【畢業(yè)論文】數(shù)學(xué)物理方法在物理學(xué)中的應(yīng)用.doc

【畢業(yè)論文】數(shù)學(xué)物理方法在物理學(xué)中的應(yīng)用 【標(biāo)題】數(shù)學(xué)物理方法在物理學(xué)中的應(yīng)用 【作者】何楓林 【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)物理方法物理應(yīng)用 【指導(dǎo)老師】孫婷雅 【專業(yè)】物理學(xué) 【正文】1.緒論1.1?概述1大家知道，數(shù)學(xué)上的每一個(gè)新概念，每一種新理論，歸根到底都是人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中、從某種物理模型里面抽象出來(lái)的，有一些規(guī)律就是人們?cè)趯?duì)一些物理現(xiàn)象、物理過(guò)程、物理狀態(tài)進(jìn)行研究而歸納、總結(jié)出來(lái)的，我們把從物理問(wèn)題中歸結(jié)出來(lái)的物理規(guī)律用數(shù)學(xué)方程表達(dá)出來(lái)的方法，稱為數(shù)學(xué)物理方法。1.2?物理與數(shù)學(xué)的聯(lián)系2?數(shù)學(xué)、物理本是科學(xué)的孿生子，有著共同的根源，幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，它們沿著各自的脈絡(luò)發(fā)展，至今已門類林立，內(nèi)容迥異。然而，今天應(yīng)用的數(shù)學(xué)物理方法已經(jīng)不在局限于18世紀(jì)的導(dǎo)出的方程。這些方程反映相關(guān)物理現(xiàn)象的本質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。它們的確立，體現(xiàn)了人們的認(rèn)識(shí)從表象走向本質(zhì)的飛躍，是這些學(xué)科走向成熟的一個(gè)標(biāo)志。當(dāng)我們沉湎于具體方程的研究和學(xué)習(xí)時(shí)，往往并不滿足于這些方程抽象的表述形式和單純的理論探討，而迫切需要熟悉它們物理現(xiàn)象的本源，了解它們的物理和數(shù)學(xué)的直觀意義，以便進(jìn)一步開拓思維，把握實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，找到新的靈感。但要做到這一點(diǎn)，在今天已經(jīng)太不容易了，因?yàn)樗麄兠媲笆且粭l橫在數(shù)學(xué)與物理學(xué)兩大學(xué)科之間的鴻溝。所以人們迫切需要建造一座把物理學(xué)與數(shù)學(xué)溝通起來(lái)橋梁數(shù)學(xué)物理方法。自然界中的一切事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體,認(rèn)識(shí)世界的重要途徑是對(duì)事物進(jìn)行質(zhì)和量的考察,量變到質(zhì)變是事物發(fā)展的普遍規(guī)律。反映事物本質(zhì)屬性及其規(guī)律的物理學(xué),不僅應(yīng)有正確的定性描述,還必須準(zhǔn)確地刻畫出量的變化規(guī)律,而且也只有當(dāng)物理學(xué)由定性進(jìn)入到定量的階段,才算是真正把握住了事物的質(zhì),才標(biāo)志著物理學(xué)已經(jīng)成熟,這當(dāng)然離不開數(shù)學(xué)。物理學(xué)逐漸發(fā)展成為一門成熟的自然科學(xué),它不僅用實(shí)驗(yàn)方法代替了以往整體的觀察法而且引進(jìn)了數(shù)學(xué)方法。在物理學(xué)研究中針對(duì)研究對(duì)象不同的特點(diǎn),運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、方法和技巧,對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行量的分析、描述、計(jì)算和推導(dǎo),從而找出能以數(shù)學(xué)形式表達(dá)事物的量的規(guī)律性。1.3?數(shù)學(xué)方法對(duì)物理研究的貢獻(xiàn)316世紀(jì)以后,數(shù)學(xué)在物理科學(xué)中取得的成就有目共睹:從牛頓的經(jīng)典力學(xué)到狹義相對(duì)論以及廣義相對(duì)論;從麥克斯韋方程組中的電與磁到量子力學(xué)中波粒二象性的對(duì)立統(tǒng)一,數(shù)學(xué)無(wú)時(shí)不在幫助陳述與幫助揭示自然的奧秘。近代科學(xué)是以物理科學(xué)為標(biāo)志的,其重要原因之一,就是它能以精確的數(shù)學(xué)形式表示出物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,開創(chuàng)了科學(xué)實(shí)驗(yàn)同數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法。現(xiàn)代物理學(xué)則發(fā)展到了與數(shù)學(xué)須臾不離的地步,現(xiàn)代物理的研究對(duì)象離直觀越來(lái)越遠(yuǎn),需要反映其內(nèi)在聯(lián)系的自然現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)事實(shí)越來(lái)越復(fù)雜,欲想對(duì)其進(jìn)行定量分析和深入研究,就非用數(shù)學(xué)不可,用數(shù)學(xué)不但能準(zhǔn)確地反映出已知事物的本質(zhì)聯(lián)系,而且能做出科學(xué)預(yù)見,取得重大的突破?