任意三角函數(shù)計算公式是如何得來的.doc

三角函數(shù)(Trigonometric function)。盡管三角知識起源于遠古，但是用線段的比來定義三角函數(shù)，是歐拉(1707-1783)在無窮0小分析引論一書中首次給出的。在歐拉之前。 研究三角函數(shù)大都在一個確定半徑的圓內(nèi)進行的。如古希臘的托勒密定半徑為60；印度人阿耶波多(約476-550)定半徑為3438；德國數(shù)學家里基奧蒙特納斯(1436-1476)為了精密地計算三角函數(shù)值曾定半徑600,000；后來為制訂更精密的正弦表又定半徑為107。因此。 當時的三角函數(shù)實際上是定圓內(nèi)的一些線段的長。意大利數(shù)學家利提克斯(1514-1574)改變了前人的做法，即過去一般稱AB為的正弦，把正弦與圓牢牢地連結在一起。 而利提克斯卻把它稱為AOB的正弦。 從而使正弦值直接與角掛勾。 而使圓O成為從屬地位了。到歐拉(Euler)時，才令圓的半徑為1，即置角于單位圓之中。 從而使三角函數(shù)定義為相應的線段與圓半徑之比。正弦、余弦正弦定理是由伊朗著名的天文學家阿布爾.威發(fā)(940-998)首先發(fā)現(xiàn)與證明的。中亞細亞人艾伯塔魯尼 973-1048(p15)給三角形的正弦定理作出了一個證明。也有說正弦定理的證明是13世紀的那希爾丁在論完全四邊形中第一次把三角學作為獨立的學科進行論述，首次清楚地論證了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個角。 可以求得它的三個邊，或由三邊去求三個角。這是區(qū)別球面三角與平面三角的重要標志。至此三角學開始脫離天文學。 走上獨立發(fā)展的道路。托勒密(Claudius Ptolemy)的天文學大成第一卷除了一些初級的天文學數(shù)據(jù)之外。 還包括了上面講的弦表。它給出一個圓從(1/2)到180每隔半度的所有圓心角所對的弦的長度。圓的半徑被分為60等分，弦長以每一等分為單位。 以六十進制制表達。這樣。 以符號crda表示圓心角a所對的弦長。 例如crd 36=37p455。 意思是：36圓心角的弦等于半徑的(或37個小部分)。 加上一個小部分的，再加上一個小部分的。 從下圖看出，弦表等價于正弦函數(shù)表公元6世紀初，印度數(shù)學家阿耶波多制作了一個第一象限內(nèi)間隔345的正弦表，依照巴比倫人和希臘人的習慣，將圓周分為360度，每度為60分。 整個圓周為21600份，然后據(jù)2r=216000。 得出r=3438近似值。 然后用勾股定理先算出30、45、90的正弦之后。 再用半角公式算出較小角的正弦值。 從而獲得每隔345的正弦長表；其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計算正弦值的時候，取圓心角所對弧的半弦長。 比起希臘人取全弦長更近于現(xiàn)代正弦概念。印度人還用到正矢和余弦，并給出一些三角函數(shù)的近似分數(shù)式。2.正切、余切著名的敘利亞天文學、數(shù)學家阿爾一巴坦尼 850-929于920年左右。 制成了自0到90相隔1的余切cotangent表。公元727年。 僧一行受唐玄宗之命撰成大行歷。為了求得全國任何一地方一年中各節(jié)氣的日影長度。 一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應表，而太陽天頂距和日影長度的關系即為正切 tangent函數(shù)。而巴坦尼編制的是余切函數(shù)表。 而太陽高度角和太陽天頂距角互為余角。 這樣兩人的發(fā)現(xiàn)實際上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。14世紀中葉。 中亞細亞的阿魯伯 1393-1449。 原是成吉思汗的后裔。 他組織了大規(guī)模的天文觀測和數(shù)學用表的計算。他的正弦表精確到小數(shù)9位。他還制造了30到45之間相隔為1。 45到90的相隔為5的正切表。在歐洲，英國數(shù)學家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁 1290?-1349首先把正切、余切引入他的三角計算之中。3.正割、余割正割 secant及余割 cosecant這兩個概念由阿布爾威發(fā)首先引入。sec這個略號是1626年荷蘭數(shù)基拉德 1595-1630在他的三角學中首先使用，后經(jīng)歐拉采用才得以通行。正割、余割函數(shù)的現(xiàn)代定義亦是由歐拉給出的。歐洲的文藝復興時期。 14世紀-16世紀偉大的天文學家哥白尼 1473-1543提倡地動學說，他的學生利提克斯見到當時天文觀測日益精密，認為推算更精確的三角函數(shù)值表刻不容緩。于是他定圓的半徑為1015。 以制作每隔10的正弦、正切及正割值表。當時還沒有對數(shù)，更沒有計算器。全靠筆算。 任務十分繁重。利提克斯和他的助手們以堅毅不拔的意志。 勤奮工作達12年之久。 遺憾的是，他生前沒能完成這項工作，直到1596年，才由他的學生鄂圖 1550-1605完成并公布于世。 1613年海得堡的彼提克斯 1561-1613又修訂了利提克斯的三角函數(shù)表。 重新再版。后來英國數(shù)學家納皮爾發(fā)現(xiàn)了對數(shù)。 這就大大地簡化了三角計算，為進一步造出更精確的三角函數(shù)表創(chuàng)造了條件。4.三角函數(shù)符號毛羅利科早于1558年已采用三角函數(shù)符號。 但當時并無函數(shù)概念，于是只稱作三角線(trigonometric lines)。