【志鴻全優(yōu)設計】高中數(shù)學 第二章2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)講解與例題 新人教A版選修21.doc

2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)問題導學一、拋物線幾何性質(zhì)的應用活動與探究1已知拋物線的頂點在原點，焦點f在x軸正半軸上若拋物線上一動點p到a，f兩點距離之和的最小值為4，且a為拋物線內(nèi)一點，求拋物線方程遷移與應用1拋物線y22px(p0)上一點m的縱坐標為4，該點到準線的距離為6，則拋物線方程為_2已知圓x2y26x70與拋物線y22px(p0)的準線相切，則p_注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準線始終與對稱軸垂直，拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點關于拋物線的頂點對稱二、拋物線的焦點弦活動與探究2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點f，且與拋物線相交于a，b兩點(1)若直線l的傾斜角為60，求|ab|的值；(2)若|ab|9，求線段ab的中點m到準線的距離遷移與應用1過拋物線y22px的焦點f的直線與拋物線交于a，b兩點，若a，b在準線上的射影為a1，b1，則a1fb1等于()a45 b90 c60 d1202過拋物線y22px(p0)的焦點f作一條直線交拋物線于a，b兩點，求的值已知過拋物線y22px(p0)的焦點的直線交拋物線于a，b兩點，則弦ab稱為焦點弦設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|ab|x1x2p或|ab|(為ab的傾斜角)，y1y2p2，x1x2等三、直線與拋物線的位置關系活動與探究3已知拋物線y26x的弦ab經(jīng)過點p(4,2)，且oaob(o為坐標原點)，求弦ab的長遷移與應用1直線ykx2與拋物線y28x交于a，b兩點，且ab中點的橫坐標為2，則k的值為()a1 b2 c2或1 d42過點q(4,1)作拋物線y28x的弦ab，若ab恰被q平分，求ab所在的直線方程1直線與拋物線位置關系的判定：直線方程與拋物線方程聯(lián)立得方程ax2bxc0，當a0時，直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時直線與拋物線相交，且只有一個交點；當a0時，兩者位置關系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可，即相交：兩個不同交點a0且0；相切a0且0；相離a0且02凡涉及拋物線的弦長、弦的中點問題，要注意“點差法”的運用，體現(xiàn)“設而不求”的優(yōu)越性答案：課前預習導學【預習導引】1xyx0y0x軸y軸(0,0)預習交流1提示：拋物線與雙曲線的一支不相同雙曲線的一支有漸近線，離心率e1；拋物線沒有漸近線，它的離心率是唯一的，e12x0x1x2p2p預習交流2提示：拋物線方程化為y2x，2p，故其通徑長為預習交流3提示：不正確，若直線與拋物線相切，則它們只有一個公共點，但當直線與拋物線只有一個公共點時，直線不一定與拋物線相切，還可能是相交，這時直線與拋物線的對稱軸平行或重合這一點與圓、橢圓是不同的，要注意區(qū)別課堂合作探究【問題導學】活動與探究1思路分析：先根據(jù)題目條件設出拋物線方程，再結(jié)合圖形，探討拋物線上的動點p滿足到a，f兩點距離之和取最小值時的條件，進而列出等量關系解：設所求的拋物線方程為y22px(p0)，其焦點為f，準線l：x如圖所示，若a點在“拋物線所包含的區(qū)域之內(nèi)”，過點p作準線的垂線，垂足為h，由拋物線定義可知|pf|ph|當h，p，a在同一條直線上時，|pa|pf|取最小值|ah|24，解得p4，故所求的拋物線方程為y28x遷移與應用1y216x或y28x解析：由于拋物線的準線方程是x，而點m到準線的距離為6，所以m點的橫坐標是6，于是m，代入方程得322p，解得p8或p4，故方程為y216x或y28x22解析：圓x2y26x70的圓心為(3,0)，半徑為4，拋物線y22px的準線為x由4，得p2或14(舍)活動與探究2思路分析：(1)由傾斜角可知斜率，從而得到l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義可求得|ab|的值；(2)由|ab|9求得弦ab中點的橫坐標即可求得m到準線的距離解：(1)因為直線l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60又f，所以直線l的方程為y聯(lián)立消去y得x25x0設