高考數(shù)學一輪復習 2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件 文 新人教A版.ppt

2 5指數(shù)與指數(shù)函數(shù) n次方根 如果xn a 那么x叫做a的n次方根 其中a r n 1 且n n 0的任何次方根都為0 記作 0 n n 2 兩個重要公式 n a n 1且n n 一 根式的概念和性質(zhì) 1 根式的概念 1 分數(shù)指數(shù)冪的表示 正分數(shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 負分數(shù)指數(shù)冪 a 0 m n n 0的正分數(shù)指數(shù)冪是0 0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義 2 有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) aras ar s a 0 r s q 二 指數(shù)的概念和性質(zhì) ar s ars a 0 r s q ab r arbr a 0 b 0 r q 三 指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì) 1 設a 0 3 b 0 3 c 2 0 2 則 a a b c b a c b c c a b d b a c y x0 3在 0 上是增函數(shù) 0 3 0 3 b a 綜上可得b a c 答案 d 解析 函數(shù)y 2x在r上是增函數(shù) a 0 3 2 0 3 0 3 0 2 2 0 3 2 0 2 a c 2 若函數(shù)f x 3 x x a b 的值域為 1 9 則a2 b2 2a的取值范圍是 a 8 12 b 2 2 c 4 12 d 2 2 f 0 1 f 2 9 f 2 9 或 4 a2 b2 2a 12 故選c 答案 c 解析 f x f x 在 0 上是增函數(shù) f x 在 0 上是減函數(shù) 3 已知函數(shù)f x 的定義域是r 則f x 的值域是 解析 f x f x 2x 1 1 0 f x 1 f x f x 的值域為 答案 題型1指數(shù)函數(shù)的圖像 例1 1 函數(shù)y ax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值比最小值大 則a的值為 2 函數(shù)y ax 2013 x 2 a 0 且a 1 的圖像過定點 3 已知f x 為指數(shù)函數(shù) 若f x 的圖像向右平移一個單位后的 圖像如圖所示 則函數(shù)f x 分析 1 函數(shù)y ax a 0 且a 1 在r上為單調(diào)函數(shù) 故最值在端點處取得 2 函數(shù)過定點 則函數(shù)值跟a的值無關 只有x 2013 0 3 如圖所示的圖像過點 2 2 所以f x 的圖像過點 1 2 由f x 為指數(shù)函數(shù) 可設y ax a 0 且a 1 故f x 可求 1 2 上的最大值比最小值大 a2 a a 0 且a 1 a 1 a 或a 2 當x 2013時 y a0 2013 2 2016 函數(shù)圖像過定點 2013 2016 3 f x 為指數(shù)函數(shù) 設y ax a 0 且a 1 點 1 2 向右平移一個單位為點 2 2 所以f x 的圖像過點 1 2 2 a1 a 2 f x 2x 解析 1 函數(shù)y ax a 0 且a 1 在r上為單調(diào)函數(shù) 且在 答案 1 或 2 2013 2016 3 2x 點評 1 考查了利用函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)的最值在什么地方取到 也可以分01兩種情況確定最大值與最小值求a 2 考查函數(shù)過定點 即與a的值無關 3 考查結(jié)合函數(shù)的圖像求指數(shù)函數(shù)的解析式 變式訓練1 1 設x 0 若ax0 則a b的大小關系是 a b a 1 b a b 1 c 1 b a d 1 a b 2 函數(shù)y 的圖像大致為 解析 1 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a 1 b 1 又由冪函數(shù)y xn知 當n 0時 其在第一象限內(nèi)是增函數(shù) a b 1 2 函數(shù)有意義 需要ex e x 0 其定義域為 x x 0 排除c d 又因為y 1 所以當x 0時 函數(shù)為減函數(shù) 故選a 答案 1 b 2 a 分析 首先用換元法把函數(shù)化為一元二次函數(shù)的形式 再進行分類討論 求解時注意換元后新元的取值范圍 題型2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用 