【步步高】高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.4數(shù)列求和教案 理 新人教A版 .DOC

6.4數(shù)列求和2014高考會(huì)這樣考1.考查等差、等比數(shù)列的求和；2.以數(shù)列求和為載體，考查數(shù)列求和的各種方法和技巧；3.綜合考查數(shù)列和集合、函數(shù)、不等式、解析幾何、概率等知識(shí)的綜合問(wèn)題復(fù)習(xí)備考要這樣做1.靈活掌握數(shù)列由遞推式求通項(xiàng)公式的幾種方法；2.掌握必要的化歸方法與求和技巧，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，巧妙解決數(shù)列求和的問(wèn)題1 等差數(shù)列前n項(xiàng)和snna1d，推導(dǎo)方法：倒序相加法；等比數(shù)列前n項(xiàng)和sn推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法2 數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列(2)拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和. (3)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(4)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.3 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式(1)；(2)；(3).難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和2 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)列問(wèn)題的基本思想方法，它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題來(lái)解決1 在等差數(shù)列an中，sn表示前n項(xiàng)和，a2a818a5，則s9_.答案54解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，a2a818a5，即2a518a5，a56，s99a554.2 等比數(shù)列an的公比q，a81，則s8_.答案255解析由a81，q得a127，s8281255.3 若sn1234(1)n1n，則s50_.答案25解析s5012344950(1)2525.4 (2011天津)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，sn為an的前n項(xiàng)和，nn*，則s10的值為 ()a110 b90 c90 d110答案d解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.s101020109(2)110.5 (2012大綱全國(guó))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a55，s515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為 ()a. b. c. d.答案a解析利用裂項(xiàng)相消法求和設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，s515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項(xiàng)和為11.題型一分組轉(zhuǎn)化求和例1已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq (nn*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和sn的公式思維啟迪：第(1)問(wèn)由已知條件列出關(guān)于p、q的方程組求解；第(2)問(wèn)分組后用等差、等比數(shù)列的求和公式求解解(1)由x13，得2pq3，又因?yàn)閤424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以sn(2222n)(12n)2n12.探究提高某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化特別注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論 求和sn1.解和式中第k項(xiàng)為ak12.sn22(111()22n2.題型二錯(cuò)位相減法求和例2設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nn*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.思維啟迪：(1)由已知寫出前n1項(xiàng)之和，兩式相減(2)bnn3n的特點(diǎn)是數(shù)列n與3n之積，可用錯(cuò)位相減法解(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，適合an，an.(2)bn，bnn3n.sn3232333n3n，3sn32233334n3n1.得2snn3n1(332333n)，即2snn3n1，sn.探究提高解答本題的突破口在于將所給條件式視為數(shù)列3n1an的前n項(xiàng)和，從而利用an與sn的關(guān)系求出通項(xiàng)3n1an，進(jìn)而求得an；另外乘公比錯(cuò)位相減是數(shù)列求和的一種重要方法，但值得注意的是，這種方法運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，運(yùn)算量大，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)解題過(guò)程的訓(xùn)練，重視運(yùn)算能力的培養(yǎng) (2011遼寧)已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，即sna1，故s11，.所以，當(dāng)n1時(shí)，得a11()1(1).所以sn.當(dāng)n1時(shí)也成立綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和sn.題型三裂項(xiàng)相消法求和例3在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和sn滿足san.(1)求sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和tn.思維啟迪：第(1)問(wèn)利用ansnsn1 (n2)后，再同除sn1sn轉(zhuǎn)化為的等差數(shù)列即可求sn.第(2)問(wèn)求出bn的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消求和解(1)san，ansnsn1 (n2)，s(snsn1)，即2sn1snsn1sn，由題意sn1sn0，式兩邊同除以sn1sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1，sn.(2)又bn，tnb1b2bn(1)()().探究提高使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為sn，且sn，nn*.(1)求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn，tnb1b2bn，求tn.(1)證明sn，nn*，當(dāng)n1時(shí)，a1s1 (an0)，a11.當(dāng)n2時(shí)，由得2anaanaan1.即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可得ann，sn，bn.tnb1b2b3bn11.四審結(jié)構(gòu)定方案典例：(12分)已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項(xiàng)和為sn.(1)求an及sn；(2)令bn(nn*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.審題路線圖等差數(shù)列an中，特定項(xiàng)的值(a3，a5，a7即為特定項(xiàng))a37，a5a726(從特定項(xiàng)，考慮基本量a1，d)列方程組(根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，確定了方程的方法)用公式：ana1(n1)d，snna1d.(將an代入化簡(jiǎn)求bn)bn(根據(jù)bn的結(jié)構(gòu)特征，確定裂項(xiàng)相消)bntn.規(guī)范解答解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.