，F(xiàn)代物理的一切重大發(fā)現(xiàn),都與數(shù)學(xué)的應(yīng)用密切相關(guān)。物理科學(xué)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的需要恰好在數(shù)學(xué)發(fā)展上起了直接的決定性的推動(dòng)作用,如微積分是牛頓在處理物理問(wèn)題時(shí),用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)法解決的前提下創(chuàng)立的。運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方法可以通過(guò)認(rèn)識(shí)事物的量來(lái)認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律性，然而這種方法進(jìn)一步提供數(shù)量的分析和計(jì)算的方法。例如：（1）開普勒根據(jù)第谷積累的大量關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)資料，應(yīng)用圓錐曲線理論，經(jīng)過(guò)大量演算建立行星變速運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道模型終于發(fā)現(xiàn)了行星到太陽(yáng)的距離r跟行星繞日運(yùn)行的周期t的關(guān)系?（恒量）。（2）太陽(yáng)系字遠(yuǎn)的行星之一的海王星是1846年在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的。天文學(xué)家阿達(dá)姆和勒未累分析了天王星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律性，得出結(jié)論說(shuō)：這種規(guī)律是由其它行星的引力而發(fā)生的。勒未累根據(jù)力學(xué)定律和引力定律計(jì)算出這顆行星應(yīng)該在何處，他把這結(jié)果告訴了觀察員，而觀察員果然從望遠(yuǎn)鏡中在勒未累所指出的位子上看到了這顆行星。這個(gè)發(fā)現(xiàn)不僅是力學(xué)和天文學(xué)特別是哥白尼體系的勝利，而且也是數(shù)學(xué)計(jì)算勝利。（3）在頻譜分析中，將周期函數(shù)進(jìn)行傅里葉展開，它表明物理過(guò)程是：在力學(xué)或聲學(xué)上，把周期性復(fù)雜振動(dòng)分解為一系列各種頻率的諧振波動(dòng)；在電學(xué)上，把交變電壓或電流分解為一系列諧變電壓或電流；在無(wú)線電電子學(xué)上，將信號(hào)波形分解基波和諧波等等。（4）在非線性理論的應(yīng)用研究中，運(yùn)用maple語(yǔ)言程序計(jì)算了具有耦合特性的非線性sehr0dinger方程組的行波精確解及其約束條件方程，并以圖表的形式定量分析了行波精確解組的特性。還例如：法國(guó)文學(xué)家勒威耶根據(jù)天王星運(yùn)動(dòng)軌道，根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的結(jié)果總有比較大的偏離，便運(yùn)用天體力學(xué)理論結(jié)合數(shù)學(xué)分析和計(jì)算，預(yù)算天王星軌道外面存在一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星，并精確計(jì)算了該行星的運(yùn)動(dòng)軌道以及他在各個(gè)時(shí)刻的位置。1846年9月23日晚上，德國(guó)天文學(xué)家加勒巴望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)了勒威耶所預(yù)言的位置立刻發(fā)現(xiàn)了后來(lái)被命名為海王星的這顆行星。又如電磁波的存在并預(yù)言了他以光速傳播，是由麥克斯韋用數(shù)學(xué)“推導(dǎo)”出來(lái)的，15年后才有德國(guó)物理學(xué)家赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)；愛因斯坦通過(guò)質(zhì)能關(guān)系式?的研究，預(yù)示了原子核反應(yīng)中質(zhì)量虧損所產(chǎn)生的巨大能量。以上事實(shí)表明，物理學(xué)中的許多重要結(jié)論都是根據(jù)已知原理，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算、交換法則。經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理證明后得到。1.4?數(shù)學(xué)物理方法的研究現(xiàn)狀長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)物理方法課程講授上個(gè)世紀(jì)已基本形成的關(guān)于三種典型偏微分方程的經(jīng)典解法和理論以及解析函數(shù)的積分理論與級(jí)數(shù)理論，并適當(dāng)介紹貝塞爾函數(shù)和勒讓德多項(xiàng)式的一些基本知識(shí)與應(yīng)用。然而近幾十年來(lái)，由于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，特別是拓?fù)鋵W(xué)與泛函分析的迅速發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn)，涉及到處理數(shù)學(xué)物理方程的一些新的理論和新的方法不斷涌現(xiàn)，使數(shù)學(xué)物理方法發(fā)生了巨大的變化。