒成立,即,所以x2-48x+15a0恒成立,所以a.綜上,a,所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328.好題天天練(2016江蘇蘇北三市高三最后一次模擬)經(jīng)市場調(diào)查,某商品每噸的價格為x(1x0);月需求量為y2萬噸且y2=-x2-x+1.當(dāng)該商品的需求量大于供給量時,銷售量等于供給量;當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時,銷售量等于需求量,該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積.(1)若a=,問商品的價格為多少時,該商品的月銷售額最大?(2)記