線性規(guī)劃模型在企業(yè)生產計劃中的應用.docVIP

誠 信 聲 明我聲明，所呈交的畢業(yè)論文是本人在老師指導下進行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我查證，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，我承諾，論文中的所有內容均真實、可信。畢業(yè)論文作者簽名： 簽名日期： 年 月 日摘要：在企業(yè)生產過程中，生產資源的分配直接影響到企業(yè)的經(jīng)濟效益。因此，企業(yè)在制定生產計劃時，人力物力和時間等資源的優(yōu)化配制是首要面對的關鍵問題，而建立線性規(guī)劃模型則是目前解決該問題的有效方法之一。本文旨在針對上述有限資源條件的約束下，通過建立相應的線性規(guī)劃模型來制定生產計劃以實現(xiàn)企業(yè)資源最優(yōu)化、利益最大化，同時利用LINGO 11.0軟件求解線性規(guī)劃模型并分析在某些資源變動時對該模型所產生的影響并尋求最優(yōu)生產方案。關鍵詞：企業(yè)生產計劃；線性規(guī)劃；數(shù)學模型；LINGO 11.0Abstract：In the enterprise production process, the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises. Therefore,enterprises in the development ofproductionplan,formulated to optimize theresourcesof manpower andtimeis the keyproblem offace.Andto establish the linear programming modelis one of the effective waysto solvetheproblem.This paper aimed atthelimited resourceconstraints,by establishinglinear programming modelcorrespondingtomake production planin order to realize the maximization ofenterprise resource optimization,interest,andusing LINGO11.0 software tosolve the linear programming modelandanalysisthe influence onthe modelin some resourcechangesand seek theoptimal productionplan.Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model；LINGO 11.0目錄1線性規(guī)劃問題概述（1）1.1線性規(guī)劃問題的基本概念（1）1.2 線性規(guī)劃方法的應用范圍與求解的基本步驟（1）1.3 線性規(guī)劃模型的基本概念（2）1.4 建立線性規(guī)劃模型的一般步驟（2）1.5 線性規(guī)劃模型的求解方法（3）2.線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中的應用（3）2.1 線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中應用的背景（3）2.2 把線性規(guī)劃運用到企業(yè)生產中的作用和意義（4）2.3 針對企業(yè)生產計劃模型的分析（4）2.4建立生產計劃決策分析的線性規(guī)劃模型（5）2.5 案例及相關分析（5）3總結 （11）參考文獻（12）致謝（13）線性規(guī)劃模型在企業(yè)生產計劃中的應用1. 線性規(guī)劃問題概述1.1線性規(guī)劃問題的基本概念線性規(guī)劃是運籌學中，研究較早、發(fā)展較快、應用較多、方法較成熟的一個重要分支，也是最基本部分，它是輔助人們進行科學管理的一種數(shù)學方法。自1947年丹捷格提出了一般線性規(guī)劃問題求解的方法-單純形法之后，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實際中日益廣泛與深入。