分析法在立體幾何問題中應(yīng)用.doc

分析法在立體幾何問題中應(yīng)用 湖州中學(xué) 凌 紅立體幾何在高中是一個難點，特別是添輔助線，讓很多同學(xué)無從下手.雖然證明題的思路是非常明確的，比如要證明線面平行，只要在平面中找到一條直線與已知直線平行即可；要證明兩條異面直線垂直，只要構(gòu)造一個包含其中一條直線的平面與另一條直線垂直即可，但是如何去尋找所需要的直線與平面呢？幸好空間向量的引入，使得立體幾何也可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題進(jìn)行計算，不需要添加輔助線，只要能建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算即可解決立體幾何的問題.但事與愿違，那些沒有數(shù)量關(guān)系的幾何問題不可能利用空間向量來解決，因此如何添加輔助線的可操作性的方法便呼之欲出.接下來，利用分析法討論兩類問題：如何添加輔助線和建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系.一、分析法解決輔助線問題例1 在正方體中，求證：平面分析：要證明平面，只要證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線.利用分析法，可以將平面看成是已知條件，則根據(jù)線面垂直的定義，有垂直于平面內(nèi)的所有直線，所以只要選取其中的兩條來證明即可.接下來問題就轉(zhuǎn)化成為證明和，即兩條異面直線垂直，常用的方法就是構(gòu)造線面垂直.先來證明.利用分析法，可以看成是已知條件，由于處于下底面，只要過有一條垂直垂直于的直線即可，因為底面是一個正方形，故對角線互相垂直，所以只要連接，就應(yīng)有平面.這樣問題就轉(zhuǎn)化為證明平面.由于，即可證明.然后同理可證.證明過程略.評注：其實這個題，如果用三垂線定理，應(yīng)該是比較容易想到連接，因為是在下表面內(nèi)的射影。但由于課改后，在必修2中對三垂線定理只字不提，增大了此類題目的難度.類似地，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教版）數(shù)學(xué)必修2的73頁上有這樣一個探究題：如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時， 分析：連接，只要，就有.例2 如圖，是平行四邊形，是平面外一點，為的中點.求證：平面. SABCDM分析：要證明平面，只要在平面中找到一條直線與平行.利用分析法，可以將平面看成已知條件，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，過的平面只要與平面相交，則與交線平行.題目中包含有兩個平面只有平面和平面，而這兩個平面與平面的交線在這個幾何體的外面，不太好找.我們可以改變策略，在四棱錐中構(gòu)作一個包含的平面.根據(jù)確定平面的公理2的推論：一條直線和直線外一點可以唯一確定一個平面，我們選取點，連接交于，構(gòu)作平面，它與平面的交線是，故只要證明.由于底面是平行四邊形，是的中點，易得.證明過程略.評注：由于線面平行的話，直線上所有點到平面的距離相等，而且垂直于同一個平面的兩條直線平行，兩條平行直線也可確定一個平面，有時也利用平行四邊形構(gòu)作平面.如下題.在正方體中，分別是上的點，.求證：平面.二、分析法建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量解決立體幾何問題有著無比的優(yōu)越性，因此逐漸成為高考的熱點之一.新課改也處處體現(xiàn)向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介紹了空間直角坐標(biāo)系，重點要求掌握空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的確定，以及空間向量的模長，從而掌握空間向量的數(shù)量積來解決長度與角度的問題.而空間直角坐標(biāo)系是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的關(guān)鍵，所以如何建立空間直角坐標(biāo)系就顯得猶為重要.接下來，利用分析法談?wù)劷⒖臻g直角坐標(biāo)系的問題.例3 四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面，已知，.（1） 求證：；（2） 求直線與平面所成角的大小. SABCD分析：要建立空間直角坐標(biāo)系，最好有一個線面垂直.先來分析下底面，由于下底面是的平行四邊形，且，故連接，有是已為直角的等腰直角三角形.取的中點為，連接，則.利用分析法，將看成已知條件，所以應(yīng)有平面，則.因為側(cè)面底面，根據(jù)面面垂直的定義，有底面.故可取為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.證明過程略.附：分析法得到意想