中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章實(shí)踐應(yīng)用性問(wèn)題 第39課 幾何應(yīng)用性問(wèn)題課件.ppt

第39課幾何應(yīng)用性問(wèn)題 幾何應(yīng)用題的形式有長(zhǎng)度 面積 體積 角度以及三角函數(shù)的計(jì)算 還有方案設(shè)計(jì)等 基本解法 先根據(jù)題目已知條件準(zhǔn)確畫出圖形 把生活情景的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 再運(yùn)用幾何計(jì)算中的一些基本方法予以解決 要點(diǎn)梳理 1 解圖形與幾何應(yīng)用題策略首先要閱讀材料 理解題意 找到考查的主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn) 揭示實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì) 把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題 然后應(yīng)用相應(yīng)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題 2 用代數(shù)方法解幾何應(yīng)用題熟悉相關(guān)的知識(shí) 注意積累生活經(jīng)驗(yàn) 靈活運(yùn)用掌握的有關(guān)圖形與幾何知識(shí) 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 幾何題中求線段的長(zhǎng)度和求某一個(gè)角的度數(shù) 往往借用方程的思想方法來(lái)解決 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 1 2011 濟(jì)寧 在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中 小霞同學(xué)從營(yíng)地a點(diǎn)出發(fā) 要到距離a點(diǎn)1000m的c地去 先沿北偏東70 方向到達(dá)b地 然后再沿北偏西20 方向走了500m到達(dá)目的地c 此時(shí)小霞在營(yíng)地a的 a 北偏東20 方向上b 北偏東30 方向上c 北偏東40 方向上d 北偏西30 方向上 基礎(chǔ)自測(cè) c 解析 如圖 ad be 則 dab abe 180 又 dab 70 ebc 20 所以 abc 90 在rt abc中 ac 1000 bc 500 則 bac 30 dac 70 30 40 故在北偏東40 方向上 2 在同一時(shí)刻 身高1 6米的小強(qiáng)在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0 8米 一棵大樹的影長(zhǎng)為4 8米 則樹的高度為 a 4 8米b 4 6米c 9 6米d 10米解析 根據(jù)相似比 得 x 9 6 應(yīng)選c c 3 如圖 農(nóng)村常搭建橫截面為半圓形的全封閉塑料薄膜蔬菜大棚 如果不考慮塑料薄膜埋在土里的部分 那么搭建一個(gè)這樣的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面積是 a 64 m2b 68 m2c 78 m2d 80 m2解析 將大棚圓柱展開 可知是一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓 所以大棚面積 32 2 22 68 b 4 2010 廣州 長(zhǎng)方體的主視圖與俯視圖如圖所示 則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 a 52b 32c 24d 9解析 由主視圖可知 這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和高分別為4和3 由俯視圖可知 這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬分別是4和2 因此這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為4 2 3 24 c 5 如圖 某公園的一座石拱橋是圓弧形 劣弧 其跨度為24米 拱的半徑為13米 則拱高為 a 5米b 8米c 7米d 5米解析 設(shè)圓心為o 連oa od 在rt aod中 oa 13 ad 12 od 5 cd 13 5 8 應(yīng)選b b 題型一有關(guān)長(zhǎng)度 面積問(wèn)題 例1 小王購(gòu)買了一套經(jīng)濟(jì)適用房 他準(zhǔn)備將地面鋪上地磚 地面結(jié)構(gòu)如圖所示 根據(jù)圖中的數(shù)據(jù) 單位 m 解答下列問(wèn)題 1 用含x y的代數(shù)式表示地面總面積 2 已知客廳面積比衛(wèi)生間面積多21m2 且地面總面積是衛(wèi)生間面積的15倍 若鋪1m2地磚的平均費(fèi)用為80元 那么鋪地磚的總費(fèi)用為多少元 題型分類深度剖析 解 1 s 6x 3 2 4 3 2y 6x 2y 18 2 解之 得 總費(fèi)用 6 4 2 1 5 18 80 3600 元 探究提高適當(dāng)分割 將圖形轉(zhuǎn)化為便于求長(zhǎng)度 面積的幾何圖形 知能遷移1 2010 江西 圖 是一張長(zhǎng)與寬不相等的矩形紙片 同學(xué)們都知道按圖 