特別是在電子計算機能處理成千上萬個約束條件和決策的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領域更為廣泛了。它所研究的問題主要有兩類:一類是當一項任務確定后，如何統(tǒng)籌安排，盡量做到以最少的人力、物力資源去完成任務；另一類是對已有的人力、物力資源，如何安排使用，并完成任務的。一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。由此，我們給出線性規(guī)劃的一般定義如下：錢辰，李姝.線性規(guī)劃方法在企業(yè)生產中的應用J.中國高新技術企業(yè)，2011,(3)42.求一組變量Xj(j=1,2,3,n)的值，使之滿足關于這組變量的若干個線性等式或不等式的約束條件，并使這組變量的一個線性函數(shù)取得極值(極小或極大)，其中，這些變量稱為決策變量，所要優(yōu)化的函數(shù)稱為目標函數(shù)，此類問題稱為“線性規(guī)劃”(Linear Programming，簡記LP)問題。其中，決策變量、約束條件和目標函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素。1.2 線性規(guī)劃方法的應用范圍與求解的基本步驟高紅衛(wèi)，線性規(guī)劃方法應用詳解 M，北京，科學出版社，2004.12-15.（1）線性規(guī)劃方法的應用范圍，可以用一種歸納性的敘述加以概括為：凡是能用線性約束方程（等式或者不等式）組描述其內部運行規(guī)則，且有明確的線性優(yōu)化目標的問題，都可以用線性規(guī)劃的方法求解。無論這些問題屬于哪個領域，只要能滿足上述條件，都屬于線性規(guī)劃方法的應用范圍。比如一些常見的領域有：企業(yè)營銷策劃、產品生產計劃、采購與庫存管理、物流管理、理財與投資、人事管理、系統(tǒng)綜合評價、工程設計優(yōu)化、宏觀經(jīng)濟運行調控、城市管理、作戰(zhàn)規(guī)劃等。（2）求解線性規(guī)劃問題的基本步驟可以總結如下： 提出并抽象問題 建立數(shù)學模型 求解 檢驗解 解的靈敏度分析 解的回歸1.3 線性規(guī)劃模型的基本概念線性規(guī)劃問題的模型是由一組含有等式、不等式的代數(shù)方程以及一個具有求極值關系的目標函數(shù)（優(yōu)化函數(shù)）表達式構成的復合式抽象數(shù)學模型。（1）線性規(guī)劃模型的構成需要具備以下條件： 需要求解的問題所包含的每一種資源數(shù)量都是確定的，而且每個決策變量也都是確定的，其取值范圍也是已知的，并且問題所包含的每一種決策變量與相關資源之間的約束關系、不同決策變量對于某一種資源的需求之和與該資源的現(xiàn)有總量的對應關系（用,之一來表示）都是確定的。 存在一個確定的、期望達到的目標（極大或極小值），并且這個目標可用對全部或部分決策變量與相關價值（費用）系數(shù)乘積之和（稱為目標函數(shù)）來表達。（2）線性規(guī)劃模型的一般形式如下：孫庭鋒.淺析線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中的應用J.商業(yè)經(jīng)濟, 2006. (276):18.目標函數(shù) (1)約束條件 (2) (一般為非負性)其中，(j=1,2,n) 稱為價值(費用)系數(shù)或目標函數(shù)系數(shù)。(j=1,2,n）稱為決策變量的非負約束條件，若其取值范圍為 （，）時，則稱為任意變量（無約束變量）。(j=1,2,n）稱為資源常數(shù)或簡稱約束右端系。( i=1,2,m ;j=1,2,n）稱為技術系數(shù)或約束系數(shù)。1.4 建立線性規(guī)劃模型的一般步驟建立數(shù)學模型是解線性規(guī)劃問題的第一步，也是關鍵的一步。一個好的數(shù)學模型必須對問題的系統(tǒng)及其同內外部環(huán)境的關系進行概括，根據(jù)實際需要提的出問題，進行求解。由上述可知，如何確定決策變量、約束條件和目標函數(shù)是解決線性規(guī)劃問題模型的關鍵。具體的建立步驟如下： 根據(jù)已知條件設置決策變量。即尋找所要求解或間接求解的未知數(shù)并用(j=1,2,n）表示出來。 