萬有引力習題全面剖析.doc

【知識點精析】一. 萬有引力定律：1. 內(nèi)容：宇宙間有質(zhì)量的物體之間都是相互吸引的，兩個物體之間的引力大小，跟它們質(zhì)量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比。公式：F=Gm1m2/r2其中G=6. 671011Nm2/kg22. 條件：適用于質(zhì)點，或可視為質(zhì)點的均勻球體。二. 重力和地球的萬有引力：1. 地球?qū)ζ浔砻嫖矬w的萬有引力產(chǎn)生兩個效果：（1）物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力：F向=mR（2/T0）2，很小。由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化。（2）重力約等于萬有引力：在赤道處：，所以，因地球自轉(zhuǎn)角速度很小，所以。地球表面的物體所受到的向心力f的大小不超過重力的0. 35%，因此在計算中可以認為萬有引力和重力大小相等。如果有些星球的自轉(zhuǎn)角速度非常大，那么萬有引力的向心力分力就會很大，重力就相應減小，就不能再認為重力等于萬有引力了。如果星球自轉(zhuǎn)速度相當大，使得在它赤道上的物體所受的萬有引力恰好等于該物體隨星球自轉(zhuǎn)所需要的向心力，那么這個星球就處于自行崩潰的臨界狀態(tài)了。在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即。強調(diào)：g=GM/R2不僅適用于地球表面，還適用于其它星球表面。2. 繞地球運動的物體所受地球的萬有引力充當圓周運動的向心力，萬有引力、向心力、重力三力合一。即：GMm/R2=ma向=mgg=a向=GM/R2三. 天體運動：1. 開普勒行星運動規(guī)律：（1）所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。（2）對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等。（3）所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。其表達式為：，其中R是橢圓軌道的半長軸，T是行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期，k是一個與行星無關的常量。2. 基本問題是研究星體（包括人造星體）在萬有引力作用下做勻速圓周運動?；痉椒ǎ簩⑻祗w運動理想化為勻速圓周運動，所需的向心力由萬有引力提供。即：GMm/r2=mv2/r=mr2=mr（2/T）2=mr（2f）23. 繞行中心星體的運動的快慢與繞行半徑的關系：（1）由GMm/r2=mv2/r得v=，r越大，v越小。（2）由GMm/r2=mr2得，r越大，越小。（3）由GMm/r2=mr（2/T）2得，r越大，T越大。在地表附近，可以認為T=83. 7h。4. 中心天體質(zhì)量M和密度的估算：測量衛(wèi)星繞天體勻速圓周運動的半徑r和周期T，由GMm/r2=mr（2/T）2得M=42r3/GT2再測量天體的半徑，得到=M/V=M/（R3）=42r3/（GT2R3）=3r3/（GT2R3）若衛(wèi)星繞天體表面圓周運動，則：=3/（GT2）5. 雙星：宇宙中往往會有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。這種結(jié)構叫做雙星。（1）由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此周期也必然相同。（2）由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr2可得，得，即固定點離質(zhì)量大的星較近。注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，按題意應該是L，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r1、r2，千萬不可混淆。當我們只研究地球和太陽系統(tǒng)或地球和月亮系統(tǒng)時（其他星體對它們的萬有引力相比而言都可以忽略不計），其實也是一個雙星系統(tǒng)，只是中心星球的質(zhì)量遠大于環(huán)繞星球的質(zhì)量，因此固定點幾乎就在中心星球的球心?？梢哉J為它是固定不動的。6. 人造地球衛(wèi)星：（1）近地衛(wèi)星：近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，又因為地面附近，所以有。它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。