初一講義2-二元一次方程組及實(shí)際應(yīng)用.doc

一對一輔導(dǎo)講義 年 級：初一 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 課時數(shù)：3 學(xué)生姓名： 教師姓名：翟利利 上課時間：2014-課 題二元一次方程組的解法及實(shí)際應(yīng)用教學(xué)目的1、 了解本節(jié)所要學(xué)習(xí)的主要知識內(nèi)容，對學(xué)習(xí)的知識做到心中有數(shù)。2、針對學(xué)生以往學(xué)習(xí)的優(yōu)勢和不足，能夠有針對性地進(jìn)行預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)二元一次方程組的解法：（一）二元一次方程組的解法通常有兩種方法，分別是： 和 （二）解下列方程組：（1）解方程組 （2）（3）若等式中的x、y滿足方程組，求mn的值。知識點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“ ”轉(zhuǎn)化為“ ”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的 關(guān)系. 一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足： （1）方程兩邊表示的是 ；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等.知識點(diǎn)二：列方程解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系（一）行程問題：（1）追及問題:追及問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是 而行。這類問題比較直觀，畫線段圖便于理解、分析。其等量關(guān)系式是：兩者的行程的 開始時兩者相距的路程；路程 時間；速度 ；時間 。（2）相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是 而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解、分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之 總路程。（3）航行問題:船在靜水中的速度 船的順?biāo)俣龋淮陟o水中的速度水速 ；順?biāo)俣饶嫠俣?水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。（二）工程問題： 工作時間=工作量.（三）商品銷售利潤問題：(1)利潤 成本(進(jìn)價)；(2)；(3)利潤成本（進(jìn)價） ；(4)標(biāo)價成本(進(jìn)價)(1 )；(5)實(shí)際售價標(biāo)價打折率；注意：“商品利潤售價成本”中的右邊為正時，是盈利；為負(fù)時，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）（四）儲蓄問題：（1）基本概念本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與 的和叫做本息和。期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。（2）基本關(guān)系式利息本金利率期數(shù)本息和本金+利息本金+本金利率期數(shù)本金（1利率期數(shù)）利息稅利息利息稅率本金利率期數(shù)利息稅率。稅后利息利息（1利息稅率） 年利率月利率 月利率 。注意：免稅利息=利息 （五）產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例（六）增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量(1增長率)增長后的量； 原量(1減少率)減少后的量.（七）和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量 多余量，總量倍數(shù)倍量.（八）數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為 (或 )，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字 +個位數(shù)字（九）濃度問題：溶液質(zhì)量濃度= .（十）幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計(jì)算公式。（十一）年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等的，兩人的 是永遠(yuǎn)不會變的。（十二）優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點(diǎn)；比較幾種方案得出最佳方案。知識點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實(shí)際問題時，一般可分為以下六個步驟：（1）審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù):可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；（3）找出題目中的 關(guān)系；（4）列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；（5）解所列的方程組，并檢驗(yàn)解的正確性；（6）寫出答案.要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.解答步驟簡記為：問題方程組解答（4）列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；審題時，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。經(jīng)典例題類型一：列二元一次方程組解決行程問題例1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機(jī). 這時，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意：這里有兩個未知數(shù)：(1)汽車的行程；(2)拖拉機(jī)的行程. 有兩個等量關(guān)系：(1)相向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機(jī)行駛小時的路程 千米；(2)同向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機(jī)行駛小時的路程.舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。類型二：列二元一次方程組解決工程問題例2一家商店要進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請哪組，商店所付費(fèi)用最少？思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元。設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480. 舉一反三：【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由. 類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題例3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價分別是多少元？思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤進(jìn)價利潤率舉一反三：【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表：AB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利 = 售價進(jìn)價）求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件？類型四：列二元一次方程組解決銀行儲蓄問題例4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）思路點(diǎn)撥：設(shè)教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：教育儲蓄一年定期合計(jì)現(xiàn)在xy一年后舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額20%）思路點(diǎn)拔：扣稅的情況：本金年利率(1-20%)年數(shù)=利息（利息所得稅=利息金額20%）.不扣稅時：利息=本金年利率年數(shù).【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計(jì)利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題例5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路點(diǎn)撥：本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).舉一反三：【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 思路點(diǎn)撥：兩個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關(guān)系是：制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；制盒身個數(shù)的2倍=制盒底個數(shù). 【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？類型六：列二元一次方程組解決增長率問題例6某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年xy200今年根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。舉一反三：【變式】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法？【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點(diǎn)撥：由題意得兩個等式關(guān)系，兩個相等關(guān)系為：（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬（2）城鎮(zhèn)人口(1+0.8%)+農(nóng)村人口（1+1.1%）=42（1+1%）類型七： 列二元一次方程組解決和差倍分問題例7（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計(jì)劃前后倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。舉一反三：【變式1】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題) “地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項(xiàng)倡議號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項(xiàng)活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項(xiàng)活動【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時 只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點(diǎn)語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問題例8.兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù)。思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100xy問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100yx舉一反三：【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？ 【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。類型九：列二元一次方程組解決濃度問題例9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個未知量，可直接設(shè)出兩個未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比混合后溶液所含純酒精與水的比。解法一：解法二：舉一反三：【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？ 思路點(diǎn)撥：配制鹽水前后有兩個等量關(guān)系式解此題的關(guān)鍵，等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。 【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？思路點(diǎn)撥：注意稀釋前后溶液的質(zhì)量保持不變，溶質(zhì)的質(zhì)量保持不變。類型十：列二元一次方程組解決幾何問題例10如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。舉一反三：【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個可用的等量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個等量關(guān)系是長方形的長剪掉3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即是長邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決年齡問題例11今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程。舉一反三：【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)?