高中數(shù)學 8.9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系配套課件 北師大版.ppt

第九節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 三年7考高考指數(shù) 1 理解直線與橢圓 直線與拋物線的位置關(guān)系 2 了解圓錐曲線的簡單應用 3 理解數(shù)形結(jié)合的思想 1 直線與橢圓 拋物線的位置關(guān)系是高考的重點 常常與平面向量 三角函數(shù) 函數(shù)的性質(zhì) 不等式等知識交匯命題 2 直線與圓錐曲線相交 求其弦長 中點 定點 定值 最值 面積 對稱 存在性問題等是高考的熱點 3 以解答題的形式出現(xiàn) 多屬于中 高檔題目 重點考查學生分析問題 解決問題的能力 1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 通常是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立 消去一個變量得到關(guān)于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 當a 0 可考慮一元二次方程的判別式 有 0 直線與圓錐曲線 0 直線與圓錐曲線 0 直線與圓錐曲線 相交 相切 相離 2 當a 0 b 0時 即得到一個一元一次方程 則直線l與圓錐曲線e相交 且只有一個交點 若e為雙曲線 則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是 若e為拋物線 則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是 平行 平行或重合 即時應用 1 思考 直線與圓錐曲線有一個公共點是直線與圓錐曲線相切的什么條件 提示 必要不充分條件 因為當直線與圓錐曲線相切時 直線與圓錐曲線有一個公共點 當直線與圓錐曲線有一個公共點時 直線與圓錐曲線不一定相切 如與拋物線對稱軸平行 或重合 的直線與拋物線只有一個公共點 此時直線與拋物線相交 與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線只有一個公共點 此時直線與雙曲線相交 2 直線y mx 1與橢圓x2 4y2 1有且只有一個交點 則m2 解析 直線y mx 1與橢圓x2 4y2 1聯(lián)立 消去y得 1 4m2 x2 8mx 3 0 又因為其 8m 2 12 1 4m2 16m2 12 0 解得 m2 答案 3 過點a 0 1 與拋物線y2 2px p 0 只有一個公共點的直線共有 條 解析 顯然點a 0 1 在拋物線外 因此過該點可作拋物線的兩條切線 它們與拋物線有一個公共點 過點a 0 1 作與拋物線對稱軸平行的直線只有一條 它與拋物線只有一個交點 因此過點a 0 1 與拋物線y2 2px p 0 只有一個公共點的直線共有3條 答案 3 2 圓錐曲線的弦長設斜率為k k 0 的直線l與圓錐曲線c相交于a b兩點 a x1 y1 b x2 y2 則 ab 即時應用 1 拋物線y2 4x被直線y 2x k截得的弦長為 則k值為 2 過橢圓的左焦點且傾斜角為的直線被橢圓所截得的弦長為 解析 1 直線方程與拋物線方程聯(lián)立 消去y得 4x2 4 1 k x k2 0 所以x1 x2 1 k x1x2 依題意得 即9 x1 x2 2 4x1x2 1 k 2 k2 解得 k 4 2 設直線與橢圓的交點分別為a x1 y1 b x2 y2 由橢圓方程得 a 3 b 1 所以因此 直線方程為 與橢圓聯(lián)立 消去y得 則所以答案 1 4 2 2 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的確定及應用 方法點睛 1 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法用直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的解的個數(shù) 可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 即用代數(shù)法研究幾何問題 這是解析幾何的重要思想方法 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點問題 實際上是研究方程組解的個數(shù)問題 2 直線與圓錐曲線相交的兩個問題及求解方法 1 與弦的中點有關(guān)的問題 常利用 點差法 求解 2 與拋物線焦點弦長有關(guān)的問題 要注意應用拋物線的定義 提醒 