第七章 學(xué)案37 合情推理與演繹推理.doc

學(xué)案37合情推理與演繹推理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異自主梳理自我檢測(cè)1(2010山東)觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)2(2010珠海質(zhì)檢)給出下面類(lèi)比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：“若a，bR，則ab0ab”類(lèi)比推出“若a，bC，則ab0ab”；“若a，b，c，dR，則復(fù)數(shù)abicdiac，bd”類(lèi)比推出“若a，b，c，dQ，則abcdac，bd”；“若a，bR，則ab0ab”類(lèi)比推出“若a，bC，則ab0ab”其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D33(2009江蘇)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12，則它們的面積比為14，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12，則它們的體積比為_(kāi)4(2010陜西)觀察下列等式：132332,13233362根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_(kāi)5(2011蘇州月考)一切奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為_(kāi)探究點(diǎn)一歸納推理例1在數(shù)列an中，a11，an1，nN*，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由變式遷移1觀察：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想探究點(diǎn)二類(lèi)比推理例2(2011銀川月考)在平面內(nèi)，可以用面積法證明下面的結(jié)論：從三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)，向各邊引垂線(xiàn)，其長(zhǎng)度分別為pa，pb，pc，且相應(yīng)各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有1.請(qǐng)你運(yùn)用類(lèi)比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論變式遷移2在RtABC中，若C90，ACb，BCa，則ABC的外接圓半徑r，將此結(jié)論類(lèi)比到空間有_探究點(diǎn)三演繹推理例3在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D、E是垂足求證：AB的中點(diǎn)M到D、E的距離相等變式遷移3指出對(duì)結(jié)論“已知和是無(wú)理數(shù)，證明是無(wú)理數(shù)”的下述證明是否為“三段論”，證明有錯(cuò)誤嗎？證明：無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)，而與都是無(wú)理數(shù)，也是無(wú)理數(shù)1合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向合情推理的過(guò)程概括為：.一般來(lái)說(shuō)，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進(jìn)一步證明2歸納推理與類(lèi)比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理它是一種由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理(2)類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理，它是一種由特殊到特殊的推理3從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，把這種推理稱(chēng)為演繹推理，也就是由一般到特殊的推理，三段論是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結(jié)論 (滿(mǎn)分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011福建廈門(mén)華僑中學(xué)模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的(A)、(B)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是()AB*D，A*D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A*D2(2011廈門(mén)模擬)設(shè)f(x)，又記f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，則f2 010(x)等于()A Bx C. D.3由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類(lèi)比得到“abba”；“(mn)tmtnt”類(lèi)比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”類(lèi)比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”類(lèi)比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”類(lèi)比得到“|ab|a|b|”；“”類(lèi)比得到“”以上的式子中，類(lèi)比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D44(2009湖北)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，比如：他們研究過(guò)圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù)；類(lèi)似的，稱(chēng)圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289 B1 024 C1 225 D1 3785已知整數(shù)的數(shù)對(duì)如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A(3,8) B(4,7)C(4,8) D(5,7)二、填空題(每小題4分，共12分)6已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類(lèi)似的結(jié)論是_7(2011廣東深圳高級(jí)中學(xué)模擬)定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì)：8(2011陜西)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)三、解答題(共38分)9（12分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1，且Sn20(n2)計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式10(12分)(2011杭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x) (a0且a1)，(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值11(14分)如圖1，若射線(xiàn)OM，ON上分別存在點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線(xiàn)OP，OQ和OR上分別存在點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)Q1，Q2和點(diǎn)R1，R2，則類(lèi)似的結(jié)論是什么？