【志鴻優(yōu)化設(shè)計】（湖南專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章計數(shù)原理10.2排列與組合教學(xué)案 理.doc

10.2排列與組合1理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題2理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題1排列與排列數(shù)：“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，“一個排列”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列”，它是一件事情，只有元素與其排列順序都相同的排列才是同一排列；“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是所有不同排列的個數(shù)，是一個數(shù)值排列數(shù)公式a_，右邊的第一個因數(shù)是n，后面的每一個因數(shù)都比前面一個少1，最后一個是nm1，共_個連續(xù)正整數(shù)相乘當(dāng)m，n較小時，可利用該公式計數(shù)；排列數(shù)公式還可表示成a_，它主要有兩個作用：一是當(dāng)m，n較大時，可利用計算器計算階乘數(shù)，二是對含字母的排列數(shù)式子進(jìn)行變形和論證時，寫出這種形式更便于發(fā)現(xiàn)它們之間的規(guī)律2組合與組合數(shù)：“一個組合”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組”，它是一件事情；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)值組合數(shù)公式的推導(dǎo)要借助于排列數(shù)公式，公式c_，其分子的組成與排列數(shù)a相同，分母是m個元素的全排列數(shù)當(dāng)m，n較小時，可利用該公式計數(shù)；組合數(shù)公式還可以表示成c_，它有兩個作用：一是當(dāng)m，n較大時，可利用計算器計算階乘數(shù)，二是對含字母的組合數(shù)式子進(jìn)行變形和論證3組合數(shù)公式有兩個性質(zhì)：(1)c_，該公式說明，從n個不同元素中取出m個元素與從n個不同元素中取出nm個元素是一一對應(yīng)關(guān)系，實(shí)際上就是“取出的”與“留下的”是一一對應(yīng)關(guān)系；(2)c_，該公式說明，從a1，a2，an1中取出m個元素的組合數(shù)c可以分成兩類：第一類含有元素a1，共c個；第二類不含元素a1，共c個18名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為()aaa bac caa dac2(2012山東高考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張不同取法的種數(shù)為()a232 b252 c472 d4843設(shè)集合s1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合aa1，a2，a3是s的子集，且a1，a2，a3滿足a1a2a3，a3a26，則滿足條件的集合a的個數(shù)為()a78 b76 c84 d834劉、李兩家各帶一個小孩一起到公園游玩，購票后排隊依次入園為安全起見，首尾一定要有兩位爸爸，另外，兩位小孩一定要排在一起，則這6人入園的順序排法共有_種55個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有_種(用數(shù)字作答)一、有限制條件的排列問題【例11】 用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_(用數(shù)字作答)【例12】 甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排，分別計算滿足下列條件的排法種數(shù)：(1)甲不在排頭、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不相鄰)方法提煉對于相鄰問題，可以先將要求相鄰的元素作為一個元素與其他元素進(jìn)行排列，同時要考慮相鄰元素的內(nèi)部是否需要排列，這種方法稱為“捆綁法”；對于不相鄰的元素，可先排其他元素，然后將這些要求不相鄰的元素插入空當(dāng)，這種方法稱為“插空法”；對于“在”或者“不在”的排列問題的計算方法主要有：位置優(yōu)先法、元素優(yōu)先法、間接計算法請做演練鞏固提升5二、組合問題【例21】 某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()a14 b16 c20 d48【例22】 某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當(dāng)選；(3)至少有一名隊長當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選；(5)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選方法提煉1注意問題有無順序要求，一般有序問題用排列，無序問題用組合；2有些復(fù)雜問題用直接法不好解決，往往選用間接法；3均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)；還要考慮到是否與順序有關(guān)，有序分組要在無序分組的基礎(chǔ)上乘分組數(shù)的階乘數(shù)請做演練鞏固提升1三、排列與組合的綜合應(yīng)用【例31】 現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)4項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有1人參加甲、乙不會開車但能從事其他3項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任4項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是()a152 b126 c90 d54【例32】 4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？方法提煉排列組合的綜合題目，一般是先取出符合要求的元素組合(分組)，再對取出的元素排列，分組時要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分組標(biāo)準(zhǔn)請做演練鞏固提升3排列組合的綜合應(yīng)用【典例】 (2012課標(biāo)全國高考)將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()a12種 b10種 c9種 d8種解析：將4名學(xué)生均分為2個小組共有3種分法，將2個小組的同學(xué)分給兩名教師共有a2種分法，最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有a2種分法，故不同的安排方案共有32212種答案：a答題指導(dǎo)：1.仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題，要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分類；2深入分析，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏；3對限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，可分解成若干簡單的基本問題后用兩種計數(shù)原理來解決；4由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決方案是否完備，有無重復(fù)和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同1某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()a4種 b10種 c18種 d20種2(2012陜西高考)兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()a10種 b15種 c20種 d30種3將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()a10 b20 c30 d404從甲、乙等10名同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有_種54個男同學(xué)，3個女同學(xué)站成一排(1)3個女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個女生身高互不相等)參考答案基礎(chǔ)梳理自測知識梳理1n(n1)(n2)(nm1)m2.3基礎(chǔ)自測1a解析：運(yùn)用插空法先將8名學(xué)生排列，有種排法；再把2位老師插入8名學(xué)生形成的9個空中，有種排法，因此共有種排法2c解析：完成這件事可分為兩類，第一類3張卡片顏色各不相同共有cccc256種；第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有cccc216種，由分類加法計數(shù)原理得共有472種，故選c.3d解析：易知在滿足a1a2a3的集合a中，僅有1,2,9不滿足a3a26，故滿足條件的集合a的個數(shù)為183.424解析：先將兩位爸爸排在首尾，再將兩位小孩視為一個整體同兩位媽媽一起排列，最后將兩位小孩內(nèi)部進(jìn)行排列，故這6人入園的順序排法種數(shù)共有24.572解析：其余三個人站成一排有a6種，甲、乙兩人插空有a12種，共61272種考點(diǎn)探究突破【例11】 40解析：先將3,5排列，共有種排法；再將4,6插空排列，有2種排法；最后將1,2插入3,4,5,6形成的空中，共有種排法由分步乘法計數(shù)原理，共有240種【例12】 解：(1)直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排頭也不排在排尾兩種情況若甲排在排尾共有6種排法若甲既不在排頭也不在排尾共有8種排法，由分類計數(shù)原理知滿足條件的排法共有14(種)也可間接計算：214(種)(2)可考慮直接排法：甲有3種排法；若甲排在第二位，則乙有3種排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一種排法，由分步計數(shù)原理知滿足條件的所有排法共有3319(種)(3)可先排丙、丁有種排法，則甲、乙只有一種排法，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列共有112(種)，或看作定序問題12(種)【例21】 b解析：直接法：可分為兩種情況：(1)甲企業(yè)選中1人，有12種選法；(2)甲企業(yè)無人選中，有4種選法，所以由分類計數(shù)原理可知共有12416種可能間接法：16.【例22】 解：(1)依題意，應(yīng)選一名女生，四名男生，故共有350(種)(2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有165(種)(3)至少有一名隊長包含兩類：只有一名隊長和有兩名隊長，故共有：825(種)或采用排除法：825(種)(4)至多有兩名女生包含三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生故選法為：966(種)(5)分兩類：第一類女隊長當(dāng)選，有種；第二類女隊長不當(dāng)選：.故選法共有：790(種)【例31】 b解析：(直接法)以從事司機(jī)工作為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論：若有2人從事司機(jī)工作，則方案有18；若有1人從事司機(jī)工作，則方案有108種，所以不同安排方案種數(shù)是18108126.(間接法)5人從事4項(xiàng)工作，所有不同安排方案的種數(shù)是240.不符合要求的有兩類：一是甲、乙都從事開車工作，有6種；二是甲、乙有1人從事開車工作，它包括只有1人從事開車工作和有2人從事開車工作，故共有3672108種所以不同安排方案種數(shù)是2406108126.【例32】 解：(1)為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2,1,1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分步乘法計數(shù)原理，共有144(種)(2)“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法(3)確定2個空盒有種方法4個球放進(jìn)2個盒子可分成(3,1)，(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有種方法故共有84(種)演練鞏固提升1b解析：可分為兩種情況：畫冊2本，集郵冊2本，則不同的贈送方法有6種畫冊1本，集郵冊3本，則不同的贈送方法有4種，共有6410種2c甲獲勝有三種情況，第一種共打三局，甲全勝，此時，有一種情形；第二種共打四局，甲第四局獲勝且前三局中只有兩局獲勝，此時，共有c3種情形；第三種共打五局，甲第五局獲勝且前四局只有兩局獲勝，此時，共有c6種情形，所以甲贏共有10種情況，同理乙贏也有10種情形，故選c.3b4140解析：從10名同學(xué)中挑選4名參加該項(xiàng)公益活動有種不同挑選方法；從甲、乙之外的8名同學(xué)中挑選4名參加該項(xiàng)公益活動有種不同挑選方法；甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有21070140種5解：(1)3個女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排好，共有種排法；由于3個女同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊，這時是5個元素的全排列，應(yīng)有種排法，由分步計數(shù)原理，有720種不同排法(2)先將男生排好，共有種排法，再在這4個男生的中間及兩頭的5個空當(dāng)中插入3個女生有種方案，故符合條件的排法共有1 440種不同