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專項(xiàng)復(fù)習(xí)一:距離和最小問(wèn)題 班級(jí) 姓名 基礎(chǔ)知識(shí):直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所連線中, 最短.簡(jiǎn)稱: 最短。平面上連接兩點(diǎn)的所有線中, 最短. 簡(jiǎn)稱:兩點(diǎn)之間, 最短。知識(shí)探索:一、關(guān)于 一 條變化線段最短問(wèn)題思路指導(dǎo):此類問(wèn)題一般應(yīng)用垂線段最短來(lái)解決例1.如圖1,一次函數(shù)交兩坐標(biāo)軸與A,B兩點(diǎn),M點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),N為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)MN取最小值時(shí)MN= ,此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為 .練習(xí):1. 如圖2,矩形ABCD中AB=6,tanADB=,E為對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則AE的最小值為 .2. 如圖3,菱形ABCD中,AB=10,B=45,M為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則AM的最小值為 .3. 如圖4,O直徑為10,弦AB長(zhǎng)為8,M為AB上一點(diǎn),則OM的最小值為 .4. 如圖5,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C坐標(biāo)為(-4,-3),C半徑為1,P 為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ切C于Q, 則當(dāng)PQ最小時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為 . 5. 如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中,ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使CD=AC,過(guò)點(diǎn)D作DEAB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo);(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF,若過(guò)B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形,確定此直線的解析式;(3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn),點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā),先沿y軸到達(dá)G點(diǎn),再沿GA到達(dá)A點(diǎn),若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍,試確定G點(diǎn)的位置,使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.(要求:簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法,但不要求證明)6.已知MN為一條東西走向的公路,在公路的一側(cè)是平坦的草原,大偉駕駛汽車從A處出發(fā)到位于點(diǎn)A東北方向(北偏東45)的B處,B距離公路的距離BC為10km,已知汽車在公路上的行駛速度為40km/h,在草原上的速度為20km/h,大偉規(guī)劃了兩種方案:方案一:直接沿線段AB行駛從A到B方案二:現(xiàn)沿公路行駛至C處,再沿CB從C到B(1)請(qǐng)你計(jì)算哪種方案用時(shí)較少?(2)同行的王教授提出,如果沿公路先行駛一段距離,再沿直線方向到 B可以用時(shí)較少;. 汽車先沿公路行駛5km到D,再沿DB到B,求所用時(shí)間. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)用時(shí)最少的方案.二、關(guān)于兩(多)條線段和最小問(wèn)題思路指導(dǎo):此類問(wèn)題一般通過(guò)適當(dāng)?shù)膸缀巫儞Q實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。即將連接兩點(diǎn)的折線轉(zhuǎn)化為線段最短問(wèn)題1. 直接運(yùn)用兩點(diǎn)間線段最短解決問(wèn)題.例: 如圖8,已知A(1,1)B(3,-3),C為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)AC+BC最小時(shí),C點(diǎn)坐標(biāo)為 ,此時(shí)AC+BC的最小值為 .練習(xí): 如圖9,四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為5的正方形,以B為圓心4為半徑畫弧交BA與M,交BC于N,P在上運(yùn)動(dòng),則PA+PB+PC的最小值為 .2.平移后應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短例:已知:如圖10,A(1,2),B(4,-2),C(m,0),D(m+2,0)(1)在圖中作出當(dāng)AC+CD+DB最小時(shí)C點(diǎn)的位置,并求出此時(shí)m的值(2)求AC+CD+DB的最小值.練習(xí):如圖11,NP,MQ為一段河的兩岸(河的兩側(cè)為平坦的地面,可以任意穿行),NPMQ,河寬PQ為60米,在NP一側(cè)距離河岸110米處有一處藏寶處A,某人從MQ一側(cè)距離河岸40米的B處出發(fā),隨身攜帶恰好橫穿(與河岸垂直)河面的繩索(將繩索利用器械投擲至河對(duì)岸并固定,人扶繩索涉水過(guò)河),請(qǐng)計(jì)算此人從出發(fā)到目的地最少的行進(jìn)路程,并確定固定繩索處(MQ一側(cè))到B處的最近距離.3.旋轉(zhuǎn)后應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短例:如圖12,四邊形ABCD是正方形,ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN,連接EN、AM、CM. 求證:AMBENB; 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AMCM的值最??;當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AMBMCM的值最小,并說(shuō)明理由; 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí),求正方形的邊長(zhǎng).練習(xí):點(diǎn)O 為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),(1)正方形邊長(zhǎng)為4,求OB+OD的最小值(2)若OB+OC+OD的最小值為,求正方形的邊長(zhǎng)4.對(duì)稱后應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短數(shù)學(xué)模型已知:如圖14,直線 l 及直線同側(cè)兩點(diǎn) P、Q,在直線 l 上求作點(diǎn)M, 使線段PM+QM最小,并說(shuō)明理由關(guān)系探究上圖中:相等的角: 線段關(guān)系: 類型一:?jiǎn)蝿?dòng)點(diǎn)單對(duì)稱軸(直線同側(cè)兩線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè),進(jìn)而應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短)練習(xí):1.