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十、導(dǎo)數(shù):一、導(dǎo)數(shù)的概念:(1)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo):函數(shù)在到之間的平均變化率,即; 如果當(dāng)時(shí),有極限,則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。(2)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo):如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo),則稱(chēng)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(3)函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù):如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),那么極限叫做函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)(或變化率),記作:或;即(4)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么對(duì)于開(kāi)區(qū)間的每一個(gè)確定的值都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù),這樣在開(kāi)區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),我們把這新函數(shù)叫做函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)),記或;即:(5)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,即;(6)導(dǎo)數(shù)在物理中的運(yùn)用:函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為時(shí),物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即;物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻的加速度;二、幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(為常數(shù));三、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù):(1)和(差)的導(dǎo)數(shù):兩個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差),即 容易推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形:(2)積的導(dǎo)數(shù):兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即:容易推出:(為常數(shù)):常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于這個(gè)常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù);四、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:(1)函數(shù)的單調(diào)性:設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,則為增函數(shù);如果,則為減函數(shù)。設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減),則在該區(qū)間內(nèi)(或)。求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:求; 解不等式(或);確認(rèn)并指出遞增區(qū)間(或遞減區(qū)間);證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性的步驟:求; 確認(rèn)在內(nèi)的符號(hào); 作出結(jié)論;(2)函數(shù)的極大值與極小值:函數(shù)極值的定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義,如果對(duì)附近的所有的點(diǎn),都有(或),就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大(小)值;求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟:求; 求方程的全部實(shí)根;檢查在方程的根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么在這個(gè)根處取得極小值。(3)函數(shù)的最大值與最小值:求在上
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