他以sinus 1m arcus表示正弦，以sinus 2m arcus表示余弦。而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。他于1583年創(chuàng)立以tangent(正切)及secant(正割)表示相應之概念，其后他分別以符號sin.,tan.,sec.,,,表示正弦，正切，正割。 余弦，余切，余割。 首三個符號與現(xiàn)代之符號相同。后來的符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發(fā)展變化。使用者年代正弦余弦正切余切正割余割備注羅格蒙格斯1622S.R.T.(Tang)T.c pl Sec Sec.Compl吉拉爾1626tan sec.杰克1696s.cos.t.cot.sec.cosec.歐拉1753sin.cos.tag(tg).cot.sec.cosec謝格內(nèi)1767sin.cos.tan.cot.巴洛1814sin cos.tan.cot.sec cosec施泰納1827tg皮爾斯1861sin cos.tan.cotall sec cosec奧萊沃爾1881sin cos tan cot sec csc申弗利斯1886tg ctg萬特沃斯1897sin cos tan cot sec csc舍費爾斯1921sin cos tg ctg sec csc注：-現(xiàn)代(歐洲)大陸派三角函數(shù)符-現(xiàn)代英美派三角函數(shù)符號我國現(xiàn)正采用類三角函數(shù)符號。1729年。 丹尼爾.伯努利是先以符號表示反三角函數(shù)，如以AS表示反正弦。1736年歐拉以At表示反正切，一年后又以Asin表示于單位圓上正弦值相等于的弧。1772年。 C.申費爾以arc.tang.表示反正切；同年。 拉格朗日采以表示反正弦函數(shù)。1776年，蘭伯特則以arc.sin表示同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函數(shù)。其后這些記法逐漸得到普及。 去掉符號中之小點。 便成現(xiàn)今通用之符號。 如arc sin x。 arc cos x等。于三角函數(shù)前加arc表示反三角函數(shù)，而有時則改以于三角函數(shù)前加大寫字母開頭Arc。 以表示反三角函數(shù)之主值。另一較常用之反三角函數(shù)符號如sin-1x。 tan-1x等，是赫謝爾于1813年開始采用的，把反三角函數(shù)符號與反函數(shù)符號統(tǒng)一起來，至今亦有應用。1.誘導公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(2-a)=cos(a)cos(2-a)=sin(a)sin(2 a)=cos(a)cos(2 a)=-sin(a)sin(-a)=sin(a)cos(-a)=-cos(a)sin( a)=-sin(a)cos( a)=-cos(a)2.兩角和與差的三角函數(shù)sin(a b)=sin(a)cos(b) cos()sin(b)cos(a b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b) sin(a)sin(b)tan(a b)=tan(a) tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1 tan(a)tan(b)3.和差化積公式sin(a) sin(b)=2sin(a b2)cos(a-b2)sin(a)sin(b)=2cos(a b2)sin(a-b2)cos(a) cos(b)=2cos(a b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a b2)sin(a-b/2至于泰勒級數(shù)和傅立葉級數(shù)。 那不是三言兩語就說得清楚的。 這要你學了高等數(shù)學中的級數(shù)后你就會明白的了。 不管是查表的原始值得來還是計算器里面的程序設計，都是用一些理論公式得到的。冪級數(shù)c0 c1x c2x2 . cnxn .=cnxn(n=0.)c0 c1(x-a) c2(x-a)2 . cn(x-a)n .=cn(x-a)n(n=0.)它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常數(shù),這種級數(shù)稱為冪級數(shù).泰勒展開式(冪級數(shù)展開法)：f(x)=f(a) f(a)/1！*(x-a) f(a)/2！*(x-a)2 .f(n)(a)/n！*(x-a)n .實用冪級數(shù)：ex=1 x x2/2！ x3/3！ . xn/n！ .ln(1 x)=x-x2/3 x3/3-.(-1)k-1*xk/k .(|x|1)sin x=x-x3/3！ x5/5！-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)！ .(-x)cos x=1-x2/2！ x4/4！-.(-1)k*x2k/(2k)！ .(-x)arcsin x=x 1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5 .(|x|1)arccos x=-(x 1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5 .)(|x|1)arctan x=x-x3/3 x5/5-.(x1)sinh x=x x3/3！ x5/5！ .(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)！ .(-x)cosh