難點攻堅!如何尋找二面角的平面角.doc

_尋找二面角的平面角的方法二面角是高中立體幾何中的一個重要內(nèi)容，也是一個難點對于二面角方面的問題，學(xué)生往往無從下手，他們并不是不會構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面角的方法我們試將尋找二面角的平面角的方法歸納為以下六種類型一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角例1 在的二面角的兩個面內(nèi)，分別有和兩點已知和到棱的距離分別為2和4，且線段，試求：（1）直線與棱所構(gòu)成的角的正弦值；（2）直線與平面所構(gòu)成的角的正弦值 分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪兒如果解決了這個問題，這道題也就解決了一半根據(jù)題意，在平面內(nèi)作；在平面內(nèi)作，連結(jié)、可以證明，則由二面角的平面角的定義，可知為二面角的平面角以下求解略二、根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角例2 如圖，在平面內(nèi)有一條直線與平面成，與棱成，求平面與平面的二面角的大小分析：找二面角的平面角，可過作；平面，連結(jié)由三垂線定理可證，則為二面角的平面角總結(jié)：（1）如果兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連結(jié)兩個垂足應(yīng)用三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角（2）在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意“作”、“連”、“證”，即“作”、“連結(jié)”、“證明”三、作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角例3 如圖1，已知為內(nèi)的一點，于點，于點，如果，試求二面角的平面角圖1圖2 分析：平面因此只要把平面與平面、的交線畫出來即可證明為的平面角，（如圖2）注意：這種類型的題，如果過作，垂足為，連結(jié)，我們還必須證明，及為平面圖形，這樣做起來比較麻煩例4 已知斜三棱柱中，平面與平面構(gòu)成的二面角的平面角為，平面與平面構(gòu)成的二面角為試求平面與平面構(gòu)成的二面角的大小分析：作三棱柱的直截面，可得，其三個內(nèi)角分別為斜三棱柱的三個側(cè)面兩兩構(gòu)成的二面角的平面角總結(jié)：對棱柱而言，其直截面與各個側(cè)棱的交點所形成的多邊形的各個內(nèi)角，分別為棱柱相鄰側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角四、平移平面法例5 如圖，正方體中，為的中點，為上的點，且設(shè)正方體的棱長為，求平面與底面構(gòu)成的銳角的正切分析：本題中，僅僅知道二面角棱上的一點，在這種情況下，尋找二面角的平面角較困難根據(jù)平面平移不改變它與另一個平面構(gòu)成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一個平面平移，找出輔助平面與另一個平面的交線，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只需要進行常規(guī)構(gòu)造三角形和解三角形的計算，就可以解決問題了如圖，過點作與相交于點，過點作，與相交于點可證平面平面這樣，求平面與平面的二面角的平面角就轉(zhuǎn)化為求平面與平面的二面角的平面角顯然為這兩個平面的交線，過點作，為垂足，連結(jié)，可證則為本題要尋找的二面角五、找垂面，作垂線例6 如圖，正方體中，為棱的中點，求平面和平面所構(gòu)成的銳二面角的正切分析：平面與二面角的一個面垂直，與另一個平面相交，過點作，垂足為，過作，交于點，連結(jié)，由三垂線定理可證，則為二面角的平面角總結(jié)：當(dāng)一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角再如圖，要找所構(gòu)成的二面角的平面角，可找平面，且，過上任何一點作，垂足為，過作，垂足為，連結(jié)，可證為的平面角六、根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)找二面角的平面角1三線合一例7 如圖，空間四邊形中，試求二面角的余弦值分析：如圖1，則和為等腰三角形過作，垂足為，連結(jié)根據(jù)等腰三角形三線合一，且為中點，可證，則為二面角的平面角2全等三角形例8 如圖，已知空間四邊形，試求的余弦值分析：過作，垂足為，連結(jié)根據(jù)已知條件，和全等，可證，則為二面角的平面角3二面角的棱蛻化成一點例9 如圖，四棱錐中，和與面垂直，為正三角形（1）若時，求面與面的夾角；（2）若時，求面與面的夾角分析：如圖，面與面的交線蛻化成一點，但面與面與面相交如果三個平面兩兩相交，它們可能有三種情況：（1）交線為一點；（2）一條交線；（3）三條交線互相平行在圖1中，兩條交線與互相平行，所以肯定有過且平行于的一條交線可過作，平面與平面的交線即為過作于，過作于可證，則為面與面的夾角如圖，與不平行且相交根據(jù)三個平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個面的交線為一點延長、相交于點，連結(jié)即為平面與平面的交線，通過一些關(guān)系可證為平面與平面的夾角通過以上分析和舉例說明，尋找二面角的平面