函數(shù)系數(shù)和部分線性模型中的估計問題.doc

函數(shù)系數(shù)和部分線性模型中的估計問題【摘要】：部分線性模型和函數(shù)系數(shù)線性模型的理論、方法和應(yīng)用近一、二十年來有了迅速的發(fā)展。由于它們有著豐富的研究內(nèi)容和廣泛的實(shí)際應(yīng)用范圍，因而受到人們的極大重視。本論文主要研究函數(shù)系數(shù)部分線性模型、比例函數(shù)系數(shù)線性模型，給出了模型中的參數(shù)與未知函數(shù)的估計方法，并討論了這些估計的漸近性質(zhì)。本論文還討論了部分線性模型的穩(wěn)健M-估計。以下是各章內(nèi)容的簡要介紹。第一章簡單地敘述了一元非參數(shù)回歸模型的三類估計方法：局部光滑方法(Localmodellingapproach)，正交級數(shù)方法(Orthogonalseriesapproach)和樣條方法(Splineapproach)。本論文使用局部光滑方法中的局部多項(xiàng)式方法給出未知函數(shù)的估計。第一章還討論了多元回歸模型。這里有一個很困難的問題即維數(shù)問題。由于維數(shù)的增加使得收斂速度相當(dāng)慢，且估計極不穩(wěn)定。在統(tǒng)計上將這一現(xiàn)象叫作“維數(shù)禍根”(curseofdimensionality)。為了克服維數(shù)禍根，人們已提出各種不同模型來降低維數(shù)。本論文為克服維數(shù)禍根問題，給出了兩個變系數(shù)模型：函數(shù)系數(shù)部分線性模型和比例函數(shù)系數(shù)線性模型。第一章還回顧了穩(wěn)健M-估計最近的一些發(fā)展情況。本論文討論了部分線性模型的穩(wěn)健M-估計。樣本的獨(dú)立假設(shè)，為數(shù)學(xué)和統(tǒng)計處理帶來了很多方便，有些時候也是合理的。但是在某些實(shí)際問題中，特別在經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)方面，樣本并非是獨(dú)立的觀察值，而是相互依賴的。第一章簡單地總結(jié)了現(xiàn)有的數(shù)據(jù)混合相依類型。-混合相依是混合相依中較弱的一種。很多隨機(jī)過程，包括很多時間序列都能夠滿足它的要求。本論文除了討論樣本是獨(dú)立的情況，還討論了樣本是-混合相依的情況。本論文的第二章討論函數(shù)系數(shù)部分線性模型。Hastie和Tibshirani(1993)提出了變系數(shù)模型或稱函數(shù)系數(shù)模型(varying-coefficientmodelsorfunctional-coefficientmodels)，Y=_0(X)+_1(X)Z_1+_p(X)Z_p+，其中_i()，0ip是一些未知函數(shù)；Y是回歸變量；X是q維協(xié)變量，Z=(Z_1，Z_p)T是p維協(xié)變量，是期望為0的隨機(jī)誤差。它們提出的變系數(shù)模型是一個很一般的模型。由于“維數(shù)禍根”問題，在q1時，這個模型在處理實(shí)際問題時不太可行。為此人們往往取q=1，即常數(shù)項(xiàng)函數(shù)_0()、系數(shù)函數(shù)_j()(j=1，p)均為一元函數(shù)，且這些一元函數(shù)有相同的自變量。本論文與此不同華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文歸00刃給出了常數(shù)項(xiàng)函數(shù)和系數(shù)函數(shù)具有不同自變量的變系數(shù)模型:Y一。(x)+藝島(u)幾少=l常假其中YR是響應(yīng)變量，X幾，數(shù)項(xiàng)函數(shù)抓)和系數(shù)函數(shù)幾(.)(，=U任R，Z一+，(21，吞)T卿是協(xié)變量;1，p)都是從R到R的未知可測函數(shù).設(shè)一獨(dú)立于/。為了識別?！?不妨假設(shè)/腳二z，)一我們稱這個模型為函數(shù)系數(shù)部分線性模型(funetional一eoeffieientpartiallinearmodels)函數(shù)系數(shù)部分線性模型是一個比較一般的模型。若對所有的夕=1，p，馬(.)=幾，場是常數(shù)，它就是部分線性模型.