如圖15,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,M、N分別為AB、BC邊的中點(diǎn),P為對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn),則 PM+PN的最小值 .2. 如圖16,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),BAD=60,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn),則 PE+PB的最小值 .3. 如圖17,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn),P為對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn),則 PM+PC 的最小值 4. 如圖18,正方形ABCD的面積為a,ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上 有一動(dòng)點(diǎn)P,PD+PE的和最小值為4,則a= .5.如圖19,已知O的半徑為1, AB、CD為O的兩互相垂直的直徑,點(diǎn)M在弧AD上,且MOD=30, 點(diǎn)P為半徑OD上的一動(dòng)點(diǎn),則PM+PA的最小值 .6. 如圖20,已知O的半徑為1, AB為O的直徑,C是O上的一點(diǎn),且CAB=30點(diǎn)M是弧CB的中點(diǎn),點(diǎn)P為直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn),則PM+PC的最小值 .7.如圖21,O的直徑為10,A,B在圓周上,ACMN,BDMN,AC=6,BD=8.P為MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為 .8.如圖22,已知AOB=60,OA=6,C為OA的中點(diǎn),OD平分AOB,M為OD上一動(dòng)點(diǎn),則AM+CM的最小值為 9如圖23,從點(diǎn)A(0,2)發(fā)出的一束光,經(jīng)軸反射,過(guò)點(diǎn)B(4,3),則這束光從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)為 10.如圖24,已知拋物線y=x2-2x-3,與x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸相較于點(diǎn)C,P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),則PO+PC的最小值是 .11.如圖25,以正方形ABCD中AB為邊向外作等邊三角形AMB,N為對(duì)角線BD上一點(diǎn),若AN+MN的最小值為,則正方形邊長(zhǎng)為 .12.一次函數(shù)y=kxb的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2,0),B(0,4)(1)求該函數(shù)的解析式;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)C為AB的中點(diǎn),P為OB上一動(dòng)點(diǎn),求PCPA取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)13.如圖27,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),連結(jié)OA,將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120,得到線段OB.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l是第一、三象限的角平分線實(shí)驗(yàn)與探究:(1)由圖觀察易知A(0,2)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3)、C(2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B、C的位置,并寫出他們的坐標(biāo):B 、C ;歸納與發(fā)現(xiàn):(2)結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo),你會(huì)發(fā)現(xiàn):坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (不必證明);運(yùn)用與拓廣:(3)已知兩點(diǎn)D(1,3)、E(1,4),試在直線l上確定一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小,并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)類型二:雙動(dòng)點(diǎn)單對(duì)稱軸(在類型一基礎(chǔ)上應(yīng)用垂線段最短)例:如圖,已知CAB=30,BA=6,AF平分BAC,P,Q分別為AB,AF上的動(dòng)點(diǎn),則BQ+PQ的最小值為 練習(xí):1.如圖29,正方形ABCD中,AE為BAC的平分線,M,N分別為AE,AB上的動(dòng)點(diǎn),若MN+BM最小值為3,則正方形邊長(zhǎng)為 .2.如圖30,在銳角ABC中,AB=,BAC=45,BAC的平分線交BC于點(diǎn)D, M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值是_ 3.如圖31,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,M,N分別為BD,BC上的動(dòng)點(diǎn),則CM+MN的最小值為 .類型三:?jiǎn)蝿?dòng)點(diǎn)雙對(duì)稱軸例:如圖32,已知:AOB=30,P為AOB內(nèi)一點(diǎn),OP=6,M,N分別為OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則PMN的周長(zhǎng)最小值為 .練習(xí):1.如圖33,已知:AOB=60,P為AOB內(nèi)一點(diǎn),OP=10,M,N分別為OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則PMN的周長(zhǎng)最小值為 .2.如圖34,兩個(gè)鏡子成45角,P為夾角內(nèi)一個(gè)光源,P距離交點(diǎn)2米,光線從P發(fā)出后經(jīng)過(guò)OB,OA反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則光線經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為 .3.如圖35,已知A(3,2)為坐標(biāo)平面上一點(diǎn),在x,y軸上確定點(diǎn)M,N,使AMN周長(zhǎng)最小,并求出此時(shí)M,N坐標(biāo).類型四. 雙動(dòng)點(diǎn)雙對(duì)稱軸例: 已知P,Q為AOB內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn),M,N分別為OA,OB上的動(dòng)點(diǎn)。P為P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn),Q為Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn),連接PQ交OA,OB于M、N則四邊形PMNQ為周長(zhǎng)最小的四邊形.請(qǐng)結(jié)合所給圖形說(shuō)明理由.