確定目標函數(shù)。用上面所確定的變量建立一個線性函數(shù)（此處為一次函數(shù)），再根據(jù)具體問題明確是求目標函數(shù)的極大值或是極小值。 確定資源常量并找出決策變量之間的關系及其與資源約束常量之間的關系，建立等式或不等式線性方程。 確定決策變量的取值范圍。 整理所得到的代數(shù)表達式，形成規(guī)范的線性規(guī)劃數(shù)學模型。1.5 線性規(guī)劃模型的求解方法線性規(guī)劃模型建立之后就需要求出個決策變量的最優(yōu)解以及目標函數(shù)的最優(yōu)值。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，其解法多樣并且逐漸成熟。當決策變量個數(shù)比較少時比較常用圖解法，即直接根據(jù)約束條件在坐標軸上畫出可行域并找出最優(yōu)解。而目前求解線性規(guī)劃問題的基本方法是單純行法。它需要將模型的一般形式變換成標準形式后再運用矩陣的計算方式得到最優(yōu)解。為了提高解題速度，又有改進單純形法、對偶單純形法、原始對偶方法、分解算法和各種多項式時間算法?，F(xiàn)有的計算機軟件基本上是利用上述方法的原理。例如：Excel、MATLAB、LINDO和LINGO等軟件。本文后面的案例主要運用軟件LINGO 11.0進行求解、分析。2. 線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中的應用2.1 線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中應用的背景隨著經(jīng)濟全球化的不斷發(fā)展，企業(yè)之間的競爭與合作也日漸成熟與激烈，企業(yè)必須不斷提高盈利水平，增強其獲利能力。即如何應用最小的資源成本獲得最大的利益永遠是企業(yè)發(fā)展的核心目的。只有在生產、銷售、新產品研發(fā)等一系列過程中發(fā)揮自己的優(yōu)勢，提高企業(yè)效率，降低成本，形成企業(yè)的核心競爭力，才能在激烈的競爭中立于不敗之地。因此根據(jù)市場的需求有計劃的生產變成為其必不可少的手段之一，特別是在資源有限的情況下。而實踐證明，線性規(guī)劃模型是制定企業(yè)生產計劃行之有效地重要方法。過去很多企業(yè)在生產、運輸、市場營銷等方面沒有利用線性規(guī)劃方法進行合理的配置，從而增加了企業(yè)的生產負擔，使企業(yè)的利潤不能達到最大化。在競爭日益激烈的今天，如果還按照過去的方式，無疑是會被淘汰的，所以就有必要利用線性規(guī)劃的知識對戰(zhàn)略計劃、生產、銷售各個環(huán)節(jié)進行優(yōu)化從而降低生產成本，提高企業(yè)的效率。此外線性規(guī)劃問題在農業(yè)、工業(yè)、服務業(yè)、軍事、運輸和計劃管理等多方而都越來越受重視、越來越得到廣泛的運用。所以運用線性規(guī)劃知識統(tǒng)籌企業(yè)的生產計劃是大勢所趨、是合理的。本文中筆者試圖通過線性規(guī)劃具體模型的建立并用計算機軟件求解結果，以及對相關參數(shù)的分析，闡述線性規(guī)劃是解決企業(yè)生產計劃問題的一個有效方法。2.2 把線性規(guī)劃運用到企業(yè)生產中的作用和意義 把線性規(guī)劃的知識運用到企業(yè)生產中去，可以使企業(yè)適應市場激烈的競爭，能夠及時、準確、科學、有效地制定生產計劃、投資計劃以及對資源進行合理配置。其決策理論是建立在嚴格的理論基礎之上，運用大量基礎數(shù)據(jù)，經(jīng)嚴格的數(shù)學運算得到的，從而在使企業(yè)能夠在生產的各個環(huán)節(jié)中統(tǒng)籌兼顧、優(yōu)化配置，提高了企業(yè)的效率。過去企業(yè)在制定計劃時，調整分配方面很困難，既要考慮生產成本，又要考慮獲利水平，人工測算需要很長時間，不易做到機動靈活。而運用線性規(guī)劃并配合計算機軟件進行測算非常簡便易行，在很短時間內選擇出最優(yōu)方案的同時，也提高了企業(yè)決策的科學性和可靠性。這對企業(yè)是大有益處的。2.3 針對企業(yè)生產計劃模型的分析 由上述對線性規(guī)劃問題和企業(yè)之間關系的介紹，可知生產計劃問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件，可以運用線性規(guī)劃來分析生產計劃方案優(yōu)化問題。