整數(shù)的整除性.doc

三易數(shù)學資源網(wǎng) 競賽培訓專題6-整數(shù)的整除性1整數(shù)的整除性的有關概念、性質(zhì)（1）整除的定義：對于兩個整數(shù)a、d（d0），若存在一個整數(shù)p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。若d不能整除a，則記作d a，如2|6，4 6。（2）性質(zhì)1)若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數(shù)m有bm|am2)若a|b，b|a，則|a|=|b|;3)若b|a，c|b，則c|a4)若b|ac，而（a，b）=1（a，b）=1表示a、b互質(zhì)，則b|c；5）若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，則c|（ma+nb），其中m、n為任意整數(shù)（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項的和）例1 （1987年北京初二數(shù)學競賽題）x，y，z均為整數(shù)，若11（7x+2y-5z），求證：11（3x-7y+12z）。證明4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 1111(3x-2y+3z), 且 11(7x+2y-5z),114(3x-7y+12z) 又(11,4)=1 11(3x-7y+12z).2.整除性問題的證明方法(1)利用數(shù)的整除性特征（見第二講）例2（1980年加拿大競賽題）設72的值。解72=89，且（8，9）=1，所以只需討論8、9都整除的值。若8，則8，由除法可得。若9，則9（a+6+7+9+2），得a=3。（2）利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì) 任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。 任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶數(shù)且至少有一個是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被23=6整除。這個性質(zhì)可以推廣到任意個整數(shù)連續(xù)之積。例3（1956年北京競賽題）證明：對任何整數(shù)n都為整數(shù)，且用3除時余2。證明為連續(xù)二整數(shù)的積,必可被2整除. 對任何整數(shù)n均為整數(shù),為整數(shù),即原式為整數(shù).又 ，2n、2n+1、2n+2為三個連續(xù)整數(shù)，其積必是3的倍數(shù)，而2與3互質(zhì)，是能被3整除的整數(shù).故被3除時余2.例4 一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.證明 a2+23=（a2-1）+24，只需證a2-1可以被24整除即可.2 .a為奇數(shù).設a=2k+1(k為整數(shù)),則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).k、k+1為二個連續(xù)整數(shù)，故k（k+1）必能被2整除，8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又（a-1），a，（a+1）為三個連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），3 a，3|（a2-1）.3與8互質(zhì), 24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整數(shù)的奇偶性下面我們應用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關知識來解幾個整數(shù)問題.例5 求證:不存在這樣的整數(shù)a、b、c、d使：abcd-a= abcd-b= abcd-c= abcd-d= 證明 由，a（bcd-1）=.右端是奇數(shù)，左端a為奇數(shù)，bcd-1為奇數(shù).同理,由、知b、c、d必為奇數(shù)，那么bcd為奇數(shù)，bcd-1必為偶數(shù)，則a（bcd-1）必為偶數(shù)，與式右端為奇數(shù)矛盾.所以命題得證.例6 (1985年合肥初中數(shù)學競賽題)設有n個實數(shù)x1,x2,，xn，其中每一個不是+1就是-1，且 試證n是4的倍數(shù).證明 設 (i=1,2,，n-1)， 則yi不是+1就是-1，但y1+y2+yn=0，故其中+1與-1的個數(shù)相同，設為k，于是n=2k.又y1y2y3yn=1，即（-1）k=1，故k為偶數(shù)， n是4的倍數(shù).其他方法：整數(shù)a整除整數(shù)b，即b含有因子a.這樣,要證明a整除b,采用各種公式和變形手段從b中分解出因子a就成了一條極自然的思路.例7(美國第4屆數(shù)學邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當n+10的值為最大時,相應地n的值為最大.因為900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年高二數(shù)學競賽)設a、b、c為滿足不等式1abc的整數(shù)，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能數(shù)組（a，b，c）.解 （ab-1）（bc-1）（ca-1） =a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）. 存在正整數(shù)k,使ab+ac+bc-1=kabc, k= k=1.若a3，此時 1=-矛盾.已知a1. 只有a=2. 當a=2時，代入中得2b+2c-1=bc，即 1= 0b4，知b=3，從而易得c=5. 說明：在此例中通過對因數(shù)k的范圍討論，從而逐步確定a、b、c是一項重要解題技巧.例9（1987年全國初中聯(lián)賽題）已知存在整數(shù)n，能使數(shù)被1987整除.求證數(shù)， 都能被1987整除. 證明（103n+），且能被1987整除，p能被1987整除.同樣， q=（）且 故、102（n+1）、被除，余數(shù)分別為1000，100，10，于是q表示式中括號內(nèi)的數(shù)被除，余數(shù)為1987，它可被1987整除，所以括號內(nèi)的數(shù)能被1987整除，即q能被1987整除.練習1選擇題（1）（1987年上海初中數(shù)學競賽題）若數(shù)n=2030405060708090100110120130，則不是n的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是（ ）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整數(shù)0、1、2、8、9中質(zhì)數(shù)有x個，偶數(shù)有y個，完全平方數(shù)有z個，則x+y+z等于（ ）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除盡311+518的最小整數(shù)是（ ）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2 填空題（1）（1973年加拿大數(shù)學競賽題）把100000表示為兩個整數(shù)的乘積，使其中沒有一個是10的整倍數(shù)的表達式為_.(2) 一個自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是_.(3) (1989年全國初中聯(lián)賽題)在十進制中,各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是_.3.求使為整數(shù)的最小自然數(shù)a的值.4.(1971年加拿大數(shù)學競賽題)證明:對一切整數(shù)n,n2+2n+12不是121的倍數(shù).5.(1984年韶關初二數(shù)學競賽題)設是一個四位正整數(shù),已知三位正整數(shù)與246的和是一位正整數(shù)d的111倍,又是18的倍數(shù).求出這個四位數(shù),并寫出推理運算過程.6.(1954年蘇聯(lián)數(shù)學競賽題)能否有正整數(shù)m、n滿足方程m2+1954=n2.7.證明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n為非負整數(shù).(2)若將(1)中的11改為任意一個正整數(shù)a,則(1)中的12,133將作何改動?證明改動后的結(jié)論.8.(1986年全國初中數(shù)學競賽題)設a、b、c是三個互不相等的正整數(shù).求證:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三個數(shù)中,至少有一個能被10整除.9.(1986年上海初中數(shù)學競賽題)100個正整數(shù)之和為101101,則它們的最大公約數(shù)的最大可能值是多少?證明你的結(jié)論.練習答案 （）（）由2000a為一整數(shù)平方可推出a=5反證法若是的倍數(shù)，設（）（）是素數(shù)且除盡（），除盡除盡（）或，不可能由是的倍，可能是，；又是的倍數(shù)，只能是而，是（）（）第一項可被整除又，（）改為改為，改為（）改動后命題為（）（），可仿上證明（）；同理有（）；（）若a、中有偶數(shù)或均為奇數(shù)，以上三數(shù)總能被整除