現(xiàn)代物理學(xué)發(fā)展到了與數(shù)學(xué)分不開的地步，現(xiàn)代物理學(xué)的研究離直觀越來(lái)越遠(yuǎn)，需要反映其內(nèi)在聯(lián)系的自然現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)越來(lái)越復(fù)雜，欲想對(duì)其進(jìn)行定量分析和深入研究就非用數(shù)學(xué)不可。1.5?本文研究的內(nèi)容和目的意義“數(shù)學(xué)物理方法”是物理學(xué)類、電子信息科學(xué)類、天文學(xué)類、地球物理學(xué)類、大氣科學(xué)類、海洋科學(xué)類、力學(xué)類、材料科學(xué)類和環(huán)境科學(xué)類等專業(yè)類的必修或限定選修課程。本課程一般包含復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)物理方程兩部分內(nèi)容，其基礎(chǔ)理論屬于分析數(shù)學(xué)，其應(yīng)用部分涉及物理及工程技術(shù)等其它學(xué)科。本課程的直接目標(biāo)是幫助學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和工具，為后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課做準(zhǔn)備。長(zhǎng)遠(yuǎn)的目標(biāo)是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力。當(dāng)然更高的要求是開拓創(chuàng)新思想的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)物理方法是研究物理學(xué)的重要工具，應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方法解題實(shí)際上是把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解答物理實(shí)際問(wèn)題能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。實(shí)踐證明：在處理物理學(xué)問(wèn)題時(shí)，若能充分借助數(shù)學(xué)工具的作用，則對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力起到積極的作用。從而讓數(shù)學(xué)物理方法在物理的應(yīng)用中更具創(chuàng)新的價(jià)值。2.數(shù)學(xué)物理方法在物理研究中的作用2.1物理學(xué)以數(shù)學(xué)為工具由以上實(shí)踐證明：數(shù)學(xué)物理方法在物理研究中的應(yīng)用有著重大而深遠(yuǎn)的意義。然而物理學(xué)的研究和應(yīng)用,?都要求它完全以數(shù)學(xué)為工具,否則就失去了意義。從形式上說(shuō),一個(gè)物理理論體系就是一個(gè)數(shù)學(xué)體系,具有高度的抽象性,嚴(yán)密的邏輯性和豐富的辯證性,這三方面使得數(shù)學(xué)不僅成為物理學(xué)的表現(xiàn)形式,?而且成為人們認(rèn)識(shí)和掌握物理學(xué)的主要工具。所以,數(shù)學(xué)的本質(zhì)和特點(diǎn)以及物理學(xué)的實(shí)際決定了數(shù)學(xué)是物理學(xué)的工具。物理學(xué)有著非常廣泛的應(yīng)用,并且在許多情況下都要借助于數(shù)學(xué)工具,從通常的工程建筑到尖端宇航技術(shù)無(wú)不與物理理論相聯(lián)系,但在具體運(yùn)用過(guò)程中又要借助于數(shù)學(xué)工具。?2.2?數(shù)學(xué)物理方法在物理解題中的作用4?5求解物理習(xí)題的過(guò)程屬于物理理論在實(shí)際中應(yīng)用的范疇之內(nèi),所以,在這過(guò)程中同樣離不開數(shù)學(xué)知識(shí),?其作用具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。把物理問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程當(dāng)中,除了選擇合適的物理方法,還要靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),?至于由數(shù)學(xué)問(wèn)題推理計(jì)算求出結(jié)果的過(guò)程,更加明顯地說(shuō)明它是一個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程?？梢?凡是需要定量分析的物理習(xí)題,數(shù)學(xué)運(yùn)用是必不可少的。把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,就是為物理問(wèn)題尋找一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,以數(shù)學(xué)為語(yǔ)言表達(dá)出物理量之間的相互關(guān)系,其一般步驟為:?(1)利用數(shù)學(xué)知識(shí)豐富、深化物理模型。