例2設a 0且a 1 函數(shù)y a2x 2ax 1在 1 1 上的最大值是14 求a的值 當0 a 1時 x 1 1 t ax a 此時f t 在 a 上為增函數(shù) 所以f t max f 1 2 2 14 所以 1 2 16 所以a 或a 又因為a 0 所以a 解析 令t ax a 0且a 1 則原函數(shù)化為y t 1 2 2 t 0 當a 1時 x 1 1 t ax a 此時f t 在 a 上是增函數(shù) 所以f t max f a a 1 2 2 14 解得a 3 a 5舍去 綜上得a 或3 元法將原函數(shù)化為一元二次函數(shù) 結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出原函數(shù)的單調(diào)性 從而獲解 因為指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)的大小 所以要注意對底數(shù)的分類討論 避免漏解 點評 指數(shù)函數(shù)問題一般會與其他函數(shù)復合 本題利用換 變式訓練2求f x x 4 x 5的定義域 值域及其單調(diào)區(qū)間 解析 f x x 4 x 5 2x 4 x 5 函數(shù)的定義域為r 令t x t 0 h t t2 4t 5 t 2 2 9 t 0 t 0 h t t 2 2 9 9 等號成立的條件是t 2 即f x 9 等號成立的條件是 x 2 即x 1 f x 的值域是 9 由h t t 2 2 9 t 0 而t x是減函數(shù) 要求f x 的增區(qū)間實際上是求h t 的減區(qū)間 求f x 的減區(qū)間實際上是求h t 的增區(qū)間 h t 在 0 2 上遞增 在 2 上遞減 由0 t x 2可得x 1 由t x 2可得x 1 f x 在 1 上遞減 在 1 上遞增 故f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 1 例3已知函數(shù)f x 2x 1 若f x 2 求x的值 2 若2tf 2t mf t 0對于t 1 2 恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 分析 1 首先去絕對值符號把f x 寫成分段函數(shù)的形式 再解f x 2就不難了 2 含參不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求最值問題 再進行求解 題型3指數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題 解析 當x 0時 f x 2x 當x 0時 f x 2x 2x 2x 0 f x 1 由條件可知2x 2 即22x 2 2x 1 0 解得2x 1 2x 0 2x 1 即x log2 1 2 當t 1 2 時 2t 22t m 2t 0 即m 22t 1 24t 1 22t 1 0 m 22t 1 t 1 2 1 22t 17 5 故m的取值范圍是 5 點評 把函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式 函數(shù)更直觀 形象 利 用分離變量的方法使所求的量直接展現(xiàn)出來 有利于解決問題 本題還涉及轉(zhuǎn)化為恒成立問題 變式訓練3已知對任意x r 不等式 恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 解析 恒成立 x2 m 1 x m 4 0對x r恒成立 m 1 2 4 m 4 0 m2 2m 15 0 3 m 5 實數(shù)m的取值范圍為 3 5 1 分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化 通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的運算 同時在公式變形時 應注意公式成立的條件 以減少運算的失誤 2 指數(shù)函數(shù)y ax的單調(diào)性與底數(shù)a有關 注意對底數(shù)的討論 3 比較兩個指數(shù)冪的大小時 盡量化成同底或同指 當?shù)讛?shù)相同且指數(shù)不同時 構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù) 然后比較大小 當指數(shù)相同且底數(shù)不同時 構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)利用圖像比較大小 或 利用冪函數(shù)比較大小 4 解簡單的指數(shù)不等式時 當?shù)讛?shù)含參時 注意對底數(shù)進行討論 5 指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的定義域 