高中數學的七種距離_趙瑜.pdf

中學生數學 年 月上 第 期 高中 網址 電子郵箱 高 考 園 地 華南師范大學數學科學學院 趙瑜 一 高中數學中的七種距離 高中階段 我們要求掌握的距離主要有七種 點 與點 點與線 點與面 線與線 線與面 面與面 這六 種距離是在必修教材中要求掌握的內容 屬于歐氏幾 何學內容 第七種 即兩點的球面距離 在選修 球面上的幾何 中出現 它可以說是學生第一次接觸 的非歐幾何的內容 是球面幾何中的距離問題 但是 由于球面幾何與歐氏幾何有著很大的聯系 因此 在 學這一部分內容的時候 我們通常采用 歐氏化 的研 究方法來得出相關結論 下面 我們對這幾種距離問題進行分析 并總結 歸納其求解的方法和思路 點點距離 點點距離指的是平面上的兩點距離 是我們最早 接觸到的距離問題 在初一 我們已經知道 兩點之間 線段最短 兩點距離即兩點線段長 關于它的求解方 法有如下幾種 幾何方法 在眾多求兩點距離的方法中 最直接的便是度 量 這是一種好方法 在現實生活中我們也經常使用 但在某些問題中 我們發(fā)現度量并不容易 尺子是否 夠長 兩點之間能否連線 那么 這就需要借助其他 工具了 圖 在初中 我們可以通過構 造全等三角形的方法 把要求 的線段轉化成已知或方便測 量的線段 到了高中 我們還 可以所求線段為三角形的一 邊構造三角形 通過解三角形 的方法 求得線段長 這些都 是從幾何性質方面來求解 解析幾何方法 圖 當我們引 入坐 標 系 后 我們發(fā)現點在平面上的位置 可用坐標表示出來 如圖 所 示 則 有兩點距離公式可得 槡 類似地 在空間中 我們也可以建立空間直角坐標系 得到點 的距離為 槡 向量方法 在必修 中 我們引入了向量工具 這時 兩點距 離便可以看成是 的模 若將平面看成三維空間的特 殊情況 則在三維空間中 若 則 槡 從幾何意義上解釋 此時 即為 以 為對角線的平行六面體的對角線長 在平面 中 即為以 為相對頂點的平行四邊形對角線長 點線距離 點到直線距離為直線外一點到直線所做的垂線 段的長 幾何方法 根據定義 只需作出點到直線的垂線段即可求 在初中 我們已經能解決很多點到直線 線段 距離的 問題 求三角形的高就是一個很經典的應用 通常 我 們是用等面積法或解直角三角形的方法來解決 到了 高中 我們學習了空間立體幾何 仔細分析 其實與初 中的平面幾何并無不同 同樣可以利用解三角形的有 關知識來解決問題 解析幾何方法 解析幾何是高中數學的一個重要內容 通過建立 平面直角坐標系 很多幾何問題 便可以通過代數的 方法得以解決 在點線距離這個問題中 我們用 表示直線 用 表示點 那么 點 到直線 的距離即為 槡 向量方法 圖 有了向量工具后 如圖 我 們可以把直線 的方向向量設 為珒 那么 在直線上任取一點 與 形成的向量為 設 珒 根據點到直線距離的定 義 則有 而由向 量 的 數 量 積 可 得 珒 珒 再根據同角三角函 中學生數學 年 月上 第 期 高中 網址 電子郵箱 高 考 園 地 數關系 聯立以上三式即可得 若建立直角坐標系運算 只需將各量用坐標表 示 同樣的思路方法即可求解 點面距離 這時我們的思維已經從二維到了三維的空間中 面 外一點到該面的距離 其實就是過該點作該面的垂線后 垂足與該點之間的距離 這就變成了兩點之間距離了 幾何方法 等體積法 在空間立體幾何中 我們可以把求點到面的距離 的問題看成是求錐體的高的問題 或者反過來說 求 錐體中某頂點所作的高 其實就是求該頂點到底面所 在平面的距離問題 在各省的高考題中很受青睞 而 