因?yàn)閍37，a5a726，所以解得4分所以an32(n1)2n1，sn3n2n22n.6分(2)由(1)知an2n1，所以bn，8分所以tn(1)10分(1)，即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.12分溫馨提醒本題審題的關(guān)鍵有兩個(gè)環(huán)節(jié)一是根據(jù)a37，a5a726的特征，確定列方程組求解二是根據(jù)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn的特征，確定用裂項(xiàng)相消法求和所以，在審題時(shí)，要根據(jù)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征確定解題方案.方法與技巧數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和失誤與防范1通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式觀察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，判斷求和類型，尋找求和的方法，或拆為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和求和過(guò)程中同時(shí)要對(duì)項(xiàng)數(shù)作出準(zhǔn)確判斷2含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類討論a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，其前n項(xiàng)和為sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為()a120 b70 c75 d100答案c解析n2，的前10項(xiàng)和為10375. 2 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a93a110，a10a110，且數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn有最大值，那么當(dāng)sn取得最小正值時(shí)，n等于 ()a20 b17 c19 d21答案c解析由a93a110，得2a102a110，即a10a110，又a10a110，a110，s2010(a10a11)0.3 若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 ()a2nn21 b2n1n21c2n1n22 d2nn2答案c解析sn2n12n2.4 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項(xiàng)之和s100等于()a200 b200 c400 d400答案b解析s100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.二、填空題(每小題5分，共15分)5 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a11，a22，an2an1(1)n (nn*)，則s100_.答案2 600解析由an2an1(1)n知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，數(shù)列a2k是等差數(shù)列，a2k2k.s100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.6 數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn24n2，則|a1|a2|a10|_.答案66解析當(dāng)n1時(shí)，a1s11.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn12n5.an.令2n50，得n，當(dāng)n2時(shí)，an0，|a1|a2|a10|(a1a2)(a3a4a10)s102s266.7 (2012課標(biāo)全國(guó))數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_(kāi)答案1 830解析利用數(shù)列的遞推式的意義結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.三、解答題(共22分)8 (10分)求和：(1)sn；(2)sn222.解(1)由于ann，sn(123n)1.(2)當(dāng)x1時(shí)，sn4n.當(dāng)x1時(shí)，sn222(x2x4x2n)2n2n2n.sn9 (12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a11，an1sn(n1,2,3，)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)bnlog(3an1)時(shí)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和tn.(1)解由已知得 (n2)，得到an1an (n2)數(shù)列an是以a2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列又a2s1a1，ana2n2 n2 (n2)an(2)證明bnlog(3an1)logn.tn1.b組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列bn滿足bnlg an，b318，b612，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的最大值等于 ()a126 b130 c132 d134答案c解析bn1bnlg an1lg anlg lg q(常數(shù))，bn為等差數(shù)列由bn2n240，得n12，bn的前11項(xiàng)為正，第12項(xiàng)為零，從第13項(xiàng)起為負(fù)，s11、s12最大且s11s12132.2 數(shù)列an，其前n項(xiàng)之和為，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線(n1)xyn0在y軸上的截距為 ()a10 b9 c10 d9答案b解析數(shù)列的前n項(xiàng)和為1，n9，直線方程為10xy90.令x0，得y9，在y軸上的截距為9.3 已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 013項(xiàng)之和s2 013等于 ()a1 b2 010c4 018 d0答案c解析由已知得anan1an1 (n2)，an1anan1.故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2 008,2 009,1，2 008，2 009，1，2 008,2 009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且s60.2 01363353，s2 013s34 018.二、填空題(每小題5分，共15分)4 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n1，則aaa_.答案(4n1)解析當(dāng)n1時(shí)，a1s11，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn12n1(2n11)2n1，又a11適合上式an2n1，a4n1.數(shù)列a是以a1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列aaa(4n1)5 若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，且n23n (nn*)，則_.答案2n26n解析令n1得4，即a116，當(dāng)n2時(shí)，(n23n)(n1)23(n1)2n2，所以an4(n1)2，當(dāng)n1時(shí)，也適合上式，所以an4(n1)2 (nn*)于是4(n1)，故2n26n.6 已知數(shù)列an中，a160，an1an3，則這個(gè)數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和是_答案765解析由題意知an是等差數(shù)列，an603(n1)3n63，令an0，解得n21.|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)(a21a30)s302s20(606063)20765.三、解答題7 (13分)(2012四川)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a2ans2sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立(1)求a1，a2的值；(2)設(shè)a10，數(shù)列的前n項(xiàng)和為tn，當(dāng)n為何值時(shí)，tn最大？并求出tn的最大值解(1)取n1，得a2a1s2s12a1a2，取n2，得a2a