在研究方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題時 要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 例1 1 2012 安慶模擬 已知直線y x 1與橢圓相切 則橢圓的離心率為 2 已知拋物線的方程為y2 4x 直線l過定點p 2 1 斜率為k k為何值時 直線l與拋物線y2 4x只有一個公共點 有兩個公共點 沒有公共點 解題指南 1 直線與橢圓相切 實際上是直線方程與橢圓方程組成的方程組有唯一解 即判別式等于零 求出a 再求離心率 2 直線與拋物線公共點的個數(shù)問題 即為直線方程與拋物線方程組成的方程組解的個數(shù)問題 可將兩方程聯(lián)立求解 規(guī)范解答 1 直線y x 1與橢圓聯(lián)立 消去y得 a x2 2x 4 4a 0 其判別式 2 2 4 a 4 4a 16a a 0 又因為a 0 a 橢圓的離心率答案 2 由題意 得直線l的方程為y 1 k x 2 由得ky2 4y 4 2k 1 0 當k 0時 由方程 得y 1 方程組有一個解 此時 直線與拋物線只有一個公共點 當k 0時 方程 的判別式為 16 2k2 k 1 由 0 即2k2 k 1 0 解得k 1或k 當k 1或k 時 方程組有一個解 此時 直線與拋物線只有一個公共點 由 0 得2k2 k 1 0 解得 1 k 當 1 k 且k 0時 方程組有兩個解 此時 直線與拋物線有兩個公共點 由 0 得2k2 k 1 0 解得k 1或k 當k 1或k 時 方程組無解 此時直線與拋物線沒有公共點 綜上 當k 1或k 0或k 時 直線與拋物線只有一個公共點 當 1 k 且k 0時 直線與拋物線有兩個公共點 當k 1或k 時 直線與拋物線沒有公共點 互動探究 本例 2 的條件不變 求k為何值時直線與拋物線相交 相切 相離 解析 直線與拋物線相交 即直線與拋物線有兩個公共點或直線與拋物線的對稱軸平行 或重合 此時直線與拋物線有一個公共點 即由直線方程與拋物線方程聯(lián)立所得方程二次項系數(shù)不為0且 0或二次項系數(shù)為0 由本例解法知 1 k 直線與拋物線相切 即直線與拋物線有一個公共點 且直線與拋物線的對稱軸不平行 或不重合 即由直線方程與拋物線方程聯(lián)立所得方程二次項系數(shù)不為0且 0 由本例解法知k 1或k 直線與拋物線相離 即直線與拋物線沒有公共點 由本例解法知k 1或k 綜上可知 當 1 k 時 直線與拋物線相交 當k 1或k 時 直線與拋物線相切 當k 1或k 時 直線與拋物線相離 反思 感悟 1 直線與圓錐曲線公共點有零個 一個 兩個和直線與圓錐曲線的相離 相切 相交不是等價關(guān)系 2 在直線與圓錐曲線所組成的方程組消元后 要注意所得方程的二次項系數(shù)是否含有參數(shù) 若含參數(shù) 需按二次項系數(shù)是否為零進行討論 只有二次項的系數(shù)不為零時 方程才是一元二次方程 后面才可以利用判別式的符號來判斷方程解的個數(shù) 進而說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 變式備選 已知中心在原點 一個焦點為f 0 的橢圓截直線y 3x 2所得弦的中點的橫坐標為 求橢圓的方程 解析 因為橢圓中心在原點 一個焦點為f 0 所以可設橢圓的標準方程為其中a b 0 且有a2 b2 50 把直線方程代入橢圓方程 消去y得 9b2 a2 x2 12b2x 4b2 a2b2 0 設弦的兩個端點a x1 y1 b x2 y2 則由根與系數(shù)之間的關(guān)系有 又ab的中點的橫坐標為 所以解得a2 3b2 與a2 b2 50聯(lián)立得 a2 75 b2 25 所以橢圓方程為 圓錐曲線中的存在性問題 方法點睛 1 解決存在性問題的方法及注意事項 1 方法 存在性問題 先假設存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 2 注意 當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論 2 存在性問題的解題步驟 1 先假設存在 引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式 組 2 解此方程或不等式 組 若有解即存在 若無解則不存在 例2 2012 西安模擬 如圖 橢圓c 的頂點為a1 a2 b1 b2 焦點為f1 f2 a1b1 1 求橢圓c的方程 2 設n為過原點的直線 l是與n垂直相交于p點 與橢圓相交于a b兩點的直線 1 是否存在上述直線l使 0成立 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請說明理由 