值域 單調(diào)區(qū)間的求法 1 求值域要先確定內(nèi)層函數(shù)的值域 再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性 可求出外層函數(shù)的值域 2 求與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟 求復合函數(shù)的定義域 分層逐一求解內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 通過運用 同增異減 的原則 可求出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例求函數(shù)y x x 1的值域 錯解 令t x 則y t2 t 1 t 2 即當t 時 ymin 即函數(shù)的值域是 剖析 原函數(shù)的自變量x的取值范圍是r 換元后t x 0 而不是t r 錯解中把t的取值范圍取成了全體實數(shù)r 正解 令t x 則t 0 y t2 t 1 t 2 因為函數(shù)y在t 0 上是增函數(shù) 所以y 1 即函數(shù)y的值域是 1 一 選擇題 本大題共5小題 每小題6分 1 基礎再現(xiàn) 不等式23x 1 2 0的解集為 a r b c d 解析 23x 1 2 0 3x 1 1 x 答案 c 2 基礎再現(xiàn) 函數(shù)f x 的值域為 a b c 0 d r 解析 x2 2x 2 x 1 2 3 3 f x 3 答案 a 3 視角拓展 設a 0 64 2 b 0 74 2 c 0 65 1 則a b c大小關系正確的是 a a b c b b a c c b c a d c b a 0 64 2a c 答案 b 解析 函數(shù)y 0 6x在r上是單調(diào)遞減函數(shù) 4 20 65 1 a c 函數(shù)y x4 2在 0 上是單調(diào)遞增函數(shù) 且0 6 0 7 4 視角拓展 已知函數(shù)f x 若f 2a 則實數(shù)a等于 a b 2 c d 3 解析 f f a 2a a 答案 c 5 高度提升 已知函數(shù)f x 2x 1 對于滿足0 x1 x2 2的任意x1 x2 給出下列結(jié)論 x2 x1 f x2 f x1 0 x2f x1 x1f x2 f x2 f x1 x2 x1 f 其中正確結(jié)論的序號是 a b c d 解析 函數(shù)f x 2x 1在r上是增函數(shù) 分析 x2 x1 0 f x2 f x1 0 x2 x1 f x2 f x1 0 故 不正確 分析 由圖像可知 即 x2f x1 x1f x2 故 正確 分析 畫出函數(shù)圖像 可知過任意兩點的直線斜率可以小于1 故 錯 分析 f x 為凹函數(shù) 易知 正確 答案 d 6 基礎再現(xiàn) 若f x 為奇函數(shù) 則實數(shù)a 解析 f x 為奇函數(shù) x r f 0 0 a 1 答案 1 二 填空題 本大題共4小題 每小題7分 7 基礎再現(xiàn) 設函數(shù)f x a x a 0且a 1 若f 2 4 則f 2 與f 1 的大小關系是 解析 由f 2 a 2 4 解得a f x 2 x f 2 4 2 f 1 答案 f 2 f 1 8 視角拓展 函數(shù)f x 在區(qū)間 3 上遞增 則實數(shù)a的取值范圍為 解析 要使函數(shù)f x 在區(qū)間 3 上遞增 則y x2 ax 1的對稱軸x 3 a 6 答案 6 9 視角拓展 已知實數(shù)a b滿足等式 a b 有下列五個關系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的關系式的序號是 解析 在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)f x x f x x的圖像 如右圖 當函數(shù)值相同時 比較自變量的大小 由圖像可知 當函數(shù)值相同時 有a b 0或a b 0或0 b a成立 故不成立的為 答案 10 基礎再現(xiàn) 1 計算 3 5 0 5 0 008 0 02 0 32 0 06250 25 2 化簡 式中字母都是正數(shù) 三 解答題 本大題共3小題 每小題14分 2 原式 2 a a2 解析 1 原式 25 2 2 11 視角拓展 已知函數(shù)f x x2 bx c 滿足f 1 x f 1 x 又f 0 3 試比較f bx 與f cx 的大小 解析 f 1 x f 1 x f x 的對稱軸為x 1 1 b 2 f 0 3 c 3 f x x2 2x 3 f x 在 1 上是減函數(shù) f x 在 1 上是增函數(shù) 當x 0時 1 bx cx f bx f cx 當xbx cx f bx f cx 當x 0時 bx cx 1 f bx f cx 綜上 當x