5.3-定積分的換元法和分部積分法-習題.doc

第5章 定積分及其應用 5.3 定積分的換元法和分部積分法 習題解1計算下列定積分：；【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎枚ǚe分換元法令，則，當從單調變化到時，從單調變化到，于是有 。；【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應用定積分換元法令，則，當從單調變化到1時，從1單調變化到16，于是有 。；【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應用定積分換元法令，則，當從0單調變化到時，從1單調變化到0，于是有。；【解】被積式為，不屬于三角函數(shù)的基本可積形式，須進行變換。由于1是獨立的，易于分離出去獨立積分，于是問題成為對的積分，這是正、余弦的奇數(shù)次冪的積分，其一般方法是應用第一換元法，先分出一次式以便作湊微分：，余下的，這樣得到的便為變量代換做好了準備。具體的變換方式有如下兩種：【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應用定積分換元法令，則，當從0單調變化到時，從1單調變化到，于是有。；【解】這是正、余弦的偶次冪，其一般積分方法為，利用三角函數(shù)的半角公式：，將平方部份降次成為一次的余弦三角函數(shù)：，使之可以換元成為基本可積形式：【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應用定積分換元法令，則，當從單調變化到時，從單調變化到，于是有。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2，應該應用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內的變量在后的平方差轉換成完全平方，應令，當從0單調變化到時，從0單調變化到，且，使得。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2，應該應用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內的變量在后的平方差轉換成完全平方，應令，當從單調變化到1時，從單調變化到，且，使得。（）；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2，應該應用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內的變量在后的平方差轉換成完全平方，應令，當從0單調變化到時，從0單調變化到，且，使得。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2，應該應用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內的變量在后的平方和轉換成完全平方，應令，當從1單調變化到時，從單調變化到，且使得這時，再令，當從單調變化到時，從單調變化到，又得。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內多項式的次數(shù)都是2，應該應用第二類換元法中的三角變換法。由于根號內的二次多項式并非為三角變換中的平方和或差的標準形式，需要先將其轉化為標準形：，現(xiàn)在，根號內的二次多項式成為了變量在后的平方差的形式了，因此可令，當從0單調變化到1時，從單調變化到0，從而對應從單調變化到0，而且，于是。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)不相等，應該應用第二類換元法中的直接變換法：【解法一】令，當從1單調變化到4時，從1單調變化到2，且由此得，于是?！窘夥ǘ繛楸阌诜e分，可使變換后的分母成為簡單變量，即令，當從1單調變化到4時，從2單調變化到3，且由此得，于是。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)不相等，應該應用第二類換元法中的直接變換法：【解法一】令，當從單調變化到1時，從單調變化到0，且由此得，于是?！窘夥ǘ繛楸阌诜e分，可使變換后的分母成為簡單變量，即令，當從單調變化到1時，從單調變化到，且由此得，于是。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)不相等，應該應用第二類換元法中的直接變換法：令，當從單調變化到1時，從3單調變化到1，且由此得，于是。；【解】由于，為含復合函數(shù)的積分，且微分部份僅與復合函數(shù)之中間變量的微分相差一個常數(shù)倍，可以應用第一換元積分法：【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎枚ǚe分的換元法令，當從1單調變化到2時，從1單調變化到，且由此得，于是。；【解】為含復合函數(shù)的積分，且微分部份與復合函數(shù)之中間變量的微分僅相差一個常數(shù)倍，可以應用第一換元積分法：【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎枚ǚe分的換元法令，當從0單調變化到1時，從0單調變化到，且由此得，于是 。；【解】為含復合函數(shù)的積分，且微分部份與復合函數(shù)之中間變量的微分相等，可以應用第一換元積分法：【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應用定積分的換元法令，當從1單調變化到時，從1單調變化到3，且由此得，于是。；【解】為含復合函數(shù)的積分，被積函數(shù)為真有理分式，分母為二次無零點的多項式，且分子比分母低一次，可以分解為兩個可積基本分式的積分：。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內多項式的次數(shù)不相等，應該應用第二類換元法中的直接變換法：令，當從0單調變化到2時，從1單調變化到，且由此得，于是。；【解】由于，所以于是有【解法一】應用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎枚ǚe分的換元法令，當從單調變化到0時，從0單調變化到1，當從0單調變化到時，從1單調變化到0，且由此得，于是?！窘狻坑捎?，所以 。2利用函數(shù)的奇偶性計算下列定積分：；【解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，即知。；【解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，且有即得 。；【解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以?！窘狻坑捎诤瘮?shù)是偶函數(shù)，所以。3證明：（）?！咀C明】作倒數(shù)變換，當從單調變化到1時，從單調變化到1，且有，于是有 ，證畢。4證明：。【證明】由于，其中，對于，作如下的處理：作變換，當從單調變化到時，從單調變化到0，且有，于是，從而得 。證畢。5設為連續(xù)函數(shù)，證明：當是偶函數(shù)時，為奇函數(shù)；【證明】當是偶函數(shù)時，有，使得 ，可知此時為奇函數(shù)，證畢。當是奇函數(shù)時，為偶函數(shù)?！咀C明】當是奇函數(shù)時，有，使得 ，可知此時為偶函數(shù)，證畢。6設是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：對任意的常數(shù)，有?！咀C明】題設是以為周期的連續(xù)函數(shù)，可知成立，由于其中，對于，作如下的處理：令，當從單調變化到時，從0單調變化到，使得 ，于是有 ，證畢。7計算下列定積分：；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，。【解法二】應用列表法可得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選為先積分部份，。（含不可直接積分部份的分部積分不應使用列表法）；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選為先積分部份，。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，?！窘夥ǘ繎昧斜矸傻?。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，應選為先積分部份，。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，?！窘夥ǘ繎昧斜矸傻?。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，與均可選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，選為先積分部份，即得 ，移項，整理得 ?！窘夥ǘ刻子梅植糠e分公式，選為先積分部份，即得 ，移項，整理得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選為先積分部份，。；【解】將三角函數(shù)降次后求解，其中，積分中的被積函數(shù)屬分部積分第一類，套用分部積分公式，選為先積分部份，得，從而得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，且已經具有的結構，直接套用分部積分公式得即得 ，移項、整理得 。；【解】?！窘狻窟@是含復合函數(shù)的積分，可用