解題指南 解答本題 1 由待定系數(shù)法求解 本題 2 為存在性問題 從假設存在入手 通過計算看其是否存在 規(guī)范解答 1 由 a1b1 知a2 b2 7 由知a 2c 又b2 a2 c2 由 解得a2 4 b2 3 故橢圓c的方程為 2 假設使 0成立的直線l存在 設a b兩點的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 當l不垂直于x軸時 設l的方程為y kx m 由l與n垂直相交于p點且 1得即m2 k2 1 由 0得x1x2 y1y2 0 將y kx m代入橢圓方程 得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1 x2 0 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 m kx2 m x1x2 k2x1x2 km x1 x2 m2 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 將 代入上式并化簡得 1 k2 4m2 12 8k2m2 m2 3 4k2 0 將m2 1 k2代入 并化簡得 5 k2 1 0 矛盾 即此時直線l不存在 當l垂直于x軸時 滿足 1的直線l的方程為x 1或x 1 則a b兩點的坐標為 1 1 或 1 1 當x 1時 1 1 0 當x 1時 1 1 0 此時直線l也不存在 綜上可知 使 0成立的直線l不存在 反思 感悟 探索性問題常見的題型有兩類 一是給出問題對象的一些特殊關(guān)系 要求解題者探索出一般規(guī)律 并能論證所得規(guī)律的正確性 通常要求對已知關(guān)系進行觀察 比較 分析 然后概括出一般規(guī)律 二是只給出條件 要求解題者論證在此條件下 會不會出現(xiàn)某個結(jié)論 這類題型常以適合某種條件的結(jié)論 存在 不存在 是否存在 等語句表述 變式訓練 2012 鄭州模擬 設b 0 橢圓方程為拋物線方程為x2 8 y b 如圖所示 過點f 0 b 2 作x軸的平行線 與拋物線在第一象限的交點為g 已知拋物線在點g的切線經(jīng)過橢圓的右焦點f1 1 求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程 2 設a b分別是橢圓長軸的左 右端點 試探究在拋物線上是否存在點p 使得 abp為直角三角形 若存在 請指出共有幾個這樣的點 并說明理由 不必具體求出這些點的坐標 解析 1 由x2 8 y b 得當y b 2得x 4 g點的坐標為 4 b 2 y x y x 4 1 過點g的切線方程為y b 2 x 4即y x b 2 令y 0得x 2 b f1點的坐標為 2 b 0 由橢圓方程得f1點的坐標為 b 0 2 b b即b 1 即橢圓和拋物線的方程分別為和x2 8 y 1 2 過a作x軸的垂線與拋物線只有一個交點p 以 pab為直角的rt abp只有一個 同理 以 pba為直角的rt abp只有一個 若以 apb為直角 設p點坐標為 x a b兩點的坐標分別為 0 和 0 關(guān)于x2的二次方程有一個大于零的解 x有兩解 即以 apb為直角的rt abp有兩個 所以拋物線上存在四個點使得 abp為直角三角形 變式備選 已知橢圓 a b 0 的右焦點為f2 1 0 點n 1 在橢圓上 1 求橢圓方程 2 點m x0 y0 在圓o x2 y2 b2上 且在第一象限 過m作圓x2 y2 b2的切線交橢圓于p q兩點 問 f2p f2q pq 是否為定值 如果是 求出定值 如果不是 說明理由 解析 1 右焦點為f2 1 0 c 1 左焦點為f1 1 0 又 點n 1 在橢圓上 2a nf1 nf2 所以橢圓方程為 2 設p x1 y1 q x2 y2 則 14 x1 4 2 連接om op 由相切條件知 同理可求所以 f2p f2q pq 2 2 4為定值 圓錐曲線中的最值問題 方法點睛 圓錐曲線中常見最值問題及解題方法 1 圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類 涉及距離 面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題 求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題 2 求最值常見的解法有兩種 幾何法 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義 則考慮利用圖形性質(zhì)來解決 代數(shù)法 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系 