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x25，而|ab|af|bf|x1x2x1x2p，所以|ab|538(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，由拋物線定義知|ab|af|bf|x1x2px1x23，所以x1x26，于是線段ab的中點m的橫坐標是3又準線方程是x，所以m到準線的距離為3遷移與應用1b解析：如圖，由拋物線定義知|aa1|af|，|bb1|bf|，所以aa1fafa1又aa1fa1fo，所以afa1a1fo同理bfb1b1fo于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1故a1fb1902解：已知拋物線的焦點，設a，b兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)對于直線ab，分兩種情況考慮：(1)若直線ab的傾斜角為90，則有|af|bf|p，所以；(2)若直線ab的傾斜角不等于90，設直線ab的方程為，與拋物線方程聯(lián)立并消去y，整理得k2x2(k22)px0，由韋達定理得，x1x2，x1x2另一方面，由拋物線定義得|af|x1，|bf|x2于是活動與探究3思路分析：要求弦ab的長，只需求出a，b兩點的坐標為此，設出a，b兩點的坐標，利用oaob以及a，b，p三點共線的條件求解解：a，b兩點在拋物線y26x上，可設a，boaob，0由，得y1y20y1y20，y1y236點a，b與點p(4,2)在一條直線上，化簡得，即y1y22(y1y2)24將代入，得y1y26由和，得y133，y233，從而點a的坐標為(93，33)，點b的坐標為(93，33)|ab|6遷移與應用1b解析：直線ykx2與拋物線y28x交于兩點，k0由消去y，得k2x24kx8x40，x1x2而ab中點的橫坐標為2，4，解得k1或k2而當k1時，方程k2x24kx8x40只有一個解，即a，b兩點重合，k12解：方法1：顯然ab不垂直于x軸，故可設弦ab所在的直線方程為y1k(x4)，聯(lián)立方程組消去x，整理得ky28y32k80此方程的兩根是弦ab的端點a，b的縱坐標，由韋達定理得y1y2又q點是弦ab的中點，y1y22k4故弦ab所在的直線方程為y14(x4)，即4xy150方法2：設弦ab的端點a，b的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)則有，兩式相減得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)由于q點是弦ab的中點，y1y22，于是4，即直線ab的斜率k4，故弦ab所在的直線方程為y14(x4)，即4xy150當堂檢測1設拋物線y28x的焦點為f，準線為l，p為拋物線上一點，pal，a為垂足，如果直線af的斜率為，那么|pf|()a b8c d16答案：b解析：如圖，直線af的方程為，與準線方程x2聯(lián)立得a(2，)設p(x0，)，代入拋物線y28x，得8x048，x06|pf|x0282直線ykx2與拋物線y28x只有一個公共點，則k的值為()a1 b1或3c0 d0或1答案：d解析：聯(lián)立得(kx2)28x0整理得k2x2(4k8)x40當k0時，方程變?yōu)?x40，只有一解，這時直線與拋物線只有一個公共點；當k0時，由0得(4k8)216k20，解得k1綜上，k0或13過拋物線x22py(p0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于a，b兩點，a，b在x軸上的正射影分別為d，c若梯形abcd的面積為，則p_答案：2解析：如圖，拋物線焦點為，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線ab：yx，即yx聯(lián)立x22py，得消去y得x22pxp20，x1(1)p，x2(1)p|ad|bc|y1y2x1x22pp3p，|cd|x1x2|由s梯形abcd(|ad|bc|)|cd|，解得p24，p2p0，p24已知p，q為拋物線x22y上兩點，點p，q的橫坐標分別為4，2，過p，q分別作拋物線的切線，兩切線交于點a，則點a的縱坐標為_答案：4解析：由已知可設p(4，y1)，q(2，y2)，點p，q在拋物線x22y上，p(4,8)，q(2,2)又拋物線可化為，yx，過點p的切線斜率為過點p的切線為y84(x4)，即y4x8又過點q的切線斜率為，過點q的切線為y22(x2)，即y2x2聯(lián)立得x1，y4，點a的縱坐標為45已知拋物線c：y22px(p0)過點a(1，2)(1)求拋物線c的方程，并求其準線方程；答案：解：將(1，2)代入y22px，得(2)22p1，p2故所求的拋物線c的方程為y24x，其準線方程為x1(2)是否存在平行于oa(o為坐標原點)的直線l，使得直線l與