【志鴻優(yōu)化設(shè)計】（湖南專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章數(shù)列6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用教學(xué)案 理.docVIP

6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用1能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題2了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1數(shù)列在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，其解題的基本步驟，可用圖表示如下：2數(shù)列應(yīng)用問題的常見模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(常數(shù))(2)等比模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的百分數(shù)時，該模型是等比模型，與變化前的量的比就是公比(3)混合模型：在一個問題中，同時涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型(4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(第2項起)與它的前一項(或前幾項)間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞推數(shù)列的知識求解問題1(2012北京高考)已知an為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是()aa1a32a2baa2ac若a1a3，則a1a2d若a3a1，則a4a22已知an，bn均為等差數(shù)列，且a28，a616，b24，b6a6，則由an，bn的公共項組成的新數(shù)列cn的通項公式cn()a3n4 b6n2c6n4 d2n23現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余的鋼管為()a9根 b10根 c19根 d21根4在數(shù)列an中，對任意自然數(shù)nn*恒有a1a2an2n1，則a1aaa_.5一個蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飛出去找回了2個伙伴；第二天3只蜜蜂飛出去，各自找回了2個伙伴，如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第五天所有蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂一、等差、等比數(shù)列的綜合問題【例1】已知等差數(shù)列an的前四項的和a460，第二項與第四項的和為34，等比數(shù)列bn的前四項的和b4120，第二項與第四項的和為90.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)設(shè)cnanbn，且cn的前n項和為sn，求sn.方法提煉1等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點，特別是等差、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點2利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值，同時對兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程組求解請做演練鞏固提升1二、數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用【例2】有一種零存整取的儲蓄項目，在每月某日存入一筆相同金額，這是零存；到期可以提出全部本金和利息，這是整取它的本利和公式如下：本利和每期存入的金額存期存期(存期1)利率(1)試解釋這個本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率為5.1%，到第12個月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一筆金額，月利率是5.1%，希望到第12個月底取得本利和2 000元，那么每月初應(yīng)存入多少？方法提煉1解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時，首先要認真審題，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問題，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化然后用等差、等比數(shù)列知識求解這其中體現(xiàn)了把實際問題數(shù)學(xué)化的能力，也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力2等比數(shù)列中處理分期付款問題的注意事項(1)準(zhǔn)確計算出在貸款全部付清時，各期所付款額及利息(注：最后一次付款沒有利息)(2)明確各期所付的數(shù)額連同到最后一次付款時所生的利息之和，等于商品售價及從購買到最后一次付款時的利息之和只有掌握了這一點，才可順利建立等量關(guān)系特別強調(diào)：銀行儲蓄單利公式及復(fù)利公式分別是：單利公式設(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和ana(1rn)，屬于等差模型復(fù)利公式設(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和ana(1r)n，屬于等比模型請做演練鞏固提升3三、數(shù)列與解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)在(1,1)上有定義，f1，且滿足x，y(1,1)時，f(x)f(y)f.