（2）地球同步衛(wèi)星：分析：繞地球旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星所需的向心力由地球的萬有引力提供，因為物體所受的引力指向地心，因而所有的地球衛(wèi)星的軌道平面一定過地心；而地球同步衛(wèi)星相對地表靜止，必隨地球自轉(zhuǎn)，所以同步衛(wèi)星的軌道平面一定過地心且垂直地軸過赤道的平面。推導：由同步衛(wèi)星T=24h，而GMm/r2=mr(2/T)2r=4. 2104km（3）三種宇宙速度：第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：人造地球衛(wèi)星最小的發(fā)射速度，等于物體近地圓運動的運行速度。推導：由GMm/R2=mv12/R或mg=mv12/R得v1= =7. 9km/s第二宇宙速度（脫離速度）：物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。v2=11. 2km/s第三宇宙速度（逃逸速度）：物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。v3=16. 7km/s【解題方法指導】應用萬有引力定律解決有關天體運動問題時，往往要涉及到牛頓運動定律和圓周運動的知識，是較為典型的力學綜合。例題1、兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為R，衛(wèi)星距地面的高度等于R，衛(wèi)星距地面的高度等于3R，則、兩衛(wèi)星周期之比_。解析：由萬有引力提供向心力：，得：這就是開普勒第三定律得例題2、某中子星的質(zhì)量大約與太陽的質(zhì)量相等為。但是它的半徑為10km，已知萬有引力常量，求：（1）此中子星表面的重力加速度。（2）貼近中子星的表面，沿圓軌道運動的小衛(wèi)星的速度。解析：（1）設中子星表面的重力加速度為在中子星表面：（2）貼近中子星表面，小衛(wèi)星的軌道半徑由萬有引力提供向心力，得得例題3、某球形行星“一晝夜”時間為T=6h，在該行星上用彈簧秤稱同一物體的質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)其“赤道”上的讀數(shù)比其在“南極”處讀數(shù)小9%，若設想該行星的自轉(zhuǎn)速度加快，在其“赤道”上的物體會自動“漂浮”起來，這時該行星的自轉(zhuǎn)周期T多大？解析：由萬有引力定律，可得在南極：在赤道：又，代入數(shù)據(jù)例題4、某星球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的9倍，半徑約為地球半徑的，若在地球上高處平拋一物體，水平射程為60m，則在該星球上從同樣高度以同樣的初速度平拋同一物體，水平射程為多少？解析：由平拋運動知識知，水平射程取決于豎直方向的時間和初速度。當從同樣高度以同樣的初速度在不同的星體表面平拋同一物體，由于不同星體表面的重力加速度不同，因而下落同樣的高度所用的時間不同，即以同樣的初速度拋出時，水平射程不同。故此題轉(zhuǎn)化為求星球和地球表面的重力加速度之比。在星球表面的物體：在地球表面的物體：則加速度之比為：平拋物體時，所以。則水平射程之比為星球表面的水平射程【考點突破】【考點指要】衛(wèi)星運行問題與物理知識（如萬有引力定律、勻速圓周運動、牛頓運動定律等）及地理知識有十分密切的相關性，是考生備考應試的難點，也是新高考突出學科內(nèi)及跨學科間綜合創(chuàng)新能力考查的命題熱點，近幾年北京高考均會出一道選擇題，如2006年18題、2005年和2004年的20題。涉及到的問題包括：線速度、角速度、周期與運行半徑間的關系，重力加速度的理解，第一宇宙速度的計算，中心天體質(zhì)量和密度的計算。解題中通常要由萬有引力與重力加速度的對應、繞行中萬有引力充當向心力兩條主線穿插。【典型例題分析】例題1、用m表示地球同步通信衛(wèi)星的質(zhì)量、h表示衛(wèi)星離地面的高度、M表示地球的質(zhì)量、R0表示地球的半徑、g0表示地球表面處的重力加速度、T0表示地球自轉(zhuǎn)的周期、0表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則：（1）地球同步通信衛(wèi)星的環(huán)繞速度v為A. 0（R0+h）B. C. D. （2）地球同步通信衛(wèi)星所受的地球?qū)λ娜f有引力F的大小為A. mB. m20（R0+h）C. mD. m（3）地球同步通信衛(wèi)星離地面的高度h為A. 因地球同步通信衛(wèi)星和地球自轉(zhuǎn)同步，則衛(wèi)星離地面的高度就被確定B. R0C. R0D. 