但是，應用線性規(guī)劃來進行生產計劃問題分析，首先要先弄清以下幾點：王樹祥,武新霞,卜少利,線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中的應用及模型的建立和求解J.2007年管理論叢與教育研究?？?2007,(S2):196.（1）必須明確目標函數(shù)。生產計劃的經(jīng)濟分析是一種定量分析方法，它是以企業(yè)利潤作為評價目標值，所尋求的目標是使企業(yè)利潤最大化的生產計劃方案，因此，企業(yè)利潤最大化應是生產計劃決策分析的目標函數(shù)。（2）必須明確約束條件。企業(yè)的資金，生產能力，原材料，設備使用，市場需求狀況等諸多制約因素與生產計劃分析密切相關，稱為生產計劃分析中目標函數(shù)的約束條件。約束條件對生產計劃分析的影響較大，在不同條件下，決策分析的結論則會不同。比如，就市場需求和企業(yè)生產能力之間的關系而言，企業(yè)所處狀態(tài)可有三種類型：供不應求狀態(tài)，即市場對產品的需求超過了企業(yè)的生產能力；供過于求狀態(tài)，即企業(yè)生產能力超過了市場需要；供求平衡波動狀態(tài)，即供求平衡的狀態(tài)，或者有時處于不足狀態(tài)，有時又處于過剩狀態(tài)。（3）必須明確單件利潤。單件利潤不僅牽扯到產品的單件收入，還要牽扯到生產所耗費的各項成本及費用。建立產品生產計劃優(yōu)化模型的目的，就在于輔助生產管理，從系統(tǒng)全局角度，統(tǒng)籌兼顧。因此，為了挖掘出企業(yè)生產管理中的各種潛力，在生產計劃上應該是越細致越好。而越細致的計劃，起變量的個數(shù)必然會越多。因此變量的確定對模型的正確建立起著至關重要的作用。但這樣一來就會產生一些問題：當變量細化到一定的程度時，變量太多，不但求解的難度加大，而且有關的市場、企業(yè)內部的各種技術經(jīng)濟參數(shù)得不到充分的支持，從而給建模帶來很大的困難，甚至在應用上與實際信息不協(xié)調，變得無從掌握。使建立的模型與實際誤差較大；相反的，如果把模型建的很粗放，更是會失去其實用性。因此，正確的做法應該是對上述內容進行合理折衷。2.4建立生產計劃決策分析的線性規(guī)劃模型生產計劃決策分析的基木方法是以利潤最大化作為優(yōu)化目標，明確未知變量，確定約束條件，建立線性規(guī)劃模型，最終實現(xiàn)企業(yè)效益最大化的生產計劃。其一般模式： 目標函數(shù)為利潤P = 銷售收入R（成本+費用）C在各約束條件下，使目標函數(shù)達到最大值。分析企業(yè)實際生產過程中的日產量情況，設模型的未知變量為企業(yè)生產的產品種類日產量(j=1,2,n),建立生產計劃決策分析線性規(guī)劃模型的過程如下：孫庭鋒.淺析線性規(guī)劃在企業(yè)生產計劃中的應用J.商業(yè)經(jīng)濟, 2006. (276):19.(1) 目標函數(shù)。企業(yè)進行生產計劃決策的目標值是企業(yè)利潤最大化。現(xiàn)假設生產各種產品所獲得的銷售收入與所耗費的產品成本和費用的總和均已知，則可以得出生產計劃問題的目標函數(shù)為：(2) 原材料約束。無論是生產何種產品都需要消耗一定的原材料，在企業(yè)實際中若需耗用多種原材料則可根據(jù)原材料的種類，增添相應約束條件即可。建立約束不等式：其中：分別為生產第1,2,n種產品的單件材料消耗, 為企業(yè)每種可用原材料總量。(3) 生產能力約束。此約束具體表現(xiàn)為企業(yè)的可用工作時間或可用設備工時，而企業(yè)在一定時期內可用工時是有限的，所以可建立如下約束不等式：其中：分別為生產第1,2,n種產品的單件消耗工時,為企業(yè)的日可用的工時、設備總量。(4) 市場需求約束。為了說明問題的方便，假設企業(yè)生產的產品市場都有需求，即，無上限約束。若第j種產品市場需求有限，最大需求為，則可增加約束。(5) 非負約束。因為生產實際中最多即為不生產產品，所以所有變量。2.5 案例及相關分析為了探討生產計劃決策分析線性規(guī)劃模型在企業(yè)實際中的應用，接下來通過案例建立線性規(guī)劃模型以及應用軟件進行求解并分析模型結果。實例描述：牛奶生產銷售計劃何堅勇,最優(yōu)化方法 M，北京:清華大學出版社， 2007.175.