2019版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解析幾何課時(shí)分層作業(yè)五十六8.7雙曲線理.docx

課時(shí)分層作業(yè) 五十六雙曲線一、選擇題(每小題5分,共25分)1.雙曲線-=1的漸近線方程是()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】選C.雙曲線-=1 中a=3,b=2,雙曲線的漸近線方程為y=x.2.(2018石家莊模擬)若雙曲線M:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,P為雙曲線M上一點(diǎn),且|PF1|=15, |PF2|=7, |F1F2|=10,則雙曲線M的離心率為()A.3B.2C.D.【解析】選D.P為雙曲線M上一點(diǎn),且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,則雙曲線的離心率為:e=.3.(2018彭州模擬)設(shè)F為雙曲線C: -=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲線C的左、右支交于點(diǎn)P,Q,若|PQ|=2|QF|, PQF=60,則該雙曲線的離心率為()A.B.1+C.2+D.4+2【解析】選B.PQF=60, 因?yàn)閨PQ|=2|QF|,所以PFQ=90,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,連接F1P,F1Q,由對(duì)稱性可知,四邊形F1PFQ為矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,故e=+1.【變式備選】(2018齊齊哈爾模擬)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,半徑為a的圓與雙曲線C的某條漸近線交于兩點(diǎn)P,Q,若PAQ,則雙曲線C的離心率的取值范圍為()A.B.C.D.【解析】選A.過A作ABPQ,垂足為B,則B為PQ的中點(diǎn),即PAB,點(diǎn)A到漸近線y=x的距離為:|AB|=,cosPAB,即,得到.所以,e,又e1,所以雙曲線C的離心率的取值范圍為.4.已知雙曲線C:x2-=1,經(jīng)過點(diǎn)M的直線l交雙曲線C于A,B兩點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn),則直線l的方程為()A.8x-y-15=0B.8x+y-17=0C.4x+y-9=0D.4x-y-7=0【解析】選A.設(shè)點(diǎn)A,B,則有兩式作差得-=0,即直線l的斜率k=8,所以直線l的方程為y-1=8,即8x-y-15=0.【變式備選】已知雙曲線C:x2-=1,經(jīng)過點(diǎn)M的直線l交雙曲線C于A,B兩點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn),則直線l的方程為_.【解析】設(shè)點(diǎn)A,B,則有兩式作差得-=0,即直線l的斜率k=1,所以直線l的方程為y-3=x-1,即y=x+2.答案:y=x+25.已知F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為 ()A.5B.5+4C.7D.9【解析】選D.如圖所示,設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為E,則E(4,0).由雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程得|PF|-|PE|=4,則|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由圖可得,當(dāng)A,P,E三點(diǎn)共線時(shí),(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,從而|PF|+|PA|的最小值為9.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為_.【解析】因?yàn)閑=,F2(5,0),所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.答案:-=1【誤區(qū)警示】利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是:設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,根據(jù)已知條件,列出關(guān)于a,b,c的方程并求出a,b,c的值.與雙曲線-=1有相同漸近線時(shí)可設(shè)所求雙曲線方程為-=(0).7.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn),其一條漸近線方程為y=x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【解析】設(shè)雙曲線方程為: mx2+ny2=1(mn0,b0)交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,又l關(guān)于直線l1:y=x對(duì)稱的直線l2與x軸平行.(1)求雙曲線C的離心率.(2)求雙曲線C的方程.【解析】(1)設(shè)雙曲線C:-=1過一、三象限的漸近線l1:-=0的傾斜角為.因?yàn)閘和l2關(guān)于l1對(duì)稱,記它們的交點(diǎn)為P,l與x軸的交點(diǎn)為M.而l2與x軸平行,記l2與y軸的交點(diǎn)為Q.依題意有QPO=POM=OPM=.又l:y=(x-2)的傾斜角為60,則2=60,所以tan 30=.于是e2=1+=1+=,所以e=.(2)由于=,于是設(shè)雙曲線方程為-=1(k0),即x2-3y2=3k2.將y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,得x2-33(x-2)2=3k2.化簡(jiǎn)得到8x2-36x+36+3k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2|=2=2= =,求得k2=1.故所求雙曲線方程為-y2=1.10.已知離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸為實(shí)軸,短軸為虛軸,且焦距為2.(1)求橢圓及雙曲線的方程.(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P,連接BP交橢圓于點(diǎn)M,連接PA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)N,若=,求四邊形ANBM的面積.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),則根據(jù)題意知雙曲線的方程為-=1且滿足解方程組得所以橢圓的方程為+=1,雙曲線的方程為-=1.(2)由(1)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,設(shè)M(x0,y0),則由=得M為BP的中點(diǎn),所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0-5,2y0).將M,P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程,得消去y0,得2-5x0-25=0.解之,得x0=-或x0=5(舍去).所以y0=.