當(dāng)叭)=。時，它就是Cai，F(xiàn)an和Ya。(2000)提出的變系數(shù)回歸模型.當(dāng)對所有的j二1，p，巧(.)=0時，它變成了非參數(shù)模型.在這個函數(shù)系數(shù)部分線性模型中，或)和巧()，1三夕三對有著不同的自變量，這給它們的估計增加了難度.我們首先對常數(shù)項(xiàng)函數(shù)叭)使用局部線性估計方法，給出了它的估計;然后對系數(shù)函數(shù)腸(.)(，=l，p)，通過應(yīng)用常數(shù)項(xiàng)函數(shù)的估計，使用局部線性估計方法給出其估計.我們稱系數(shù)函數(shù)的這種估計方法為兩階段估計方法.在數(shù)據(jù)是獨(dú)立同分布的情況下，與數(shù)據(jù)是a一混合相依的情況下，給出了常數(shù)項(xiàng)函數(shù)0(.)的估計的弱一致性、一致強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性，以及系數(shù)函數(shù)巧(.)(j二l，p)的估計的弱一致性與漸近正態(tài)性.模擬研究顯示，這些估計方法是較為理想的。本論文的第三章討論比例函數(shù)系數(shù)線性模型。為克服維數(shù)禍根問題，本論文的第三章給出了所有系數(shù)函數(shù)是同一個函數(shù)，但具有不同的自變量的變系數(shù)模型:Y=。(X，饑(x，Z)=Z)+a(X，Z)d藝Ca(甲)夕(Xa)Za，其中Y是相應(yīng)變量;x二(X，Xd)T和z=(21，幾)T是兩個解釋變量，x可能依賴于z，也可能不依賴于z;獨(dú)立于x和z，且E()=0，V盯間二1;o(，)是從RZd到R的一個可測函數(shù);0(.)是從R到R的一個可測函數(shù);仇(的，。=1，d是參數(shù)為7的已知函數(shù)，守=(7，下)T可能已知也可能未知。為識別模型，不妨假設(shè)C，(7)三1。我們稱這個模型為比例函數(shù)系數(shù)線性模型(proportionalfunetional-eoeffieientlinearmodels).華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文歸00刃比例函數(shù)系數(shù)線性模型可以看成是比例可加模型(proportionaladditivemodel的一個推廣，即當(dāng)x=z時，它就變成了比例可加模型:dY=藝Ca(:)。(X。)+。(x)。進(jìn)一步，如果d三1，它就變成了非參數(shù)模型.對于比例函數(shù)系數(shù)線性模型，我們利用兩步估計法估計系數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù).在參數(shù)已知的時候，第一步，用局部多項(xiàng)式估計方法，估計系數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，【關(guān)鍵詞】：變系數(shù)模型函數(shù)系數(shù)部分線性模型比例函數(shù)系數(shù)線性模型部分線性模型局部多項(xiàng)式方法穩(wěn)健估計M-估計-混合相依強(qiáng)一致收斂弱收斂一致收斂漸近正態(tài)性【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)【學(xué)位級別】：博士【學(xué)位授予年份】：2003【分類號】：O211.67【目錄】：摘要7-14第一章引言14-331.1一元非參數(shù)回歸模型及其估計方法14-221.2多元非參數(shù)回歸模型22-281.3穩(wěn)健估計28-291.4數(shù)據(jù)的相依性29-301.5本論文的主要內(nèi)容30-33第二章函數(shù)系數(shù)部分線性模型33-762.1模型33-352.2估計35-372.3估計的漸近性37-452.4窗寬的選取452.5模擬45-492.6估計的漸近性質(zhì)的證明49-76第三章比例函數(shù)系數(shù)線性模型76-1213.1模型76-783.2估計78-813.3估計的漸近性質(zhì)81-863.4窗寬的選擇86-893.5模擬89-1023.6估計的漸近性質(zhì)的證明102-121第四章部分線