（江蘇專用）高考數學 考前三個月 必考題型過關練 第36練 直線與圓錐曲線問題 理.doc

第36練直線與圓錐曲線問題題型一直線和橢圓的位置關系例1如圖所示，橢圓c1：1(ab0)的離心率為，x軸被曲線c2：yx2b截得的線段長等于c1的短軸長c2與y軸的交點為m，過坐標原點o的直線l與c2相交于點a，b，直線ma，mb分別與c1相交于點d，e.(1)求c1，c2的方程；(2)求證：mamb；(3)記mab，mde的面積分別為s1，s2，若，求的取值范圍破題切入點(1)利用待定系數法求解曲線c1，c2的方程(2)設出直線ab和曲線c2聯(lián)立，利用坐標形式的向量證明(3)將s1和s2分別表示出來，利用基本不等式求最值(1)解由題意，知，所以a22b2.又22b，得b1.所以曲線c2的方程：yx21，橢圓c1的方程：y21.(2)證明設直線ab：ykx，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由題意，知m(0，1)則x2kx10，(x1，y11)(x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以mamb.(3)解設直線ma的方程：yk1x1，直線mb的方程：yk2x1，由(2)知k1k21，m(0，1)，由解得或所以a(k1，k1)同理，可得b(k2，k1)故s1mamb|k1|k2|.由解得或所以d(，)同理，可得e(，)故s2mdme，則的取值范圍是，)題型二直線和雙曲線的位置關系例2已知雙曲線c：x2y21及直線l：ykx1.(1)若l與c有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；(2)若l與c交于a，b兩點，o是坐標原點，且aob的面積為，求實數k的值破題切入點(1)聯(lián)立方程組，利用0求出k的取值范圍(2)聯(lián)立方程用根與系數的關系求解解(1)雙曲線c與直線l有兩個不同的交點，則方程組有兩個不同的實數根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|時，soabsoadsobd(|x1|x2|)|x1x2|；當a，b在雙曲線的兩支上且x1x2時，soabsodasobd(|x1|x2|)|x1x2|.soab|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0)的上焦點為f，上頂點為a，b為虛軸的端點，離心率e，且sabf1.拋物線n的頂點在坐標原點，焦點為f.(1)求雙曲線m和拋物線n的方程；(2)設動直線l與拋物線n相切于點p，與拋物線的準線相交于點q，則以pq為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點？如果是，試求出該點的坐標，如果不是，請說明理由破題切入點(1)根據雙曲線的性質，用a，c表示已知條件，建立方程組即可求解雙曲線的方程，然后根據拋物線的焦點求出拋物線的方程(2)設出點p的坐標，根據導數的幾何意義求出切線方程，并求出點q的坐標，然后根據圓的性質列出關于點p的坐標的方程，將問題轉化為方程恒成立的問題來解決解(1)在雙曲線中，c，由e，得，解得ab，故c2b.所以sabf(ca)b(2bb)b1，解得b1.所以a，c2，其上焦點為f(0,2)所以雙曲線m的方程為x21，拋物線n的方程為x28y.(2)由(1)知拋物線n的方程為yx2，故yx，拋物線的準線為y2.設p(x0，y0)，則x00，y0x，且直線l的方程為yxx0(xx0)，即yx0xx.由得所以q(，2)假設存在點r(0，y1)，使得以pq為直徑的圓恒過該點，也就是0對于滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，(，2y1)，由0，得x0(y0y1)(2y1)0，整理得2y0y0y12y1y0，即(y2y18)(2y1)y00，(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立，所以解得y12.故以pq為直徑的圓恒過y軸上的定點，定點坐標為(0,2)總結提高直線和圓錐曲線的位置關系問題，萬變不離其宗，構建屬于自己的解題模板，形成一定的解題思路，利用數形結合思想來加以解決1已知圓c：(x1)2y28，定點a(1,0)，m為圓上一動點，點p在am上，點n在cm上，且滿足2，0，點n的軌跡為曲線e.(1)求曲線e的方程；(2)若直線ykx與(1)中所求點n的軌跡e交于不同的兩點f，h，o是坐標原點，且，求k2的取值范圍解(1)如圖所示，連結na.由2，0，可知np所在直線為線段am的垂直平分線，所以nanm，所以ncnancnm22ca，所以動點n的軌跡是以c(1,0)，a(1,0)為焦點的橢圓，且長軸長為2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲線e的方程為y21.(2)設f(x1，y1)，h(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k20，由根與系數的關系，得x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由，得，解得k21.2(2013廣東)已知拋物線c的頂點為原點，其焦點f(0，c)(c0)到直線l：xy20的距離為.設p為直線l上的點，過點p作拋物線c的兩條切線pa，pb，其中a，b為切點(1)求拋物線c的方程；(2)當點p(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線ab的方程；(3)當點p在直線l上移動時，求afbf的最小值解(1)依題意知，c0，解得c1.所以拋物線c的方程為x24y.(2)由yx2得yx，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則切線pa，pb的斜率分別為x1，x2，所以切線pa的方程為yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切線pb的方程為x2x2y2y20，又點p(x0，y0)在切線pa和pb上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x2y02y0 的兩組解，所以直線ab的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知afy11，bfy21，所以afbf(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，afbfy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，當y0時，afbf取得最小值，且最小值為.3(2013浙江)如圖，點p(0，1)是橢圓c1：1(ab0)的一個頂點，c1的長軸是圓c2：x2y24的直徑l1，l2是過點p且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓c2于a，b兩點，l2交橢圓c1于另一點d.(1)求橢圓c1的方程；(2)求abd面積取最大值時直線l1的方程解(1)由題意得所以橢圓c1的方程為y21.(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓c2：x2y24，故點o到直線l1的距離d，所以ab22 .又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以pd.設abd的面積為s，則sabpd，所以s，當且僅當k時取等號所以所求直線l1的方程為yx1.4已知雙曲線e：1(a0，b0)的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線xy0相切(1)求雙曲線e的方程；(2)已知點f為雙曲線e的左焦點，試問在x軸上是否存在一定點m，過點m任意作一條直線交雙曲線e于p，q兩點(p在q點左側)，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點m的坐標；若不存在，請說明理由解(1)由題意知a，a.又2c4，c2，b1.雙曲線e的方程為y21.(2)當直線為y0時，則p(，0)，q(，0)，f(2,0)，(2,0)(2,0)1.當直線不為y0時，可設l：xtym(t)代入e：y21，整理得(t23)y22mtym230(t)(*)由0得m2t23.設方程(*)的兩個根為y1，y2，滿足y1y2，y1y2，(ty1m2，y1)(ty2m2，y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.當且僅當2m212m153時，為定值，解得m13，m23(舍去)綜上，過定點m(3，0)任意作一條直線交雙曲線e于p，q兩點，使1為定值5已知過拋物線y22px(p0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，y00)，則切線斜率為，切線方程為yy0(xx0)，即x0xy0y4，此時，兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為s.由xy42x0y0知當且僅當x0y0時，x0y0有最大值，即s有最小值，因此點p的坐標為(，)由題意知解得故c1的方程為x21.(2)由(1)知c2的焦點坐標為(，0)，(，0)，由此設c2的方程為1，其中b10.由p(，)在c2上，得1，解得b3，因此c2的方程為1.