由此可得M,所以P(-10,3).當(dāng)P為(-10,3)時(shí),直線PA的方程是y=(x+5),即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-或-5(舍去),所以xN=-,xN=xM,MNx軸.所以S四邊形ANBM=2SAMB=210=15.【誤區(qū)警示】注意區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系.【變式備選】已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線方程為2x+y=0,且頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求此雙曲線的方程.(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一、二象限,若=,求AOB的面積.【解析】(1)依題意得解得故雙曲線的方程為-x2=1.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y=2x,設(shè)A(m,2m),B(-n,2n),其中m0,n0,由=得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入-x2=1,整理得mn=1.設(shè)AOB=2,因?yàn)閠an=2,則tan =,從而sin 2=.又|OA|=m,|OB|=n,所以SAOB=|OA|OB|sin 2=2mn=2.1.(5分)過雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM(切點(diǎn)為M),交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn),則雙曲線的離心率是()A.B.C.2D.【解析】選A.因?yàn)镺MPF,且|FM|=|PM|,所以|OP|=|OF|,OFP=45,|OM|=|OF|sin 45,即a=c,所以e=,故選A.【變式備選】已知ABP的頂點(diǎn)A,B分別為雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)P在雙曲線上,則的值等于()A.B.C.D.【解析】選A.在ABP中,由正弦定理知=.2.(5分)(2018漢陽模擬)已知O為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線C: -=1(ba0)上有一點(diǎn)P(m0),點(diǎn)P在x軸上的射影恰好是雙曲線C的右焦點(diǎn),過點(diǎn)P作雙曲線C兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A, B,若平行四邊形PAOB的面積為1,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x2-=1B.-=1C.x2-=1D.-=1【解析】選A.設(shè)平行線方程為y-m=-,由 解得xA=,則|OA|=,又點(diǎn)P到直線y=x的距離d=,所以=1,化簡(jiǎn)得 =1,又-=15b2-a2m2=a2b2,所以ab=2,又c=,解得a=1,b=2,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-=1.【變式備選】已知雙曲線-=1(a0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】選A.因?yàn)閳Ax2+y2-10x=0的圓心為(5,0),所以c=5,又雙曲線的離心率等于,所以a=,b=2.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.3.(5分)(2018開封模擬)F1,F2是雙曲線C:-=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M是雙曲線C上一點(diǎn),且F1MF2=60,則F1MF2的面積為_.【解析】因?yàn)镕1,F2是雙曲線C:-=1的兩個(gè)焦點(diǎn),所以m+4=16,所以m=12,設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,因?yàn)辄c(diǎn)M是雙曲線上一點(diǎn),且F1MF2=60,所以|m-n|=4,m2+n2-2mncos 60=64,由-2得mn=16,所以F1MF2的面積S=mnsin 60=4.答案:44.(12分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線的方程為y=x,右焦點(diǎn)F到直線x=的距離為.(1)求雙曲線C的方程.(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B,D兩點(diǎn),已知A(1,0),若=1,證明:過A,B,D三點(diǎn)的圓與x軸相切.【解析】(1)依題意有=,c-=,因?yàn)閍2+b2=c2,所以c=2a,所以a=1,c=2,b2=3.故雙曲線C的方程為x2-=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m(m0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中點(diǎn)為M,由得2x2-2mx-m2-3=0,所以x1+x2=m,x1x2=-,又因?yàn)?1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1.所以m=0(舍)或m=2.所以x1+x2=2,x1x2=-,M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=1,因?yàn)?(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0.所以ADAB,所以過A,B,D三點(diǎn)的圓以點(diǎn)M為圓心,BD為直徑,因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,所以MAx軸,所以過A,B,D三點(diǎn)的圓與x軸相切.5.(13分)已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)N(2,0)并且與圓M:(x+2)2+y2=4相外切,動(dòng)圓圓心P的軌跡為W,過點(diǎn)N的直線l與軌跡W交于A,B兩點(diǎn). (1)求軌跡W的方程.(2)若2=,求直線l的方程.(3)對(duì)于l的任意一確定的位置,在直線x=上是否存在一點(diǎn)Q,使得=0,并說明理由.【解析】(1)依題意可知|PM|=|PN|+2,所以|PM|-|PN|=20,b0),則a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以軌跡W的方程為x2-=1(x1).(2)當(dāng)l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足2=,故l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-2),由 得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 由解得k23.因?yàn)?=,所以2(2-x1,-y1)=(x2-2,y2),所以x2=6-2x1,代入得=6-x1,=x1(6-2x1),消去x1得k2=35,即k=,故所求直線l的方程為y=(x-2).(3)問題等價(jià)于判斷以AB為直徑的圓是否與直線x=有公共點(diǎn),若直線l的斜率不存在,則以AB為