一奶制品加工廠用牛奶生產兩種普通奶制品，以及兩種高級奶制品，分別是由深加工開發(fā)得到的。已知每一桶牛奶可以在甲類設備上用12h加工成3kg，或者在乙類設備上用8h加工成4kg；深加工時，用2h并花1.5元加工費，可將1kg加工成0.8kg，也可將1kg加工成0.75kg。根據(jù)市場要求，生產的4種奶制品全部能售出，且每公斤,獲利分別為12元、8元、22元、16元?，F(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應，每天正式工人總的勞動時間最多為480h，并且乙類設備和深加工設備的加工能力沒有限制，但甲類設備的數(shù)量相對較少，每天至多能加工100kg。試為該廠制定一個生產計劃，是每天的凈利潤最大，并討論以下問題：（1） 若投資15元，可以增加供應1桶牛奶，應否作這項投資？（2） 若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，支付給臨時工人的工資最多是每小時幾元？模型的分析與建立： 這是一個有約束的優(yōu)化問題，其模型應該包含決策變量、目標函數(shù)和約束條件。根據(jù)上一節(jié)所總結的步驟可分析如下：決策變量 用決策變量表述生產計劃，它并不是唯一的，設,每天的銷售量分別為(kg)。也是的產量。設工廠用(kg)加工成，(kg)加工成（增設決策變量，可以使模型表達更清晰）目標函數(shù) 目標函數(shù)是每天的凈利潤z，即,的獲利之和扣除深加工費，容易寫出 （元）。約束條件原料供應：每天的產量為(kg)，用牛奶()/3(桶)，每天的產量為(kg)，用牛奶()/4(桶)，兩者之和不得超過每天的供應量50(桶)。勞動時間：每天生產的時間分別為4()和2()，加工的時間分別為2和2，兩者之和不得超過總的勞動時間480h。設備能力：每天的產量不得超過甲類設備的加工能力100(kg)。加工約束：1(kg)加工成0.8(kg)，故=0.8；類似地=0.75。非負約束：均為非負。由此得到如下基本模型：；顯然，目標函數(shù)和約束條件都是線性的，這是一個線性規(guī)劃問題，求出的最優(yōu)解將給出使凈利潤最大的生產銷售計劃，要討論的問題需考慮參數(shù)的變化對最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響，即靈敏度分析。整理后為：模型求解： 利用線性規(guī)劃軟件LINGO11.0在該編程區(qū)域中編寫語言建立模型并求解如下所示：model:max =12*x1+8*x2+22*x3+16*x4-1.5*x5-1.5*x6;4*x1+3*x2+4*x5+3*x6=600;2*x1+x2+3*x5+2*x6=240;x1+x5=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;x6=0;end程序編程完之后，選擇LINGO菜單中Solve選項，即可得到結果如表1所示:表1 計量單位：元Global optimal solution found.Objective value: 1730.400Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2VariableValueReduced CostX10.0000000.8400000X2168.00000.000000X319.200000.000000X40.0000000.000000X524.000000.000000X60.0000000.7600000RowSlack or SurplusDual Price11730.4001.00000020.0000001.58000030.0000003.260000476.000000.00000050.00000022.0000060.00000016.0000070.0000000.0000008168.00000.000000919.200000.000000100.0000000.0000001124.000000.000000120.0000000.000000由表1可知：軟件經(jīng)過2次迭代后即找到全局最優(yōu)解，目標函數(shù)最大值為1730.4，變量值分別為：.即每天生產銷售168(kg)和19.2(kg)(不出售,)，可獲凈利潤1730.4元。