暢優(yōu)新課堂八年級數(shù)學(xué)下冊 17.2 一元二次方程的解法（第2課時(shí)）教學(xué)案 （新版）滬科版.docVIP

一元二次方程的解法1一元二次方程的求根公式及推導(dǎo)(1)求根公式的定義一般地，對于一元二次方程ax2bxc0(a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)，它的根是x.這個(gè)式子稱為一元二次方程的求根公式(2)求根公式的推導(dǎo)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式ax2bxc0(a0)的過程具體推導(dǎo)過程如下：由于a0，在方程兩邊同除以a，得x2x0.移項(xiàng)，得x2x.方程兩邊同加上()2，得x2x()2()2，即(x)2.由于4a20，所以當(dāng)b24ac0時(shí)，可得x.所以x.(1)配方法是推導(dǎo)求根公式的基礎(chǔ)(2)由于4a20，所以只有當(dāng)b24ac0時(shí)，式子才是非負(fù)常數(shù)，方程才能開方(3)由此可見，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根是由方程的系數(shù)a，b，c確定的，只要確定了系數(shù)a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根【例1】方程3x287x化為一般形式是_，其中a_，b_，c_，方程的根為_解析：將方程移項(xiàng)可化為3x27x80.其中a3，b7，c8.因?yàn)閎24ac4943(8)1450，代入求根公式可得x.答案：3x27x803782公式法解一元二次方程(1)定義：用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，對于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出來(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟：將方程化為一般形式ax2bxc0(a0)，確定a，b，c的值計(jì)算b24ac的值，從而確定原方程是否有實(shí)數(shù)根若b24ac0，則把a(bǔ)，b，c及b24ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b24ac0，則方程沒有實(shí)數(shù)根(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有確認(rèn)方程是一元二次方程時(shí)，方可使用(2)“b24ac0”是一元二次方程求根公式的重要組成部分，是公式成立的前提條件，當(dāng)b24ac0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根(3)用公式法解一元二次方程時(shí)，一定先將方程化為一般形式，再確定a，b，c的值，并注意它們的符號(4)當(dāng)b24ac0時(shí)，應(yīng)把方程的根寫成x1x2，從而說明一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，而不是一個(gè)根【例2】用公式法解下列方程：(1)2x(x)10；(2)x24x1108x.分析：用公式法解一元二次方程時(shí)，先將一元二次方程寫成ax2bxc0(a0)的形式，然后判斷b24ac的值是大于等于0，還是小于0.若b24ac0，把a(bǔ)，b，c的值代入求根公式求解；若b24ac0，則原方程沒有實(shí)數(shù)根解：(1)原方程可化為2x22x10.因?yàn)閍2，b2，c1，所以b24ac(2)24210.所以x.所以x1x2.(2)將原方程化為一般形式，得x24x110.因?yàn)閍1，b4，c11，所以b24ac(4)241(11)164460.所以x.所以x12，x22.點(diǎn)撥：用公式法解一元二次方程時(shí)，必須滿足b24ac0，才能將a，b及b24ac的值代入求根公式求解當(dāng)b24ac0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根3因式分解法(1)定義：通過因式分解，將一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解的方法叫做因式分解法(2)因式分解法的理論依據(jù)：若ab0，則a0或b0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：將方程的右邊化為0；將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解用因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵：一是要將方程右邊化為0；二是方程左邊要能分解為兩個(gè)含未知數(shù)的一次因式的積【例3】解下列方程：(1)x3x(x3)；(2)(x2)2(2x3)2；(3)x22x3.分析：移項(xiàng)右邊為0左邊能提取公因式(x3)移項(xiàng)左邊能用平方差公式進(jìn)行分解移項(xiàng)左邊正好是一個(gè)完全平方式解：(1)原方程可化為(x3)x(x3)0.(x3)(1x)0.x30，或1x0.x13，x21.(2)原方程可化為(x2)2(2x3)20.(x2)(2x3)(x2)(2x3)0，即(3x1)(x5)0.3x10，或x50.x1，x25.(3)原方程可化為x22x30，即x22x()20.(x)20.x1x2.4因式分解法的兩種類型一元二次方程右邊化為0后，左邊在因式分解時(shí)，可分為兩種類型：(1)有公因式可提：把多項(xiàng)式的公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式例如，解方程x3x(x3)0，可通過提公因式(x3)，原方程變形為(x3)(1x)0.(2)能運(yùn)用公式平方差公式：a2b2(ab)(ab)；完全平方公式：a22abb2(ab)2.運(yùn)用完全平方公式解一元二次方程，實(shí)質(zhì)上與用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x240，利用平方差公式變形為(x2)(x2)0；解方程x24x40，利用完全平方公式變形為(x2)20.