所示的折疊方法可以裁剪出一個(gè)正方形紙片和一個(gè)矩形紙片 如圖 1 實(shí)驗(yàn) 將兩紙片分別按圖 所示的折疊方法進(jìn)行 請(qǐng)你分析在圖 的最右邊的圖形中用虛線畫出折痕 并順次連接每條折痕的端點(diǎn) 所圍成的四邊形分別是什么四邊形 2 當(dāng)原矩形紙片的ab 4 bc 6時(shí) 分別求出 1 中連接折痕各端點(diǎn)所得四邊形的面積 并求出它們的面積比 3 當(dāng)紙片abcd的長(zhǎng)和寬滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)先后得到的兩個(gè)四邊形的面積比等于 2 所得到的兩個(gè)四邊形的面積比 4 用 2 中所得到的兩張紙片 分別裁剪出那兩個(gè)四邊形 用剩下的8張紙片拼出兩個(gè)周長(zhǎng)不相等的等腰梯形 用圖表示并標(biāo)明主要數(shù)據(jù) 分別求出兩個(gè)梯形的周長(zhǎng) 解 1 圖 所示的是正方形 圖 所示的是菱形 2 s正方形nmpq s正方形abef 4 4 8 s菱形nmpq s矩形febc 2 4 4 s正方形nmpq s菱形nmpq 2 1 3 設(shè)ab a bc b 則s正方形 a2 s菱形 a b a ab a2 要使s正方形 2s菱形 需a2 2 ab a2 3a2 2ab a 0 3a 2ba 4 如圖所示 兩個(gè)等腰梯形周長(zhǎng)分別是6 2 6 4 題型二解直角三角形的應(yīng)用 例2 如圖 a城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在a城正西方向300千米的b處 并以每小時(shí)10千米的速度向北偏東60 的bf方向移動(dòng) 距臺(tái)風(fēng)中心200千米的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域 1 a城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響 為什么 2 若a城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響 那么a城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng) 解 1 過(guò)a畫ac bf于c 在rt abc中 abc 30 ab 300 ac ab 150 200 a城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響 2 以a為圓心 200千米為半徑畫弧 交bf于d e兩點(diǎn) 在rt acd中 ad 200 ac 150 cd 50 de 2cd 100 a城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是 10小時(shí) 探究提高解直角三角形在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用 其解題思路是 弄清題中名詞術(shù)語(yǔ)的意義 然后根據(jù)題意畫出幾何圖形 建立數(shù)學(xué)模型 將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為解直角三角形中各元素之間的關(guān)系 知能遷移2 1 2011 武漢 如圖 鐵路mn和公路pq在點(diǎn)o處交匯 qon 30 公路pq上a處距離o點(diǎn)240米 如果火車行駛時(shí) 周圍200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響 那么火車在鐵路mn上沿on方向以72千米 時(shí)的速度行駛時(shí) a處受噪音影響的時(shí)間為 a 12秒b 16秒c 20秒d 24秒 解析 如下圖 以點(diǎn)a為圓心 200米長(zhǎng)為半徑畫弧 交mn于點(diǎn)b c 畫ad mn于點(diǎn)d 在rt aod中 qon 30 oa 240 所以ad 120 在rt abd中 ab 200 所以bd 160 又cd bd 所以bc 320 故時(shí)間t 16秒 2 2011 紹興 為倡導(dǎo) 低碳生活 常選擇以自行車作為代步工具 如圖1所示是一輛自行車的實(shí)物圖 車架檔ac與cd的長(zhǎng)分別為45cm 60cm 且它們相互垂直 座桿ce的長(zhǎng)為20cm 點(diǎn)a c e在同一條直線上 且 cab 75 如圖2 求車架檔ad的長(zhǎng) 求車座點(diǎn)e到車架檔ab的距離 結(jié)果精確到1cm 參考數(shù)據(jù) sin75 0 9659 cos75 0 2588 tan75 3 7321 解 ad 75cm 車檔架ad的長(zhǎng)為75cm 過(guò)點(diǎn)e作ef ab 垂足為點(diǎn)f 距離ef ae sin75 45 20 sin75 62 7835 63cm 車座點(diǎn)e到車檔架ab的距離是63cm 題型三利用三角函數(shù)進(jìn)行圖形計(jì)算 例3 2010 濰坊 路邊路燈的燈柱bc垂直于地面 燈桿ba的長(zhǎng)為2米 燈桿與燈柱bc成120 角 錐形燈罩折軸線ad與燈桿ab垂直 且燈罩軸線ad正好通過(guò)道路路面的中心線 d在中心線上 已知c與點(diǎn)d之間的距離為12米 求燈柱bc的高 結(jié)果保留根號(hào) 解題示范 規(guī)范步驟 該得的分 一分不丟 解 設(shè)燈柱bc的長(zhǎng)為h米 過(guò)點(diǎn)a作ah