則可先建立起目標函數(shù) 再求這個函數(shù)的最值 提醒 求最值問題時 一定要注意特殊情況的討論 如直線斜率不存在的情況 二次式最高次項的系數(shù)的討論等 例3 2011 新課標全國卷 在平面直角坐標系xoy中 已知點a 0 1 b點在直線y 3上 m點滿足 m點的軌跡為曲線c 1 求c的方程 2 p為c上的動點 l為c在p點處的切線 求o點到l的距離的最小值 解題指南 1 可設點m的坐標為 x y 依已知等式即可得出曲線c的方程 2 可先設點p的坐標 求出切線 然后利用點到直線的距離公式求出距離的解析式 求其最值即可 規(guī)范解答 1 設m x y 由已知得b x 3 a 0 1 所以 x 1 y 0 3 y x 2 再由可知 即 x 4 2y x 2 0 所以曲線c的方程為y x2 2 2 設p x0 y0 為曲線c 上一點 因為y x 所以l的斜率為因此直線l的方程為y y0 x0 x x0 即x0 x 2y 2y0 0 則o點到l的距離又所以當且僅當x0 0時取等號 所以o點到l的距離的最小值為2 反思 感悟 1 本題第 1 問是求軌跡方程 采用的是直接法求軌跡方程 依據(jù)題設中的等式求解即可 2 第 2 問是求點到直線的距離的最值 解決此類問題一般是依據(jù)題設條件得出函數(shù)解析式 利用函數(shù)的單調(diào)性或求導數(shù)或利用基本不等式求得最值 變式訓練 已知橢圓m a b 0 的離心率為且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為 1 求橢圓m的方程 2 設直線l與橢圓m交于a b兩點 且以ab為直徑的圓過橢圓的右頂點c 求 abc面積的最大值 解析 1 因為橢圓m上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為 所以2a 2c 又橢圓的離心率為 即 所以c a 所以a 3 c 所以b 1 橢圓m的方程為 2 方法一 不妨設bc的方程為y n x 3 n 0 則ac的方程為y x 3 由得 n2 x2 6n2x 9n2 1 0 設a x1 y1 b x2 y2 因為所以同理可得所以 設t n 2 則當且僅當t 時取等號 所以 abc面積的最大值為 方法二 由題意 不妨設直線ab的方程為x ky m 由消去x得 k2 9 y2 2kmy m2 9 0 設a x1 y1 b x2 y2 則有 因為以ab為直徑的圓過點c 所以 0 由 x1 3 y1 x2 3 y2 得 x1 3 x2 3 y1y2 0 將x1 ky1 m x2 ky2 m代入 得 k2 1 y1y2 k m 3 y1 y2 m 3 2 0 將 代入 解得m 或m 3 舍 所以m 此時直線ab經(jīng)過定點d 0 與橢圓有兩個交點 所以設則所以當t 0 時 s abc取得最大值 滿分指導 直線與圓錐曲線綜合問題的規(guī)范解答 典例 12分 2011 湖南高考 已知平面內(nèi)一動點p到點f 1 0 的距離與點p到y(tǒng)軸的距離的差等于1 1 求動點p的軌跡c的方程 2 過點f作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1 l2 設l1與軌跡c相交于點a b l2與軌跡c相交于點d e 求的最小值 解題指南 1 依題設可知 利用直接法求軌跡方程 2 先設直線l1的斜率為k 依題設條件可求出關(guān)于k的解析式 利用基本不等式求最值 規(guī)范解答 1 設動點p的坐標為 x y 由題意得 x 1 2分化簡得y2 2x 2 x 當x 0時 y2 4x 當x 0時 y 0 所以動點p的軌跡c的方程為y2 4x x 0 和y 0 x 0 5分 2 由題意知 直線l1的斜率存在且不為0 設為k 則l1的方程為y k x 1 由得k2x2 2k2 4 x k2 0 7分設a x1 y1 b x2 y2 則x1 x2是上述方程的兩個實根 于是x1 x2 2 x1x2 1 因為l1 l2 所以l2的斜率為 設d x3 y3 e x4 y4 則同理可得x3 x4 2 4k2 x3x4 1 9分 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x1x2 x1 x2 1 x3x4 x3 x4 1 1 2 1 1 2 4k2 1 8 4 k2 8 4 16 11分故當且僅當k2 即k 1時 取最小值 即16 12分 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2011 廣東高考 設圓c與圓x2 y 3 2 1外切 與直線y 0相切 則c的圓心軌跡為 a 拋物線 b 雙曲線 c 橢圓 d 圓 解析 選a 依題意得 c的圓心到點 0 3 的距離與它到直線y 1的距離相等 則