且很多都以求體積的形式出現 圖 如 年廣東文科 如圖 所示 在四棱錐 中 平面 是 的 中 點 是 上 的 點 且 為 中 邊上的高 證明 平面 若 槡 求三棱錐 的 體積 證明 平面 此題第 問欲求體積必先求高 即是此種類型 大家不妨一試 向量方法 圖 若用 向 量 方 法 來 解 這 類型問題 如圖 所示 設 平面 的法 向量為珗 在 上找一點 設 珗 則 其中 珗 珗 故 珗 珗 線線距離 線線距離 即兩線的公垂線段的長 若兩直線平 行 那么在其中一直線上任取一點作另一直線的垂 線 垂足與該點距離即為所求 由于點的任意性 因此 并不難解決 這里重點討論異面直線的情況 幾何方法 異面直線距離的困難之處在于公垂線段難以確 定 一旦找到 問題便化歸為兩點距離的問題了 如何 找一條直線與已知直線 垂直且相交呢 如圖 圖 作直線 的平行線 與 交于點 則 和 確定了平 面 過 作平面 的垂線 交直線 于點 可證 為兩直線的公垂線段 但在實際題目中 很 難 恰 好 構 造 出 這 樣 的 一 個平面 即便構造成功 過 的垂線有時也不易作出 向量方法 圖 有了向量工具后 一 切便簡單些 其思路其實 是受上面的啟發(fā)得到的 用珗 珗 表示直線 的方 向向量 由平面向量基本 定理 平面 可表示為 珗 珗 即可求出該平面的法向量珗 在直線 上任找一 點 即變成了點面距離問題 線面距離 線面距離指的是與一平面平行的直線與該平面 的距離 在這里 我們主要采用的是 降維 的思想 把 線面距離轉化為線線距離或者點面距離去解決問題 若用向量的方法 則可設平面的法向量珗 直線上 一點 到平面上一點 連線 不是 在該平面上的 射影 則 珗 珗 面面距離 兩平面平行 則要求兩平面距離可通過轉化為線 面距離 線線距離或點面距離來求解 這里不做贅述 球面距離 在人教版選修 中 我們給出了球面上的兩 點距離 即過球上兩點 和球心的平面截球面 得 到一個圓 這個圓是大圓 大圓上的兩點 把大圓 分成兩段圓弧 短的一段 即劣弧 的長度就是球面上 這兩點的最短路徑 即球面上兩點的距離 圖 求大 圓 的 弧 長 關 鍵 是 求弧長所 對 的 圓 心 角 如 圖 設 球半徑為 若弦 的長度為 則問題 轉化為已知一個等腰三角形 的腰和底邊長 求頂 角的問題 由余弦定理可得 所 以 球 面 上 兩 點 的 距 離 即 為 下轉第 頁 中學生數學 年 月上 第 期 高中 網址 電子郵箱 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 上接第 頁 二 總結與反思 處處體現 化歸思想 把高維的物體降維處理 例如把面面距離轉化為 線面距離 點面距離甚至點點距離 球面兩點距離本 是一個陌生的距離定義 但是通過圖像 我們同樣可 以把它轉化為歐氏幾何中的熟悉方法來做 降維 和 歐氏化 實際上都是把不熟悉的轉化為熟悉的 把立 體的轉化為平面的 把未知的轉化為已知的 從而達 到解決問題的目的 三角形是關鍵 單從幾何方法來看 我們不難發(fā)現上述的多種距 離幾乎都是轉化到三角形中去求解 利用三角函數關 系 正弦定理和余弦定理解三角形其實就是這種距離 題目的關鍵所在 向量是好工具 向量是溝通幾何和代數的橋梁 有了向量工具 很多從幾何性質方面思考較為困難的問題 在向量的 幫助下 變得簡單很多 思維量減少了不少 當然 如 果想多訓練空間想象能力和思維能力 向量方法便要 遜于幾何方法了 歸納反思 選擇最佳方法 距離問題是高中數學的一個很重要的組成內容 其內容跨度也很大 平常學習時應注意總結歸納 特 別是在空