導(dǎo)數(shù)與微分單元總結(jié).doc

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分單元達(dá)綱檢測(cè)【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【內(nèi)容提要】1本章主要內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)與微分的概念，求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，就是當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的增量y與自變量x的比的極限，即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率3函數(shù)的微分函數(shù)y=f(x)的微分，即dy=f(x)dx微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：微分是由導(dǎo)數(shù)來定義的，導(dǎo)數(shù)也可用函數(shù)的微分與自變量的微分的商來表示，即函數(shù)值的增量y也可以用y的微分近似表示，即ydy或yf(x)dx。4求導(dǎo)數(shù)的方法(1)常用的導(dǎo)數(shù)公式c=0(c為常數(shù))；(sinx)=cosx；(cosx)=sinx；，；，。(2)兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)：(uv)=uv；(uv)=uv+uv。(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y=f(u)，則5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)切線的斜率根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線f(x)在點(diǎn)處的切線斜率。因此，求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率，只要求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。(2)函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，如果f(x)0，則函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；如果f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么，是極大值；2如果在附近的左側(cè)f(x)0，那么，是極小值.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是0；導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)例如，對(duì)于函數(shù)，x=0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是0，但它不是極值點(diǎn)(4)函數(shù)的最值閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)f(x)必有最大值與最小值，其求法為：1求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；2將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值?！倦y題巧解點(diǎn)撥】例1 已知函數(shù)（a0且a1）在定義域0，1上是減函數(shù)，求a的取值范圍。分析 因?yàn)閒(x)在0，1上是減函數(shù)，所以在0，1上必有f(x)0。由不等式f(x)1，又由1a2a，故a29。點(diǎn)撥 對(duì)于有關(guān)恒成立問題，一般思維方式是：af(x)恒成立，則af(x)的最大值；af(x)恒成立，則af(x)的最小值。因此將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值?！菊n本習(xí)題解答】復(fù)習(xí)參考題三（P145）A組1（1）；（2）；（3）（4）；（5） ；（6）。2（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。3（1）提示：由y=0，得所求點(diǎn)為（2）提示：由y=1，得所求點(diǎn)為。4提示：由y=0，得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；又由y=0，得。5提示：由，得；由，得。（1）由，得或；（2）由，得。6提示：割線斜率為5，由y=5，得所求點(diǎn)為（2，5）。7（1）；（2）dy=2sinx cosxdx；（3）；（4）。8質(zhì)點(diǎn)的速度為。9（1）由S=0，得，；（2）由S=0，得，。10（1）當(dāng)xR時(shí)，y是減函數(shù)。（2）當(dāng)x(，1)時(shí)，y是減函數(shù)；當(dāng)x(1，0)時(shí)，y是增函數(shù)；x(0，2)時(shí)，y是減函數(shù)；當(dāng)x(2，+)時(shí)，y是增函數(shù)。（3）當(dāng)x(，1)時(shí)，y是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y是增函數(shù)。11（1），。（2），。（3），。（4）。12（1）y的最大值是8，最小值是1；（2）y的最大值是2，最小值是10；13提示：如圖ABCD是球內(nèi)接圓柱的軸截面，BD=2R，設(shè)圓柱的高為x，則圓柱底面半徑，圓柱的體積。令，解得（負(fù)值舍去）。因?yàn)閂(x)只有一個(gè)極值，所以當(dāng)圓柱的高為時(shí)，球內(nèi)接圓柱的體積最大。（2）提示：如圖，ABC是球內(nèi)接圓錐的軸截面，設(shè)圓錐的高AD為x，則圓錐底面半徑，圓錐的體積。令，解得（負(fù)值舍去）。因?yàn)閂(x)只有一個(gè)極值，所以當(dāng)圓錐的高為時(shí)，球內(nèi)接圓錐的體積最大。14提示：設(shè)靠墻的邊長為x，則垂直于墻的邊，矩形的面積。令S(x)=20x=0，解得x=20。因?yàn)镾(x)只有一個(gè)極值，所以當(dāng)靠墻的邊長為20m時(shí)，圍成的場(chǎng)地面積最大。15提示：設(shè)圓半徑為x，如果矩形高記作h，那么窗戶面積，窗戶周長。