為此，需用8桶牛奶加工成24(kg)，42桶加工成168(kg)，并將得到的24(kg)全部深加工成19.2(kg)。其中，“ReducedCost”表示最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當變量有微小變動時,目標函數(shù)的變化率(最優(yōu)解中變量的此值自動為零)。其中基變量的ReducedCost值應為0，對于非基變量,相應的ReducedCost值表示當某個變量增加一個單位時目標函數(shù)減少的量(max型問題)。(注：min型問題時表示當某個變量增加一個單位時目標函數(shù)增加的量)。如上例中：變量(即每天的生產銷售量)對應的ReducedCost值為0.84，表示當非基變量的值從0變?yōu)?時(此時假定其他非基變量保持不變,但為了滿足約束條件，基變量顯然會發(fā)生變化)，即每天的生產銷售量增加一個單位時，最優(yōu)的目標函數(shù)值z1730.40.841729.56（元）。“Row”是結果模型的行號，“Slack or Surplus”的含義為松弛或剩余，也就是限制條件左右兩邊的差值，對于報告中“=”小等式，左端減去右端的差值稱為Surplus(剩余)。如上例中除非負約束外都屬于松弛，且：第1行松弛變量=1730.4（模型第一行表示目標函數(shù)，所以第二行對應第一個約束）第2行松弛變量=0第3行松弛變量=0第4行松弛變量=76第5行松弛變量=0第6行松弛變量=0第7至第12行指非負約束后的變量值，即實際上為所求的最優(yōu)解?！癉ual Price” 的含義是影子價格(或對偶價格)表示當對應約束有微小變動時，目標函數(shù)的變化率。輸出結果中對應于每一個約束有一個影子價格。若其數(shù)值為p，表示對應約束中不等式右端項若增加1個單位，目標函數(shù)將增加p個單位(max型問題)。顯然，如果在最優(yōu)解處約束正好取等號(也就是“緊約束”，也稱為有效約束或起作用約束)，影子價格值才可能不是0。本例中：第2、3、5、6行是緊約束，對應的影子價格值為1.58、3.26、22、16，表示當緊約束2)變?yōu)?2)時，目標函數(shù)值z1730.4+1.581731.98。對第3、5、6行也類似。對于非緊約束(本例中第4行是非緊約束)，Dual Price的值為0,表示對應約束中不等式右端項的微小擾動不影響目標函數(shù)。簡而言之，從上述運行結果報告中可得：Row 2的松弛值為0，說明第二行的原料約束條件已達到飽和狀態(tài)(即50桶牛奶全部用完),影子價格為1.58元，意思是說,若能每增加1桶牛奶，原約束的(即在整理前)(1)式的目標利潤增加1.58元。但因左右兩端需同時乘以12以去分母。因此每增加一桶牛奶的實際利潤應為：1.581218.96(元)。所以在問題（1）“若投資15元，可以增加供應1桶牛奶，應否作這項投資?”中，顯然18.9615,因此投資增加牛奶的供應量是值得的。Row 3的松弛值也為0，同樣表明勞動時間得到充分的利用的飽和狀態(tài)(480h)，影子價格為3.26元。即工時能力每增加1h，在原約束的(2)式的目標函數(shù)利潤增加3.26元。但在整理時式子左右兩端需同時除以2，因此實際的目標函數(shù)利潤為：3.2621.63元。所以在問題（2）“若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，支付給臨時工人的工資最多是每小時幾元?”中，每小時支付給臨時工的工資每小時不超過1.63(元)。Row 4的松弛值為76,這表明按最優(yōu)解(X4=0)安排甲類設備的加工能力時，每天甲類設備有76kg的加工能力剩余，實際加工為：10076=24(kg)。因此單純的增加甲類設備的加工能力對目標函數(shù)的最優(yōu)值不起作用，所以影子價格為0。同理可知，在Row 5、Row 6中，分別每增加1kg的，其目標函數(shù)利潤分別增加22、16元。靈敏度分析：其實，在上述Row 2、 Row 3 、Row 5、Row 6中的松弛變量并不是可以任意增加的，其變化的范圍，當數(shù)值超過這個范圍，所求解的模型中的松弛變量和影子價格就不再準確了。需要重新建立和求解模型。所以分析得到這個變化范圍是很必要的，并且稱之為靈敏度分析。即靈敏度分析結果表示的是最優(yōu)基保持不變的系數(shù)范圍。