cd于點(diǎn)h 過(guò)點(diǎn)b做be ah于點(diǎn)e 四邊形bche為矩形 abc 120 abe 30 又 bad bcd 90 adc 60 在rt aeb中 ae ab sin30 1 be ab cos30 4分 ch 又cd 12 dh 12 在rt ahd中 tan adh 8分 解得 h 12 4 米 燈柱bc的高為 12 4 米 10分 探究提高當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí) 可適當(dāng)添加輔助線 把它們分割成直角三角形 把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中各元素之間的關(guān)系 知能遷移3如圖 小明想測(cè)量塔bc的高度 他在樓底a處測(cè)得塔頂b的仰角為60 爬到樓頂d處測(cè)得大樓ad的高度為18米 同時(shí)測(cè)得塔頂b的仰角為30 求塔bc的高度 解 如圖 bac 60 bde 30 在rt abc中 abc 30 在rt bde中 dbe 60 dab 30 dba 30 dab dba da db 18 be 9 塔bc的高度bc be ec 9 18 27 米 題型四幾何圖形設(shè)計(jì) 例4 2011 衢州 abc是一張等腰直角三角形紙板 c rt ac bc 2 1 要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形 有甲 乙兩種剪法 如圖1 比較甲 乙兩種剪法 哪種剪法所得的正方形面積更大 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 圖1中甲種剪法稱為第1次剪取 記所得的正方形面積為s1 按照甲種剪法 在余下的 ade和 bdf中 分別剪取正方形 得到兩個(gè)相同的正方形 稱為第2次剪取 并記這兩個(gè)正方形面積和為s2 如圖2 則s2 再在余下的四個(gè)三角形中 用同樣的方法分別剪取正方形 得到四個(gè)相同的正方形 稱為第3次剪取 并記這四個(gè)正方形的面積和為s3 如圖3 繼續(xù)操作下去 則第10次剪取時(shí) s10 3 求第10次剪取后 余下的所有小三角形的面積和 解 1 解法一 如圖甲 由題意得ae de ec 即ec 1 s正方形cfde 1 如圖乙 設(shè)mn x 則由題意 得am mq pn nb mn x 3x 2 解得x s正方形pnmq 2 又 1 甲種剪法所得的正方形的面積更大 說(shuō)明 圖甲可另解 由題意得點(diǎn)d e f分別為ab ac bc的中點(diǎn) s正方形cfde s abc 1 解法二 如圖甲 由題意得ae de ec 即ec 1 如圖乙 設(shè)mn x 則由題意得am mq qp pn nb mn x 3x 2 解得x 又 1 即ec mn 甲種剪法所得的正方形的面積更大 2 s2 s10 3 解法一 探索規(guī)律可知 sn 剩余三角形的面積和為 2 2 解法二 由題意可知 第一次剪取后剩余三角形面積和為2 s1 1 s1 第二次剪取后剩余三角形面積和為s1 s2 1 s2 第三次剪取后剩余三角形面積和為s2 s3 s3 第十次剪取后剩余三角形面積和為s9 s10 s10 探究提高根據(jù)題意 畫出符合題意的各種圖形 再逐一用相應(yīng)的幾何知識(shí)解答 知能遷移4在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料 如圖 現(xiàn)找出其中的一種 測(cè)得 c 90 ac bc 4 今要從這種三角形中剪出一種扇形 做成不同形狀的玩具 使扇形的邊緣半徑恰好都在 abc的邊上 且扇形與 abc的其他邊相切 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖 并求出扇形的半徑 只要求畫出圖形 并直接寫出扇形半徑 解 半徑為2半徑為4半徑為4半徑為4 4 27 證明三角形相似缺乏條理試題如圖 de ab ef bc af 5cm fb 3cm cd 2cm 求bd的長(zhǎng) 學(xué)生答案展示 ef bc afe abc 又 de ab cde cba af 5 fb 3 cd 2 bc bd 易錯(cuò)警示 剖析在 中 這是思路不清產(chǎn)生的錯(cuò)誤 由于所求線段不是三角形的邊長(zhǎng) 無(wú)法直接確定相似三角形 同時(shí)已知線段與所求線段無(wú)直接關(guān)聯(lián) 這就需要改造條件 由de ab ef bc 可以得到四邊形fbde是平行四邊形 這樣bf de ef bd 通過(guò)證相似能順利求解 正解 ef bc de ab 四邊形fbde是平行四邊形 bf de ef bd 又 ef bc afe b aef c de ab edc b aef edc afe edc 即 ef 即bd ef cm 批閱筆記用相似形知識(shí)解題時(shí) 易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系混亂 定理應(yīng)用錯(cuò)誤的現(xiàn)象 要加強(qiáng)識(shí)圖能力 聯(lián)想能力 綜合應(yīng)用能力的訓(xùn)練 找準(zhǔn)相似中對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊 排除交叉圖形的干擾 以免造成錯(cuò)覺(jué) 方法與技巧1 幾何應(yīng)用性問(wèn)題的解題策略是 將實(shí)際問(wèn)題幾何化 從實(shí)際問(wèn)題中抽象出基本幾何圖形