地球同步通信衛(wèi)星的角速度雖已確定，但衛(wèi)星離地面的高度可以選擇. 高度增加，環(huán)繞速度增大，高度降低，環(huán)繞速度減小，仍能同步解析：（1）設地球同步衛(wèi)星離地心的高度為r，則r=R0+h，則環(huán)繞速度v=0r=0（R0+h）同步衛(wèi)星圓周運動由萬有引力提供向心力：即G得v=又有G=m02，所以r=則v=0r=0=故選項A、B、C、D均正確。（2）地球同步衛(wèi)星的重力加速度為g=（）2g0，地球?qū)λ娜f有引力大小可認為等于同步衛(wèi)星的重力mg0來提供向心力：即mg0=m02（R0+h）所以h=R0F向=m02（R0+h）=m故選項A、B、C、D均正確。（3）因為h=R0，式中R0、g0、0都是確定的，故h被確定。但0=，所以h=R0故選項A， C正確。例題2、（2000年全國，20）2000年1月26日我國發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與東經(jīng)的經(jīng)線在同一平面內(nèi)，若把甘肅省嘉峪關處的經(jīng)度和緯度近似取為東經(jīng)和北緯，已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T，把地球表面重力加速度和光速視為常量，試求：該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間（要求用題給的已知量的符號表示）。解析：設為衛(wèi)星質(zhì)量，M為地球質(zhì)量，為衛(wèi)星到地心的距離，T為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動的周期，也就是地球自轉(zhuǎn)周期，由萬有引力定律得物體在地面上由以上兩式得設嘉峪關到衛(wèi)星的距離為L，如圖由余弦定理得故所求時間為【達標測試】1、已知人造地球衛(wèi)星靠近地面運行時的環(huán)繞速度約為，則在離地面的高度等于地球半徑處運行的速度為（ ）A. B. C. D. 2、兩顆人造地球衛(wèi)星，它們的軌道半徑之比為，它們角速度之比_。3、設地球表面的重力加速度為，物體在距地心（是地球半徑）處，由于地球的作用而產(chǎn)生的重力加速度，則：為（ ）A. 1B. C. D. 4、已知月球質(zhì)量是地球質(zhì)量的，月球的半徑是地球半徑的，那么在月球和地球表面附近，以同樣的初速度分別豎直上拋一個物體時，忽略空氣阻力，上升的最大高度之比是多少？5、人造地球衛(wèi)星由于受大氣的阻力作用，其軌道半徑將緩慢地減小，其相應的線速度和周期的變化情況是A. 速度減小，周期增大B. 速度減小，周期減小C. 速度增大，周期增大D. 速度增大，周期減小6、地核的體積約為整個地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%，經(jīng)估算，地核的平均密度為kg/m3。（結(jié)果取兩位有效數(shù)字，引力常量，地球半徑）7、歐洲航天局用阿里亞娜火箭發(fā)射地球同步衛(wèi)星。該衛(wèi)星發(fā)射前在赤道附近（北緯5左右）南美洲的法屬圭亞那的庫盧基地某個發(fā)射場上等待發(fā)射時為1狀態(tài)，發(fā)射到近地軌道上做勻速圓周運動時為2狀態(tài)，最后通過轉(zhuǎn)移、調(diào)試，定點在地球同步軌道上時為3狀態(tài)。將下列物理量按從小到大的順序用不等號排列：這三個狀態(tài)下衛(wèi)星的線速度大小_；向心加速度大小_；周期大小_。8、已知地球半徑為6.4106m，又知月球繞地球的運動可近似看作勻速圓周運動，則可估算出月球到地心的距離約為_m。（結(jié)果只保留一位有效數(shù)字）9、在某星球上，宇航員用彈簧秤稱量一個質(zhì)量為m的物體，其重力為F。宇宙飛船在靠近該星球表面飛行，測得其環(huán)繞周期為T。已知萬有引力常量為G，試由以上數(shù)據(jù)求出該星球的質(zhì)量。10、2002年3月25日，我國自行研制的新型“長征”運載火箭，將模擬載人航天試驗飛船“神州3號”送入預定軌道，飛船繞地球遨游太空后又順利返回。飛船在運動過程中進行了預定的空間科學實驗，獲得圓滿成功。設飛船軌道離地高度為，地面重力加速度，地球半徑為，則“神舟3號”飛船繞地球正常運轉(zhuǎn)多少圈？11、1986年2月20日發(fā)射升空的“和平號”空間站，在服役15年后于2001年3月23日墜落在南太平洋?！昂推教枴憋L風雨雨15年鑄就了輝煌業(yè)績，已成為航天史上的永恒篇章?！昂推教枴笨臻g站總質(zhì)量137t，工作容積超過400m3，是迄今為止人類探索太空規(guī)模最大的航天器，有“人造天宮”之稱。在太空運行的這一“龐然大物”按照地面指令準確墜落在預定海域，這在人類歷史上還是第一次?！