（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例習(xí)題.docVIP

2017高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例習(xí)題a組基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1若點a在點b的北偏西30，則點b在點a的()a北偏西30b.北偏西60c南偏東30d東偏南30答案c解析如圖，點b在點a的南偏東30.2(2015湖南長沙一模)一學(xué)生在河岸緊靠河邊筆直行走，經(jīng)觀察，在河對岸靠近河邊有一參照物與學(xué)生前進方向成30角，學(xué)生前進200 m后，測得該參照物與前進方向成75角，則河的寬度為()a50(1) mb.100(1) mc50 md100 m答案a解析如圖所示，在abc中，bac30，acb753045，ab200.由正弦定得，得bc100，所以河的寬度為bcsin7510050(1)m.3如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭a出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭b.已知ab1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭a駛到碼頭b所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為()a8 km/hb.6 km/hc2 km/hd10 km/h答案b解析設(shè)ab與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin，從而cos，所以由余弦定理得(v)2(2)212221，解得v6.選b.4(2015黑龍江哈爾濱模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分別為20 m,50 m，bd為水平面，則從建筑物ab的頂端a看建筑物cd的張角為()a30b.45c60d75答案b解析依題意得ad20 m，ac30 m，又cd50 m，所以在acd中，由余弦定理，得coscad.又0cad180，所以cad45，所以從頂端a看建筑物cd的張角為45.5如圖，一棟建筑物ab的高為(3010)m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔cd.在它們之間的地面點m(b，m，d三點共線)處測得樓頂a，塔頂c的仰角分別是15和60，在樓頂a處測得塔頂c的仰角為30，則通信塔cd的高為()a30 mb.60 mc30 md40 m答案b解析如圖，在rtabm中，am20 m.過點a作ancd于點n，易知manamb15，所以mac301545，又amc1801560105，從而acm30.在amc中，由正弦定理得，解得mc40 m，在rtcmd中，cd40sin6060 m，故通信塔cd的高為60 m.6一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么b，c兩點間的距離是()a10海里b.10海里c20海里d20海里答案a解析如圖所示，易知，在abc中，ab20，cab30，acb45，根據(jù)正弦定理得，解得bc10(海里)二、填空題7在相距2千米的a，b兩點處測量目標(biāo)c，若cab75，cba60，則a，c兩點之間的距離是_千米.答案解析如圖所示，由題意知c45，由正弦定理得，ac.8已有a船在燈塔c北偏東80處，且a船到燈塔c的距離為2 km，b船在燈塔c北偏西40處，a、b兩船間的距離為3 km，則b船到燈塔c的距離為_km.答案1解析如圖，由題意可得，acb120，ac2，ab3.設(shè)bcx，則由余弦定理可得：ab2bc2ac22bcaccos120，即3222x222xcos120，整理得x22x5，解得x1(另一解為負值舍掉)9一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔p的南偏西75且距燈塔68海里的m處，下午2時到達這座燈塔東南方向的n處，則這只船的航行速度為_.答案(海里/小時)解析如圖所示，在pmn中，mn34，v(海里/小時)10如圖，航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹開m(取1.4，1.7)答案2 650解析如圖，作cd垂直于ab的延長線于點d，由題意知a15，dbc45，acb30，ab5042021 000(m)又在abc中，bcsin1510 500()cdad，cdbcsindbc10 500()10 500(1)7 350.故山頂?shù)暮０胃叨萮10 0007 3502 650(m)三、解答題11在斜度一定的山坡上的一點a測得山頂上一建筑物頂端對于山坡的斜度為15，如圖所示，向山頂前進100 m后，又從b點測得斜率為45，設(shè)建筑物的高為50 m求此山對于地平面的斜度的余弦值.答案1解析在abc中，bac15，cba18045135，所以acb30.又ab100 m，由正弦定理，得，即bc.在bcd中，因為cd50，bc，cbd45，cdb90，由正弦定理，得，解得cos1.因此，山對于地平面的斜度的余弦值為1.12在海岸a處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距a處(1)n mile的b處有一艘走私船，在a處北偏西75的方向，距離a處2n mile的c處的緝私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船此時，走私船正以10n mile/h的速度從b處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？答案東偏北30方向分析本例考查正弦、余弦定量的建模應(yīng)用如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在d處相遇，則可先在abc中求出bc，再在bcd中求bcd.解析設(shè)緝私船用t h在d處追上走私船，則有cd10t，bd10t，在abc中，ab1，ac2，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac(1)2222(1)2cos1206.bc.且sinabcsinbac.abc45.bc與正北方向垂直cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得sinbcd.bcd30.即緝私船沿東偏北30方向能最快追上走私船b組能力提升1一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點a測得水柱頂端的仰角為45，沿點a向北偏東30前進100 m到達點b，在b點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()a50 mb.100 mc120 md150 m答案a解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為c，則在abc中，a60，ach，ab100，bch，根據(jù)余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.2某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上若國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以_(米/秒)的速度勻速升旗.答案0.6解析在bcd中，bdc45，cbd30，cd10，由正弦定理，得bc20.在rtabc中，abbcsin602030(米)所以升旗速度v0.6(米/秒)3如圖，某人在垂直于水平地面abc的墻面前的點a處進行射擊訓(xùn)練已知點a到墻面的距離為ab，某目標(biāo)點p沿墻面上的射線cm移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點p，需計算由點a觀察點p的仰角的大小若ab15 m，ac25 m，bcm30，則tan的最大值是_(仰角為直線ap與平面abc所成角)答案解析如圖，過點p作pdbc，垂足為d.平面mcb平面abc，且平面mcb平面abcbc，pd平面abc.連接ad，pad為由點a觀察點p的仰角.設(shè)cdx，bcm30，pdx.在rtabc中，ab15，ac25，sinacb，cosacb.由余弦定理得ad.tan，當(dāng)0，即x時，tan最大，最大值為.4衡水市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為abc，abd，經(jīng)測量adbd7米，bc5米，ac8米，cd.(1)求ab的長度；(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5 000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費用較低(請說明理由)？較低造價為多少？(1.732，1.414)答案(1)7(2)86600元解析(1)在abc中，由余弦定理，得cosc.在abd中，由余弦定理，得cosd.由cd，得cosccosd.ab7，ab長為7米(2)小李的設(shè)計建造費用較低，理由如下：sabdadbdsind，sabcacbcsinc.adbdacbc，sabdsabc.故選擇abc建造環(huán)境標(biāo)志費用較低adbdab7，abd是等邊三角形，d60.sabc10101.73217.32.總造價為5 00017.3286 600(元)5如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點a處下山至c處有兩種途徑一種是從a沿直線步行到c，另一種是先從a沿索道乘纜車到b，然后從b沿直線步行到c.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從a處下山，甲沿ac勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從a乘纜車到b，在b處停留1 min后，再從b勻速步行到c.假設(shè)纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路ac長為1 260 m，經(jīng)測量，cosa，cosc.(1)求索道ab的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在c處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？答案(1)1040 m(2)min(3)，分析(1)利用正弦定理來解；(2)利用余弦定理構(gòu)造函數(shù)，然后再求最值；(3)根據(jù)速度、路程、時間三者之間的關(guān)系求范圍解析(1)在abc中，因為cosa，cosc，所以sina，sinc.從而sinbsin(ac)sin(ac)sinacosccosasinc.由，得absinc1 040(m)所以索道ab的長為1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t)m，乙距離a處130t m，所