高中數(shù)學第二章推理與證明2.2.2反證法學案含解析新人教A版.docx

2.2.2反證法學習目標1了解反證法是間接證明的一種基本方法2理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題知識鏈接1有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？答這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對2反證法主要適用于什么情形？答要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形預習導引1反證法定義假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法2反證法常見的矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等要點一用反證法證明“至多”“至少”型命題例1已知x，y0，且xy2.求證：，中至少有一個小于2.證明假設，都不小于2，即2，2.x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2與已知xy2矛盾，中至少有一個小于2.規(guī)律方法對于含有“至多”、“至少”的命題適合用反證法，對于此類問題，需仔細體會“至少有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤跟蹤演練1已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)證明假設a，b，c，d都是非負數(shù)，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.這與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)要點二用反證法證明不存在、唯一性命題例2求證對于直線l：ykx1，不存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2y21的交點A、B關于直線yax(a為常數(shù))對稱證明假設存在實數(shù)k，使得A、B關于直線yax對稱，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：ykx1與直線yax垂直；(2)點A、B在直線l：ykx1上；(3)線段AB的中點在直線yax上，所以由得(3k2)x22kx20.當k23時，l與雙曲線僅有一個交點，不合題意由、得a(x1x2)k(x1x2)2由知x1x2，代入整理得：ak3，這與矛盾所以假設不成立，故不存在實數(shù)k，使得A、B關于直線yax對稱規(guī)律方法證明“唯一性”問題的方法：“唯一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思證明后一層意思時，采用直接證法往往會相當困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設“有另外一個”，推出矛盾)或同一法(假設“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法有時比用同一法更方便跟蹤演練2求證方程2x3有且只有一個根證明2x3，xlog23，這說明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的：假設方程2x3至少有兩個根b1，b2(b1b2)，則2b13,2b23，兩式相除得2b1b21.若b1b20，則2b1b21，這與2b1b21相矛盾若b1b20，則2b1b21)，證明方程f(x)0沒有負數(shù)根證明假設x0是f(x)0的負數(shù)根，則x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，這與x00矛盾，所以假設不成立，故方程f(x)0沒有負數(shù)根1證明“在ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應假設()A三角形中至少有一個直角或鈍角B三角形中至少有兩個直角或鈍角C三角形中沒有直角或鈍角D三角形中三個角都是直角或鈍角答案B2用反證法證明“三角形中至少有一個內角不小于60”，應先假設這個三角形中()A有一個內角小于60 B每一個內角都小于60C有一個內角大于60 D每一個內角都大于60答案B3“abCab Dab或ab答案D4用反證法證明“在同一平面內，若ac，bc，則ab”時，應假設()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da與b相交答案D5已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證a也是偶數(shù)證明(反證法)假設a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)設a2n1(nZ)，則a24n24n1.4(n2n)是偶數(shù)，4n24n1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)1反證法證明的基本步驟(1)假設命題結論的反面是正確的；(反設)(2)從這個假設出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與已知條件、公理、定義、定理、反設及明顯的事實矛盾；(推謬)(3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論是正確的(結論)2用反證法證題要把握三點：(1)必須先否定結論，對于結論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的(2)反證法必須從否定結論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法(3)反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導出的矛盾必須是明顯的.一、基礎達標1反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知條件矛盾與假設矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實矛盾A B C D答案D2已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析假設cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線故應選C.3有下列敘述：“ab”的反面是“ay或x0，x11且xn1(n1,2，)，試證“數(shù)列xn對任意的正整數(shù)n都滿足xnxn1”，當此題用反證法否定結論時應為()A對任意的正整數(shù)n，有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1D存在正整數(shù)n，使xnxn1答案D解析“任意”的反語是“存在一個”9設a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a，b，c()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于2答案C解析假設a2，b2，c2，則6.又2226，這與假設得到的不等式相矛盾，從而假設不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10若下列兩個方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a0，abbcca0，abc0，求證a0，b0，c0.證明用反證法：假設a，b，c不都是正數(shù)，由abc0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設a0，b0，則由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)abc(ab)(ab)(ab)ab即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0，即abbcca0矛盾，所以假設不成立因此a0，b0，c0成立12已知a，b，c(0,1)，求證(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設三個式子同時大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，又因為0a1，所以0a(1a)2.同理0b(1b)，0c(1c)，所以(1a)a(1b)b(1c)c，與矛盾，所以假設不成立，故原命題成立三、探究與創(chuàng)新13已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面兩個命題：(1)若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明(1)因為ab0，所以ab，ba，又因為f