同樣用上述實例，運用LINGO 11.0中的靈敏度分析功能可以得到表2如下：表2 Ranges in which the basis is unchanged： Objective Coefficient RangesVariableCurrent CoefficientAllowable IncreaseAllowable DecreaseX112.000000.8400000INFINITYX28.0000004.0750001.050000X322.000009.8750001.583333X416.000001.013333INFINITYX5-1.5000007.9000001.266667X6-1.5000000.7600000INFINITYRight-hand Side RangesRowCurrent RHSAllowable IncreaseAllowable Decrease2600.0000120.0000280.00003240.0000126.666740.000004100.0000INFINITY76.0000050.0INFINITY19.2000060.0INFINITY0.070.00.0INFINITY80.0168.0000INFINITY90.019.20000INFINITY100.00.0INFINITY110.024.00000INFINITY120.00.0INFINITY其中，上述表格中Current Coefficient表示當前目標函數(shù)系數(shù)；Allowable Increase表示允許增加量；Allowable Decrease表示允許減少量；Current RHS表示當前右邊常數(shù)項；INFINITY代表該數(shù)值可以無窮大(符號為，以下都用此符號代替)。此外，表格的第一部分(Objective Coefficient Ranges)表示目標函數(shù)系數(shù)的變化范圍。如對于變量目標函數(shù)系數(shù)允許上調范圍為0.84，允許下調范圍為，但需要注意的是本例中該目標函數(shù)系數(shù)中至代表的是產品售出后的凈利潤，同樣具有非負性。因此只要變量目標函數(shù)的系數(shù)在0,12.84范圍內變化時，最優(yōu)解保持不變。同理可得至的目標函數(shù)系數(shù)變化范圍分別為6.95,12.075、20.417,31.875、0,17.013。而 表示的是深加工時的費用，必須是負數(shù)。這說明當,四種產品銷售利潤在以上范圍內變化時，工廠的生產計劃不需要改變，即改變生產計劃不能增加工廠的利潤。表格的第二部分(Right-hand Side Ranges)的意思是約束條件右邊常數(shù)的變化范圍。如本表格中的Row 2，這一行表示的是生產原料的約束條件，同上可得其取值范圍為 600280，600120(即320，720)。但需要注意的是該行的“Current RHS”是600，這是原約束(1)式左右兩邊同時乘以12整理后的模型中的約束值。因此，在（1）問“若投資15元，可以增加供應1桶牛奶，應否作這項投資？”中，最多每天增加應不超過1201210(桶)，不然上述生產計劃模型的不適合，需要重新求解。Row 3表示的是勞動時間的約束條件，由上表可知，其取值范圍是200,366.667。但與Row 2相反，它是原約束(2)式左右兩邊同時除以2得到的，因此其實際的取值范圍應該是 400，733.334。即在問題（2）中，雇傭臨時工最多不能超過733.334480253.334(h)。同理，Row 4的取值范圍是24，)。以上說明在取值范圍內影子價格和縮減成本系數(shù)均小變。3 總結在企業(yè)制定生產計劃時，線性規(guī)劃已成為企業(yè)生產經(jīng)營過程中決策制定的理論依據(jù)，生產計劃安排是否合理將直接影響到企業(yè)的經(jīng)濟效益。本文主要分成兩部分來說明述線性規(guī)劃模型與企業(yè)生產計劃的決策之間的聯(lián)系以及求解方法。其中，第一部分主要介紹了線性規(guī)劃與線性規(guī)劃模型的基本理論以及建立和分析線性規(guī)劃模型基本方法和步驟，為下文提供理論依據(jù)；第二部分主要講述線性規(guī)劃模型與企業(yè)生產計劃的決策之間的聯(lián)系，并通過對典型案例的具體解答和分析的過程說明線性規(guī)劃模型運用在企業(yè)生產計劃的決策是合理而且準確的。同時運用線性規(guī)劃LINGO 11.0