(1)證明f(x)在(1,1)上為奇函數(shù)；(2)設(shè)數(shù)列xn中，x1，xn1，求用n表示f(xn)的表達式；(3)求證：當(dāng)nn*時，恒成立方法提煉數(shù)列、函數(shù)、解析幾何、不等式是高考的重點內(nèi)容，將三者綜合在一起，強強聯(lián)合命制大型綜合題是歷年高考的熱點和重點數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點，該類綜合題的知識綜合性強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力，從而一直成為高考命題者的首選請做演練鞏固提升4構(gòu)造新數(shù)列解答數(shù)列問題【典例】 (12分)已知數(shù)列an的前n項和為sn，且滿足a1，an2snsn1(n2)求證：sss.規(guī)范解答：an2snsn1(n2)，snsn12snsn1.兩邊同除以snsn1，得2(n2)，(2分)數(shù)列是以2為首項，以d2為公差的等差數(shù)列(n1)d22(n1)2n.sn.(4分)將sn代入an2snsn1，得an(7分)s(n2)，s，當(dāng)n2時，sss；(10分)當(dāng)n1時，s.綜上，sss.(12分)答題指導(dǎo)：1在數(shù)列的解題過程中，常常要構(gòu)造新數(shù)列，使新數(shù)列成為等差或等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列可以使題目變得簡單，而構(gòu)造新數(shù)列要抓住題目信息，不能亂變形2本題首先構(gòu)造新數(shù)列，其次應(yīng)用放縮法，并且發(fā)現(xiàn)只有應(yīng)用放縮法才能用裂項相消法求和，從而把問題解決事實上：，也可以看成一個新構(gòu)造：bn.1已知等差數(shù)列an的公差d0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)若a1d，b1d2，且是正整數(shù)，則q等于()a bc d2(2012北京高考)某棵果樹前n年的總產(chǎn)量sn與n之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為()a5 b7 c9 d113一輛郵政車自a城駛往b城，沿途有n個車站(包括起點站a和終點站b)，每?？恳徽颈阋断虑懊娓髡景l(fā)往該站的郵袋各一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個，設(shè)該車從各站出發(fā)時郵政車內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個有窮數(shù)列ak(k1,2,3，n)(1)求a1，a2，a3；(2)郵政車從第k站出發(fā)時，車內(nèi)郵袋共有多少個？4(2012湖南高考)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)，設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元(1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)參考答案基礎(chǔ)梳理自測基礎(chǔ)自測1b2c解析：設(shè)an的公差為d1，bn的公差為d2，則d12，d23.ana2(n2)22n4，bnb2(n2)33n2.數(shù)列an為6,8,10,12,14,16,18,20,22，數(shù)列bn為1,4,7,10,13,16,19,22，.cn是以10為首項，以6為公差的等差數(shù)列cn10(n1)66n4.3b解析：設(shè)堆成x層，得123x200，即求使得x(x1)400成立的最大正整數(shù)x，應(yīng)為19.20010.42n13解析：a1a2an2n1，當(dāng)n2時，a1a2an12(n1)1，兩式作差得an2(n2)，當(dāng)n1時，a11，a1a22a33ann122232n12n13.5243解析：第一天12只，第二天有a23a19只，第三天a33a227，故第n天為an3n，則a535243.考點探究突破【例1】 解：(1)由題意知，對數(shù)列an，可得：2d8.d4，a19.an4n5(nn*)由題意知，對數(shù)列bn，可得q3，則b13，bn33n13n(nn*)(2)由cnanbn(4n5)3n，sn9313321733(4n5)3n.兩邊同乘以3，得3sn93213331734(4n1)3n(4n5)3n1.兩式相減，得2sn9343243343n(4n5)3n1274(4n5)3n12723n118(4n5)3n1，sn(4n3)3n19【例2】 解：(1)設(shè)每期存入的金額為a，每期利率為p，存期為n，則各期的利息之和為nap(n1)ap2apap，所以本利和為naa(元)(2)到第12個月底的本利和為1001 597.8(元)(3)設(shè)每月初應(yīng)存入x元，則有x2 000，解得x125.2.所以每月初應(yīng)存入125.2元【例3】 解：(1)證明：令xy0，得2f(0)f(0)，f(0)0.令yx，得f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)f(x)在(1,1)上是奇函數(shù)(2)f(x1)f1，f(xn1)fff(xn)f(xn)2f(xn)，數(shù)列f(xn)是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列f(xn)2n1.(3)證明：22，而22，當(dāng)nn*時，恒成立演練鞏固提升1c解析：因為q是小于1的正有理數(shù)，所以首先排除選項a，d.又，則將b，c選項中公比q的值逐一代入檢驗知，只有當(dāng)q時，才是正整數(shù)，所以q.2c解析：結(jié)合sn與n的關(guān)系圖象可知，前2年產(chǎn)量均為0，顯然0為最小，在第3年第9年期間，sn的增長呈現(xiàn)持續(xù)穩(wěn)定性但在第9年之后，sn的增長驟然降低，因為當(dāng)n9時，的值為最大，故m的值為9.3解：(1)由題意得a1n1，a2(n1)(n2)12n4，a3(n1)(n2)(n3)123n9.(2)在第k站出發(fā)時，放上的郵袋共(n1)(n2)(nk)個，而從第二站起，每站放下的郵袋共123(k1)個，故ak(n1)(n2)(nk)12(k1)knk(k1)k(k1)knk2(k1,2，n)，即郵政車從第k站出發(fā)時，車內(nèi)共有郵袋個數(shù)為k