初中數(shù)學(xué)競賽中的輪換對稱式求值問題.pdf

2 中等 數(shù)學(xué) 敘嗲活劫鏍超講雇 初中數(shù)學(xué)免賽中的輪換對稱式求值抑題 沈毅 四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校 中圖分類號 丨丨文獻標識碼 文章編號 丨 本講適合初巾 所謂輪換對稱式 是指將代數(shù)式中的變量按 照任意次序輪換后代數(shù)式不變 如 注意到 輪換對稱式極具數(shù)學(xué)美感而與其相關(guān)的求值問 題對代數(shù)恒等變 形技巧要求頗高 已成為近年來 士 初中數(shù)學(xué)競賽考查的熱 點本文討論這類問題求 解的 一些常用方法 常用公式 故 一 例題選講 一 因式分解 丄 附 例已知實數(shù) 滿足 例若正數(shù) 滿足 酷 幸 分析 因為式 分母無公因式 是不好處理 求代數(shù)式 的一個條件 所以 選擇從式 的變形入手 解由題中條件知 收稿 期 的值 2014年第 期 解 注意到 解將 視為主元 則 以 一 故 類似地 類似地 從而 點評 運用主元的本質(zhì)是實現(xiàn)消元化三元 為二元進而達到局部分拆代數(shù)式的效果 疊加 故 例已知實數(shù) 滿足 求 巧卞 的值 分析 題目中出現(xiàn)了連等結(jié)構(gòu) 可聯(lián)想到賦 由于 為正數(shù) 因此 值法的運用 解設(shè) 一 故 中必有兩個數(shù)的和等于第二個數(shù) 不妨設(shè) 則 上述四式相加得 若 欠 則 故 二 若 則 點評 因式分解是代數(shù)式恒等變形常用的 一種方法 但如何在輪換對稱式中運用因式分解 則需要觀察代數(shù)式的對稱性 構(gòu)造出可重復(fù)利用 的因式 利用主元 例設(shè)士 求代數(shù)式 的值 疊乘 例 已知正實數(shù) 滿足 4 中 等數(shù)學(xué) 求 的值 求 的值 分析 注意到條件的三個 等式中均有町 解如圖 以 為端點 不妨將 作為參數(shù)變形 作射線 使 解 記 則 設(shè)線段 的長分 別為 上述三式相乘得 由余弦定理得 與 不合題意 舍去 將代人方程組 解得 故仙 與 么 因此 利用非負數(shù)的性質(zhì) 又 例巳知頭數(shù) 滿足 無 求 的值 因此外尸 找 分析 題目中出現(xiàn)很多偶數(shù)次方 但分別配 點評 一些代數(shù)式 的結(jié)構(gòu)容易使解題者聯(lián) 方又不可行 故選擇疊加后再配方 想到勾股定理 余弦定理 海倫公式等 一些在幾何 解題中三個方程相加得 中常用的定理 公式 可試圖將代數(shù)式的求值問題 轉(zhuǎn)化為幾何 計算 問題解決 換兀法 例若廠 求 代數(shù)式的值 一 利用非負數(shù)的性質(zhì)得 解 叫 一 則 卜 廠 觀 故 或 故 利用代數(shù)式的幾何意義 例 已知正實數(shù) 滿足 2014年第 期 當(dāng) 的變形加以換元 練 習(xí) 題 已知 若則 求 一 的值 提 由 丄 丄 玖 若 則 三式相加得 手 已知實數(shù) 滿足 例已知士到 且 丄 丄 丄 的 求 的值提示 將三個條件式相乘得 解由題意得 丄丄 巳知互不相等的實數(shù) 義一滿足 求的值 則式 可化力 提示 由題設(shè)式消去 得 若 則 稀 于是 與 丄 已知 滿足 龍梓救才 一 一 的值 點評 換元法的本質(zhì)是整體思想 解題者應(yīng) 觀察題目中不好處理的部分進行換元 或通過適提示 注意到 6 中 等數(shù)學(xué) 線代數(shù)觀點下的 一 告竟賽別題 付云給 廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 級博士研究生 中圖分類號丨文獻標識碼 文章編號 本講適合高中 的元素個數(shù)等于向量內(nèi)積再結(jié)合題目中涉 數(shù)學(xué)競賽題目的命制 一部分是具有高等數(shù)學(xué) 及奇數(shù)偶數(shù)可考慮數(shù) 域 上的維線性空間 背景的初等問題 近年來 高等數(shù) 學(xué)中的 一些 按此法將集合為 對應(yīng)成 定理和思維方式已成為了命題者的命題源泉 本 后 問題轉(zhuǎn)化為 文主要討論 一些 與線性代數(shù)相關(guān)的競賽問題 例設(shè) 為正整數(shù) 為數(shù)域 先來看 一道經(jīng)典題 上的 維線性空間 上的 一些 向量 且每個 例設(shè)為正整數(shù) 集合奉 為 均滿足 義證明 存在 各 使得 的 一些子集 且元素個數(shù)均為奇數(shù) 證明 存在 各 使得也含有 奇 根據(jù)向量內(nèi)積與加法的分配律可聯(lián)想到 若 數(shù)個元素 存在 一些 的和為零向量 則可將 其中 的任何 一 分析 存在性問題往往想到反證法 但對本 個向量乘以此和的內(nèi)積打開結(jié)合反證法證明存 題采用反證法之后卻無從下手 看起來集合次有 在題述的 由此得到下面的證明 奇數(shù)個元素與木 七 有偶數(shù)個元素不容易產(chǎn)生 證明由于 為 維的線性空間且其中的 矛盾可換 一 個角度考慮若將集合木 對應(yīng)成 個向量必然線性相關(guān) 因此 數(shù)域上存在 維線性空間 的一個向量 其中若 木 則的 不全為零的元素 使得 第個分量為 否則 的第個分量為于 是 集合的元素個數(shù)等于 丨丨 七 今