昂推教枴笨臻g站正常運行時，距離地面的平均高度大約為350km。為保證空間站最終安全墜毀，俄羅斯航天局地面控制中心對空間站的運行做了精心安排和控制。在墜毀前空間站已經(jīng)順利進入指定的低空軌道，此時“和平號”距離地面的高度大約為240km。設“和平號”沿指定的低空軌道運行時，其軌道高度平均每晝夜降低2.7km。設“和平號”空間站正常運轉(zhuǎn)時沿高度為350km圓形軌道運行，在墜落前沿高度為240km的指定圓形低空軌道運行，而且沿指定的低空軌道運行時，每運行一周空間站高度變化很小，因此計算時對空間站的每一周的運動都可以作為勻速圓周運動處理。（1）簡要說明，為什么空間站在沿圓軌道正常運行過程中，其運動速率是不變的？（2）空間站沿正常軌道運行時的加速度與沿指定的低空軌道運行時加速度大小的比值多大？計算結(jié)果保留2位有效數(shù)字。（3）空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均變化多大？計算中取地球半徑R=6. 4103km，計算結(jié)果保留1位有效數(shù)字。【綜合測試】1、“神舟三號”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要多次進行“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是A. 動能、重力勢能和機械能都逐漸減小B. 重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變C. 重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變D. 重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小2、同步衛(wèi)星是指相對于地面不動的人造地球衛(wèi)星A. 它可以在地面上任一點的正上方，且離地面高度可任意選擇B. 它可以在地面上任一點的正上方，且離地面的高度一定C. 它只能在赤道正上方，但離地面高度任意選擇D. 它只能在赤道正上方且離地面高度一定3、當人造衛(wèi)星進入軌道做勻速圓周運動后，下列敘述中正確的有A. 衛(wèi)星內(nèi)的一切物體均不再受到支持力作用B. 衛(wèi)星內(nèi)的一切物體仍受重力作用，并可用彈簧秤直接測出所受重力的大小C. 如果在衛(wèi)星內(nèi)將一物體自由釋放，則衛(wèi)星內(nèi)的觀察者便看到物體做自由落體運動D. 如果在衛(wèi)星內(nèi)懸掛一小球，給小球一垂直于懸線的速度后，小球?qū)⒆鰟蛩賵A周運動4、據(jù)觀測，某行星外圍有一模糊不清的環(huán)，為了判斷該環(huán)是連續(xù)物還是衛(wèi)星群，又測出了環(huán)中各層的線速度v的大小與該層至行星中心的距離R，以下判斷中正確的是A. 若v與R成正比，則環(huán)是連續(xù)物B. 若v與R成反比，則環(huán)是連續(xù)物C. 若v2與R成反比，則環(huán)是衛(wèi)星群D. 若v2與R成正比，則環(huán)是衛(wèi)星群5、在圓軌道上運動的質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，它到地面的距離等于地球半徑R，地面上的重力加速度為g，則A. 衛(wèi)星運動的速度為B. 衛(wèi)星運動的周期為C. 衛(wèi)星運動的加速度為gD. 衛(wèi)星的動能為mRg6、已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力恒量為G，用以上各量表示地球質(zhì)量M=_。7、兩顆人造地球衛(wèi)星A、B的質(zhì)量之比m1m2=12，它們的軌道半徑之比r1r2=31，可知這兩顆衛(wèi)星的線速度之比v1v2=_，向心加速度之比a1a2=_，所受向心力之比F1F2=_，周期之比T1T2=_。8、如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一種程序是：先讓衛(wèi)星進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步圓軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號將它們排列起來_。9、某行星上一晝夜的時間t=6h，在該行星赤道處用彈簧秤測得一物體的重力大小比在該行星兩極處小10%，則該行星的平均密度多大？（G取6. 671011Nm2/kg2）10、一顆在赤道上空飛行的人造地球衛(wèi)星，其軌道半徑為r=3R（R為地球半徑），已知地球表面重力加速度為g，則該衛(wèi)星的運行周期是多大？