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式時(shí)，公因式可能是多項(xiàng)式，公式中的字母也可能代表多項(xiàng)式，因此，要注意從整體上觀察，切不可盲目地去化簡整理【例4】解下列方程：(1)4(x3)225(x2)20；(2)(2x1)24(2x1)40；(3)(x3)(x1)4x4.分析：解一元二次方程時(shí)，一定要先從整體上分析，選擇適當(dāng)?shù)慕夥?1)右邊為0左邊可整體利用平方差公式分解因式(2)右邊為0將2x1作為一個(gè)整體，左邊可利用完全平方公式進(jìn)行因式分解(3)移項(xiàng)后把右邊化為0變形后能提公因式(x1)解：(1)原方程可變形為2(x3)25(x2)20，即(2x6)2(5x10)20.(2x65x10)(2x65x10)0，即(7x16)(3x4)0.7x160，或3x40.x1，x2.(2)原方程可變形為(2x12)20，即(2x3)20.2x30.x1x2.(3)原方程可變形為(x3)(x1)4(x1)0.(x1)20.x1x21.5利用因式分解法解一元二次方程的誤區(qū)應(yīng)用因式分解法解方程時(shí)，常有以下誤區(qū)：(1)對因式分解法的基本思想不理解，沒有將方程化為ab0的形式就急于求解對此要認(rèn)真審題，看方程的一邊是否是0，若不是0，應(yīng)先化為0.(2)產(chǎn)生丟根現(xiàn)象對于丟根現(xiàn)象，往往是因?yàn)樵诮夥匠踢^程中，出現(xiàn)方程兩邊不屬于同解變形的步驟避免這一錯(cuò)誤的方法主要是注意方程兩邊不能同除以含有未知數(shù)的項(xiàng)【例5】解方程：(1)(x2)(x3)6.(2)2x(x1)3(x1)解：解答顧問點(diǎn)評(1)錯(cuò)解x20，或x30，得x12，x23.用因式分解法時(shí)，右邊必須是0，而本題中右邊不是0正解整理，得x25x0，x(x5)0.x0，或x50.x10，x25.先整理成一般形式，再選擇適當(dāng)?shù)姆椒?2)錯(cuò)解方程兩邊同時(shí)除以(x1)，得2x3，解得x.出現(xiàn)兩邊同除以(x1)的錯(cuò)誤正解移項(xiàng)，得2x(x1)3(x1)0，(x1)(2x3)0.x10，或2x30.解得x11，x2.移項(xiàng)后可提公因式(x1)6選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?1)一元二次方程一般有四種解法，四種解法對照如下：解法適合類型注意事項(xiàng)直接開平方法(xm)2nn0時(shí)，有解；n0時(shí)，無解配方法x2pxq0二次項(xiàng)系數(shù)若不為1，必須先把系數(shù)化為1，再進(jìn)行配方公式法ax2bxc0(a0)先化為一般形式再用公式b24ac0時(shí)，方程有解；b24ac0時(shí)，方程無解因式分解法方程的一邊為0，另一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式的乘積方程的一邊必須是0，另一邊可用任何方法分解因式(2)選擇的原則：首先要看因式分解法或直接開平方法是否可行，接著考慮配方法，最后考慮公式法因式分解法和直接開平方法雖然簡便，但并非所有的方程都適用；配方法適用于任何一個(gè)一元二次方程，但過程比較麻煩；公式法是在配方法的基礎(chǔ)上，利用其導(dǎo)出的求根公式直接求解因此，在解一元二次方程時(shí)，為了提高解題速度和準(zhǔn)確率，應(yīng)先觀察方程特點(diǎn)，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解題_【例61】選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)3x(x1)1x；(2)x22x110；(3)2x25x10.分析：(1)將方程右邊的“1x”移到方程左邊，則變?yōu)椤皒1”，此時(shí)有公因式“x1”可提.因式分解法(2)仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，“x22x”易于配方，可選用配方法求解.配方法(3)公式法適用于任何一元二次方程，此題是一元二次方程的一般形式，確定a，b，c的值，就可以直接代入公式求解.公式法解：(1)原方程可化為3x(x1)(x1)0，(x1)(3x1)0.x10，或3x10.x11，x2.(2)移項(xiàng)，得x22x11，配方，得x22x1111，即(x1)212.x12，即x21.x121，x221.(3)a2，b5，c1，b24ac(5)242(1)330，x.x1，x2.【例62】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)9(x2)216；(2)(x1)2(x1)60；(3)4x24x10；(4)(3x4)29x12.分析：(1)題利用直接開平方法解較好(2)題利用因式分解法解較好(3)題利用求根公式法解較好(4)題利用因式分解法解較好解：(1)原方程變形為(x2)2，所以x2，即x2.所以x1，x2.(2)原方程變形為(x12)(x13)0，即(x1)(x4)0，所以x10或x40.所以x11，x24.(3)因?yàn)閍4，b4，c1，所以b24ac(4)244116.所以x.所以x1，x2.(4)原方程變形為(3x4)23(3x4)，即(3x4)23(3x4)0，分解因式，得(3x4)(3x4)30，即(3x4)(3x7)0，所以3x40或3x70.所以x1，x2.7用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)因式分解這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1c2，并使a1c2a2c1正好是一次項(xiàng)系數(shù)b，那么可以直接寫出結(jié)果：ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，上述公式變?yōu)閤2bxc(xc1)(xc2)此時(shí)解決問題的關(guān)鍵是將常數(shù)項(xiàng)分解為兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)例如，分解因式2x27x3，利用上述方法將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分解為12與(1)(3)，則交叉相乘再相加，得1(1)2(3)7，結(jié)果正好等于一次項(xiàng)系數(shù)7，于是二次三項(xiàng)式2x27x3可分解為(x3)(2x1)【例7】用十字相乘法解下列方程：(1)x22