令，解得（負(fù)值舍去）。因?yàn)閘(x)只有一個(gè)極值，因此為最小值點(diǎn)，相應(yīng)地，所以圓半徑與矩形高的比為1時(shí)，窗戶周長最小。B組1（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2（1）當(dāng)x（，0）與x(0，+)時(shí)，y是減函數(shù)。（2）當(dāng)x(，3)，x(3，3)與x(3，+)時(shí)，y是減函數(shù)。（3）當(dāng)x(0，+)時(shí)，y是增函數(shù)。3（1）。（2），。4（1）提示：y=f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?）。令，解得x=1，1。而f(1)=2，f(1)=2，且，所以y的最大值為2，最小值為2。（2）提示：y=f(x)的定義域?yàn)?，1。令，解得。而，端點(diǎn)的函數(shù)值為f(1)=0，f(1)=0，所以y的最大值是，最小值是1。5（1）提示：令，解得x=1。而，端點(diǎn)的函數(shù)值f(0)=1，所以y的最大值是，最小值是。（2）提示：令，解得x=1（負(fù)值舍去）。而f(1)=2。端點(diǎn)的函數(shù)值為f(0.01)=100.01，f(100)=100.01，所以y的最大值是100.01，最小值是2。（3）提示：當(dāng)x(0，4)時(shí)，y=f(x)是增函數(shù)。端點(diǎn)的函數(shù)值為f(0)=0，f(4)=8，所以y的最大值是8，最小值是0。（4）提示：令y=2cos2x1=0解得。而，。端點(diǎn)的函數(shù)值為，所以y的最大值是，最小值是。6提示：汽車與氣球之間的距離是 。lh后它們彼此分離的速度為?！就竭_(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1函數(shù)，則（ ）A在（0，10）上是減函數(shù)。B在（0，10）上是增函數(shù)。C在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，10）上是減函數(shù)。D在（0，e）上是減函數(shù)，在（e，10）上是增函數(shù)。2設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，且，則的值為（ ）A1 B0 C2 D3函數(shù)（ ）A有極大值2，無極小值。 B無極大值，有極小值2。C極大值2，極小值2 D無極值。4函數(shù)（ ）A有最大值，但無最小值。 B有最大值，也有最小值。C無最大值，也無最小值。 D無最大值，但有最小值。5函數(shù)（ ）A有最大值2，最小值2。 B無最大值，有最小值2。C有最大值2，無最小值 D既無最大值，也無最小值。6給出下面四個(gè)命題（ ）（1）函數(shù)的最大值為10，最小值為。（2）函數(shù)的最大值為17，最小值為1。（3）函數(shù)的最大值為16，最小值為16。（4）函數(shù)無最大值，也無最小值。其中正確的命題有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)7設(shè)，則y=（ ）A BC D8設(shè)y=f(cosx)是可導(dǎo)函數(shù)，則dy=（ ）Af(sinx)dx Bf(cosx)dx Cf(sinx)sinxdx Df(cosx)sinxdx9過點(diǎn)（2，0）且與曲線相切的直線方程是（ ）Ax+4y2=0 Bx4y2=0Cx+y2=0 Dxy2=010函數(shù)在內(nèi)（ ）A只有一個(gè)最大值。 B只有一個(gè)最小值。C只有一個(gè)最大值或只有一個(gè)最小值。 D既有一個(gè)最大值又有一個(gè)最小值。11函數(shù)y=(2k1)x+b在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，則k的取值范圍是（ ）A BC D12函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A B（0，+）C和（0，+） D（，1）和二、填空題13曲線在點(diǎn)_處切線的傾斜角為。14函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。15過拋物線上點(diǎn)_的切線和直線3xy+1=0構(gòu)成45角。16函數(shù)的最大值是_。三、解答題17過曲線上一點(diǎn)引切線，分別與x軸正半軸和y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)線段|AB|最小時(shí)的切點(diǎn)的坐標(biāo)。18物體的運(yùn)動(dòng)方程是，當(dāng)t=2時(shí)，求物體的速度及加速度。19求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。20設(shè)在x=1在x=2時(shí)都取得極值，試確定a與b的值；此時(shí)f(x)在x=1處取得的是極大值還是極小值？21已知正三棱柱的體積為V，試求當(dāng)正三棱柱的底面邊長多大時(shí)其表面積最小。22有一印刷器的排版面積（矩形）為，左、右各留4cm寬的空白，上、下各留3cm寬的空白。應(yīng)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙的用量最少？參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1C 2D 3C 4C 5B 6B 7B 8D 9C 10D 11A 12B二、填空題13和 14 15（1，1）或 162三、解答題17設(shè)|AB|=l，切點(diǎn)為x0，y0，則所求切線方程為。切線在x軸，y軸上的截距分別為，。又在曲線上，。，令，解得。在（0，2）內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，經(jīng)驗(yàn)證知，在這點(diǎn)，取得極小值，也是最小值。當(dāng)時(shí)，最小值為9，l最小值為3，此時(shí)，切點(diǎn)為。18，a(t)=v=6t+4，當(dāng)t=2時(shí)，v(2)=20，a(2)=16。19，1x0，得1x1。又函數(shù)定義域?yàn)椋?，1），1x0，函數(shù)在（1，0）上是增函數(shù)，在0，1）上是減函數(shù)。20，由已知x=1與x=2是函數(shù)的極值點(diǎn)，解得當(dāng)x1時(shí)，y0，當(dāng)kx0，函數(shù)f(x)在x=1處取得的是極大值。21設(shè)正三棱柱底面邊長為x，則底面面積為，設(shè)