7、教師版三角函數(shù)周期性(含答案).doc

三角函數(shù)的周期性考點(diǎn)六、三角函數(shù)周期性（一）周期性的基本概念一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),2k(kZ且k0)是它的周期，最小正周期是2.正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T（2）求三角函數(shù)的周期1、定義法求函數(shù)的周期1、 求下列函數(shù)的周期 , (1)分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，問(wèn)題是要找到一個(gè)最小正數(shù)，對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值都能使成立，同時(shí)考慮到正弦函數(shù)的周期是解： , 即 當(dāng)自變量由增加到時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此的周期是(2) 分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，問(wèn)題是要找到一個(gè)最小正數(shù)，對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值都能使 成立，同時(shí)考慮到正切函數(shù)的周期是解： , 即 函數(shù)的周期是注意：1、根據(jù)周期函數(shù)的定義，周期是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量的增加值，如周期不是，而是； 2、是定義域內(nèi)的恒等式，即對(duì)于自變量取定義域內(nèi)的每個(gè)值時(shí)，上式都成立評(píng)注：這種方法依據(jù)周期函數(shù)的定義，從式子出發(fā)，設(shè)法找出周期中的最小正數(shù)（須用反證法證明）2、求下列三角函數(shù)的周期： y=sin(x+) y=cos2x y=3sin(+)3、 求函數(shù)f（x）=tan（2x+）的周期解：因?yàn)閠an（2x+ +）=tan（2x+）即tan2（x+）+=tan（2x+）tan（2x+）的周期是2、公式法求函數(shù)周期對(duì)于函數(shù)或的周期公式是，對(duì)于函數(shù)或的周期公式是1、 求函數(shù)的周期解： 2設(shè)的最小正周期是（）3已知函數(shù)（）的最小正周期是，則（）4函數(shù)ytan（ax）（a0）的最小正周期為 ( ) 3、圖像法1、求下列函數(shù)的最小正周期解：分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖像知的周期不是周期函數(shù)評(píng)注：對(duì)于一些含有絕對(duì)值的三角函數(shù)周期問(wèn)題，?？山柚谌呛瘮?shù)的圖像來(lái)解決 4、最小公倍數(shù)法1、設(shè)與是定義在公共集合上的兩個(gè)三角周期函數(shù)，、分別是它們的周期，且，則的最小整周期是、的最小公倍數(shù)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)1求函數(shù)的最小整周期解：設(shè)、的最小整周期分別為、，則，的最小整周期為2 求函數(shù)的周期解： 的最小正周期是， 的最小正周期是 函數(shù)的周期 ，把代入得 ，即， 因?yàn)闉檎麛?shù)且互質(zhì)， 所以 函數(shù)的周期 3 求函數(shù)的周期解： 的最小正周期是，的最小正周期是，由， ， (為正整數(shù)且互質(zhì)), 得 所以 函數(shù)的周期是 4、求函數(shù)的最小正周期解：（）是函數(shù)的周期顯然中最小者是下面證明是最小正周期假設(shè)不是的最小正周期，則存在，使得：對(duì)恒成立，令，則但，與矛盾，假設(shè)不成立，是最小正周期（二）一般函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿(mǎn)足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).1、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x+a)=-f(x)(a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。2、 若函數(shù)，則是以為周期的周期函數(shù)3、 y=f(x)滿(mǎn)足f(x+a)= (a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。5、若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x+a)= (a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期。6、，則是以為周期的周期函數(shù).7、，則是以為周期的周期函數(shù).8、 若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a,x=b(ba)都對(duì)稱(chēng),則f(x)為周期函數(shù)且2（b-a）是它的一個(gè)周期。10、函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)、都對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；11、函數(shù)的圖象關(guān)于和直線(xiàn)都對(duì)稱(chēng)，則函數(shù) 是以為周期的周期函數(shù)；考點(diǎn)一、求函數(shù)值1、f(x) 是R上的奇函數(shù)f(x)= f(x+4) ，x0，2時(shí)f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 f(x)=f(x+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8是f(x)的一個(gè)周期 f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二f(x)=f(x+4)，f(x)是奇函數(shù) f(-x)=f(x+4) f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng) 又f(x)是奇函數(shù) 8是f(x)的一個(gè)周期，以下與方法一相同. 2、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由條件知f(x)1，故類(lèi)比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為8，故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=23.（2009江西卷文）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值為 （ ）A B C D4、函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，若則_5、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)26(2008年德州檢測(cè))定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)x時(shí)，f(x)sin x，則f的值為()A B. C. D. 答案D考點(diǎn)二、 求函數(shù)解析式1、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=2x+1，則當(dāng)時(shí)求f(x)的解析式解：當(dāng)時(shí)f(x)=2x+1f(x)是偶函數(shù)f(x)=f(x) f(x)=2x+1當(dāng)時(shí)f(4+x)=2(4+x)+1=2x7又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，類(lèi)比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(-4+x)=f(x) 當(dāng)時(shí)求f(x)=2x7考點(diǎn)三、判斷函數(shù)的奇偶性1、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=，類(lèi)比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x)知f(x)關(guān)于x=999對(duì)稱(chēng)，即f(x)=f(1998+x)故f(x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)考點(diǎn)四、判斷函數(shù)的單調(diào)性1、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)時(shí)f(x)為增函數(shù)解：設(shè)則 f(x)在-2，0上是減函數(shù) 又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，類(lèi)比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 故當(dāng)時(shí)f(x)為增函數(shù)2、f(x)滿(mǎn)足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上單調(diào).求a的值. 解： f(x)=-f(6-x) f(x)關(guān)于（3，0）對(duì)稱(chēng) f(x)= f(2-x) f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng) 根據(jù)命題2（4）得8是f(x)的一個(gè)周期 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9且f(x)在5，9上單調(diào)a =6 考點(diǎn)五、確定方程根的個(gè)數(shù)1、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在區(qū)間1000，1000上f(x)=0至少有幾個(gè)根？ 解：依題意f(x)關(guān)于x=2，x=7對(duì)稱(chēng)，類(lèi)比命題2（2）可知f(x)的一個(gè)周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10上，方程f(x)=0至少兩個(gè)根 又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根， 因此方程f(x)=0在區(qū)間1000，1000上至少有1+2=401個(gè)根.2、（05.福建12）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（ ）A6B7C4D53、已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有_個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）4、(2009年?？谀M)f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)0，則方程f(x)0在區(qū)間(6,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是(B)A10 B8 C6 D45、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足f(x2)f(x)(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，求使f(x)在0,2009上的所有x的個(gè)數(shù)解析：(1)證明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2)當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，設(shè)1x0，則0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)x，即f(x) x(1x0)故f(x) x(1x1)又設(shè)1x3，則1x21，f(