這個(gè)結(jié)論正確嗎？說(shuō)明理由學(xué)案37合情推理與演繹推理自主梳理歸納推理全部對(duì)象部分個(gè)別類(lèi)比推理這些特征特殊到特殊一般原理特殊情況特殊情況一般特殊自我檢測(cè)1D由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)2C正確，錯(cuò)誤因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小318解析兩個(gè)正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為18.4132333435363212解析由前三個(gè)式子可以得出如下規(guī)律：每個(gè)式子等號(hào)的左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個(gè)數(shù)依次多1，等號(hào)的右邊是一個(gè)正整數(shù)的平方，后一個(gè)正整數(shù)依次比前一個(gè)大3,4，因此，第五個(gè)等式為132333435363212.5一切奇數(shù)都不能被2整除大前提21001是奇數(shù)小前提所以21001不能被2整除結(jié)論課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引歸納分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的，觀察、實(shí)驗(yàn)，對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說(shuō)法是科學(xué)研究的最基本的方法之一解在an中，a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通項(xiàng)公式為an.這個(gè)猜想是正確的，證明如下：因?yàn)閍11，an1，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以1(n1)n，所以通項(xiàng)公式an.變式遷移1解猜想sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：左邊sin2cos(30)cos(30)sin sin2sin2cos2sin2右邊例2解題導(dǎo)引類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性類(lèi)似，推出這兩個(gè)對(duì)象的其他屬性亦類(lèi)似的一種推理方法，例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來(lái)類(lèi)比，平面幾何與立體幾何中的某些對(duì)象類(lèi)比等等我們必須清楚類(lèi)比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理類(lèi)比推理應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比、歸納、提出猜想解類(lèi)比：從四面體內(nèi)部任意一點(diǎn)向各面引垂線(xiàn)，其長(zhǎng)度分別為pa，pb，pc，pd，且相應(yīng)各面上的高分別為ha，hb，hc，hd.則有1.證明如下：，同理有，VPBCDVPCDAVPBDAVPABCVABCD，1.變式遷移2在三棱錐ABCD中，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且ABa，ACb，ADc，則此三棱錐的外接球半徑R例3解題導(dǎo)引在演繹推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正確的，結(jié)論才是正確的，否則所得的結(jié)論可能就是錯(cuò)誤的推理時(shí)，要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關(guān)系證明(1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD中，ADBC，即ADB90，小前提所以ADB是直角三角形結(jié)論(2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€(xiàn)等于斜邊的一半，大前提而M是RtADB斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線(xiàn)，小前提所以DMAB.結(jié)論同理EMAB，所以DMEM.變式遷移3解證明是“三段論”模式，證明有錯(cuò)誤證明中大前提使用的論據(jù)是“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，因此原理的真實(shí)性仍無(wú)法斷定課后練習(xí)區(qū)1B由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示，C表示，D表示，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.2A計(jì)算f2(x)f，f3(x)f，f4(x)x，f5(x)f1(x)，歸納得f4ki(x)fi(x)，kN*，i1,2,3,4.f2 010(x)f2(x).3B只有、對(duì)，其余錯(cuò)誤，故選B.4C設(shè)圖(1)中數(shù)列1,3,6,10，的通項(xiàng)公式為an，則a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.故ana1234n，an.而圖(2)中數(shù)列的通項(xiàng)公式為bnn2，因此所給的選項(xiàng)中只有1 225滿(mǎn)足a49b353521 225.5D觀察可知橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為2的數(shù)對(duì)有1個(gè)，和為3的數(shù)對(duì)有2個(gè)，和為4的數(shù)對(duì)有3個(gè)，和為5的數(shù)對(duì)有4個(gè)，依次類(lèi)推和為n1的數(shù)對(duì)有n個(gè)，多個(gè)數(shù)對(duì)的排序是按照橫坐標(biāo)依次增大的順序來(lái)排的，由60n(n1)120，nZ，n10時(shí)，55個(gè)數(shù)對(duì)，還差5個(gè)數(shù)對(duì)，且這5個(gè)數(shù)對(duì)的橫、縱坐標(biāo)之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第60個(gè)數(shù)對(duì)是(5,7)6空間正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的解析利用體積分割可證明7n8n(n1)(3n2)(2n1)2解析112,234932,345672552，第n個(gè)等式為n(n1)(3n2)(2n1)2.9解當(dāng)n1時(shí)，S1a1.(2分)當(dāng)n2時(shí)，2S1，S2.(4分)當(dāng)n3時(shí)，2S2，S3.(6分)當(dāng)n4時(shí)，2S3，S4.(8分)猜想：Sn (nN*)(12分)10(1)證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y)(2分)由已知得y，則1y1，(4分)f(1x)，1yf(1x)即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(6分)(2)解由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.(9分)f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，則f(2)f(1)f(0