練習(xí):1.恩施州自然風(fēng)光無(wú)限,特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè),、到直線的距離分別為和,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū),向、兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案,圖11(1)是方案一的示意圖(與直線垂直,垂足為),到、的距離之和,圖11(2)是方案二的示意圖(點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是,連接交直線于點(diǎn)),到、的距離之和(1)求、,并比較它們的大??;(2)請(qǐng)你說(shuō)明的值為最??;(3)擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直,建立如圖11(3)所示的直角坐標(biāo)系,到直線的距離為,請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、,使、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值2. 如圖37,以矩形OABC的頂點(diǎn),OA所在的直線為x軸,OC所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,已知OA=3, OC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),在OA上取一點(diǎn)D,將BDA沿BD翻折,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處.(1)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);(2)設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸的正半軸于點(diǎn)P,且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求拋物線的解析式;(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最?。咳绻嬖?,求出周長(zhǎng)的最小值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。類型四. 對(duì)稱,平移綜合例:如圖38,A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn),定長(zhǎng)線段PQ在a上平行移動(dòng),問(wèn)PQ移動(dòng)到什么位置時(shí),AP+PQ+QB的長(zhǎng)最短?練習(xí):1. 已知:如圖,A(1,2),B(4,3),C(m.0),D(m+1,0)求當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)m的值。 綜合練習(xí)1、如圖,已知點(diǎn)A(-4,8)和點(diǎn)B(2,n)在拋物線上(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo),并在x軸上找一點(diǎn)Q,使得AQ+QB最短,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);(2)平移拋物線,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)D(-4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),AC+CB 最短,求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí),是否存在某個(gè)位置,使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短?若存在,求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由2. 如圖,在矩形中,已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,為的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)(1)試證明:無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,總與相等;(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離最小時(shí),試確定過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析式;(3)設(shè)點(diǎn)是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),的周長(zhǎng)最???求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長(zhǎng);(4)設(shè)點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心,是否存在點(diǎn),使?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)yOxPDB圖413.一只螞蟻從圓柱下底面B處沿圓柱表面爬行到上底面D處,圓柱底面半徑為1,圓柱高為h,現(xiàn)有兩條路線可供選擇(本題中取3)方案設(shè)計(jì)路線一:沿圓柱側(cè)面繞行,請(qǐng)?jiān)趫D中右邊的側(cè)面展開(kāi)圖中畫出最短路線路線二:沿圓柱側(cè)面從B爬到A,再沿直徑AD爬到D觀察計(jì)算(1)路線一中最短路線長(zhǎng)d1為 .(2)路線二中路線長(zhǎng)d2為 .探索歸納:(1)當(dāng)h=4時(shí),比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”)當(dāng)h=時(shí),比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”)(2)請(qǐng)你就h(當(dāng)h0)的所有取值情況進(jìn)行分析,要使螞蟻所爬路線較短,應(yīng)選擇路線一還是路線二?4在一平直河岸同側(cè)有兩個(gè)村莊,到的距離分別是3km和2km,現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站,用輸水管向兩個(gè)村莊供水方案設(shè)計(jì)某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案:圖1是方案一的示意圖,設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為,且(其中于點(diǎn));圖2是方案二的示意圖,設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為,且(其中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,與交于點(diǎn))ABPllABPC圖1圖2lABPC圖3K觀察計(jì)算(1)在方案一中, km(用含的式子表示);(2)在方案二中,組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算的長(zhǎng),作了如圖3所示的輔助線,請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算, km(用含的式子表示)探索歸納(1)當(dāng)時(shí),比較大小:(填“”、“”或“”);當(dāng)時(shí),比較大?。海ㄌ睢啊?、“”

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