若衛(wèi)星的運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，已知地球自轉(zhuǎn)角速度為0，某一時刻該衛(wèi)星通過赤道上某建筑物的正上方，再經(jīng)過多少時間它又一次出現(xiàn)在該建筑物正上方？11、在月球上以初速度v0自h高處水平拋出的小球，射程可達x遠，已知月球半徑為R. 如果在月球上發(fā)射一顆月球的衛(wèi)星，它在月球表面附近環(huán)繞月球運行的周期是多大？12、關于地球同步衛(wèi)星請回答下列問題：（1）簡要說明地球同步衛(wèi)星為什么只能在赤道平面上繞地球轉(zhuǎn)動？（2）取地球半徑R=6. 4103km，月球公轉(zhuǎn)周期27天，月球軌道半徑為地球半徑的60倍，由這些數(shù)據(jù)估算地球同步衛(wèi)星離地面的高度. （保留兩位有效數(shù)字）【達標測試答案】1、解析：萬有引力提供向心力：得得答案應選C2、解析：由萬有引力提供向心力：得：可得3、解析：由得：所以：，故正確的選項為D。4、解析：在忽略空氣阻力的情形下，上升的高度與初速度的關系為，當以同樣的初速度分別豎直上拋一個物體時，高度與加速度成反比。設月球的質(zhì)量、半徑和表面的重力加速度分別為、；地球的質(zhì)量、半徑和表面的重力加速度分別為、，由萬有引力提供重力得，于是上升的最大高度之比為5、解析：考查衛(wèi)星運動的狀態(tài)分析及基本規(guī)律的運用。由v=知r減小，v增大。再由T=，知T減小。答案：D6、解析：題目中將地核的體積和質(zhì)量聯(lián)系起來，本身就對解題思路做了明顯的提示，即先求地球的密度，再求地核的密度，由于此題是估算，可以利用地球表面的重力加速度與地球的質(zhì)量、半徑的關系求出地球的質(zhì)量，進而確定地球的密度，由得地球的平均密度為，代入數(shù)據(jù)得，據(jù)題設得，由得：，則地核的平均密度為。7、解析：比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r2r3，所以v3v2；比較1、3狀態(tài)，周期相同，即角速度相同，而r1r3由v=r，顯然有v1v3；因此v1v3v2。比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r2r3，而向心加速度就是衛(wèi)星所在位置處的重力加速度g=GM/r21/r2，所以a3a2；比較1、3狀態(tài)，角速度相同，而r1r3，由a=r2r，有a1a3；所以a1a3a2。比較1、2狀態(tài)，可以認為它們軌道的周長相同，而v1v2，所以T2T1；又由于3狀態(tài)衛(wèi)星在同步軌道，周期也是24h，所以T3=T1，因此有T2T1=T3。8、解析：本題需引入重力加速度g（g=9. 8m/s2）和月球繞地球運轉(zhuǎn)的周期T（T=27. 3天）才能做出計算。設月球到地球球心的距離為r. 則GrG=mg聯(lián)立解得：r=m4108m9、解析：設星球半徑為R，飛船質(zhì)量為m1，星球質(zhì)量為M，物體重力等于萬有引力F=G對飛船有GR解得M=10、解析：飛船運行，要求飛船繞地球正常運轉(zhuǎn)的圈數(shù)，只需求出飛船在離地高度時飛行的周期，由萬有引力提供向心力則其中在地球表面萬有引力提供重力，則有，所以由得則飛船環(huán)繞地球正常運轉(zhuǎn)的圈數(shù)，代入數(shù)據(jù)得圈。11、解析：（1）空間站沿圓軌道運行過程中，僅受萬有引力作用，所受到的萬有引力與空間站運行方向垂直，引力對空間站不做功，因此空間站沿圓軌道運行過程中，其運動速率是不變的。（2）不論空間站沿正常軌道運行，還是沿指定的低空軌道運行時，都是萬有引力恰好提供空間站運行時所需要的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有G=ma空間站運行時向心加速度是a=G空間站沿正常軌道運行時的加速度與在沿指定的低空軌道運動時加速度大小的比值=0.9842=0.97（3）萬有引力提供空間站運行時的向心力，有G=mr不計地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)G=mg，有GM=R2g則指定的低空軌道空間站運行的周期為T=2r=2r=5. 3103s設一晝夜的時間為t，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運行圈數(shù)為n=空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均減小h=2. 7km/n=2. 7km/17=0. 2km【綜合測試答案】1、解析：由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功，根據(jù)機械能