如運(yùn)用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理,進(jìn)行物理過(guò)程的定量分析等,通過(guò)找出數(shù)量關(guān)系,給物理模型加入定量的因素。(2)?用符號(hào)來(lái)表示物理量。符號(hào)是物理內(nèi)容的載體,它把復(fù)雜的事物代碼化,成為可以一目了然加以把握的感知對(duì)象。(3)根據(jù)物理規(guī)律列出問(wèn)題中物理量間的關(guān)系,最后把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了物理過(guò)程的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化。在實(shí)際當(dāng)中利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理方法解決物理問(wèn)題，既要其對(duì)物理基本概念和規(guī)律有正確的理解，又要求對(duì)數(shù)學(xué)理論和技巧能靈活的應(yīng)用，把具體的物理問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)手段加以正確的解答，最后得出其規(guī)律。后面我們將用分離變量法、達(dá)朗貝爾法、格林函數(shù)法、積分變量法解定解問(wèn)題來(lái)描述數(shù)學(xué)物理方法在物理學(xué)中的應(yīng)用。2.3小結(jié)：本章主要闡述了數(shù)學(xué)物理方法在物理研究中的作用，（包括：物理學(xué)以數(shù)學(xué)為依據(jù)和數(shù)學(xué)物理方法仔物理解題中的作用）。3.根據(jù)物理現(xiàn)象導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程的建立分三個(gè)步驟：（1）從所研究的系統(tǒng)中劃分一小部分，分析臨近部分與這一小部分的相互作用；（2）根據(jù)物理學(xué)的規(guī)律（如：牛頓第二定律、能量守恒定律等），用計(jì)算式表達(dá)這個(gè)作用。（3）化簡(jiǎn)、整理，即得所研究問(wèn)題滿足的物理方程。3.1一維波動(dòng)方程的建立1?6一維波動(dòng)方程的建立的概述：力學(xué)中有一類所謂振動(dòng)和波的現(xiàn)象，如彈性波，光波，電磁波等等，雖然各有其特殊規(guī)律，但有一個(gè)共性波動(dòng)，所以在數(shù)學(xué)上均能用波動(dòng)方程來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)有一根拉緊著的均勻，柔軟而有彈性的弦，長(zhǎng)為?，兩端釘在o，l兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近作垂直于ol?方向的微小橫振動(dòng)時(shí)，考察弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。為了解決這個(gè)問(wèn)題，如圖：3. 1所示。選擇坐標(biāo)系，并以u(píng)（x，t）表示弦上x?點(diǎn)在時(shí)刻t?沿垂直于x?方向的位移。圖 3.1（一維波動(dòng)方程）在這弦上，任取一小段?由于弦振動(dòng)是微小的，故可以認(rèn)為?是直線。則有弧長(zhǎng)?，又由于弦是柔軟的，弦的張力t的方向總是沿著弦的切線方向。且張力t是一個(gè)常數(shù)，它與位置x?和時(shí)間t?均無(wú)關(guān)。通過(guò)分析作用在小弦段?上的力是：（1）作用在?點(diǎn)上的張力t，它在u?軸方向上的分力為?（2）作用在m點(diǎn)上的張力t，它在u?軸方向的分力為?（3）作用在?上，垂直于x?軸的外力為?，其中?是在點(diǎn)x?處的外力的線密度。設(shè)弦的密度為?，根據(jù)牛頓第二定律有?因?，故?當(dāng)?時(shí)，有：?同理?代入上式得?應(yīng)用中值定理得?其中?令?就得到弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程?其中?若外力消失，則得到弦的自由橫振動(dòng)方程?這樣就導(dǎo)出?(?,)?所滿足的偏微分方程。方程建立不僅適用弦振動(dòng)，而且還適用力學(xué)上的彈性桿振動(dòng)，管道中氣體小擾動(dòng)等等。3.2?熱傳導(dǎo)方程的建立1物理現(xiàn)象中的熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散在生活中常見。我們知道的有熱量差的物體，就有熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。濃度不同的溶液中，就有分子從濃度大的地方流向濃度小的地方。凡是由于物理量的密度不同而產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，通稱為擴(kuò)散。在數(shù)學(xué)上，描述熱傳導(dǎo)規(guī)律和擴(kuò)散規(guī)律的是同一種方程，人們把它作為研究拋物型方程的模型。在不少的生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常需要考慮物體上各點(diǎn)的溫度分布狀態(tài)。我們考察一根均勻細(xì)桿內(nèi)熱量的傳播的過(guò)程。設(shè)細(xì)桿的橫截面積為常數(shù)a，又設(shè)它的側(cè)面絕熱，即熱量只能沿長(zhǎng)度方向傳導(dǎo)，由于細(xì)桿很細(xì)，以至于在任何時(shí)刻都可以把橫截面