專題復(fù)習(xí)1：利用軸對(duì)稱求最值.docx

專項(xiàng)復(fù)習(xí)一：距離和最小問(wèn)題 班級(jí) 姓名 基礎(chǔ)知識(shí)：直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所連線中， 最短.簡(jiǎn)稱： 最短。平面上連接兩點(diǎn)的所有線中， 最短. 簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)之間， 最短。知識(shí)探索：一、關(guān)于 一 條變化線段最短問(wèn)題思路指導(dǎo)：此類問(wèn)題一般應(yīng)用垂線段最短來(lái)解決例1.如圖1，一次函數(shù)交兩坐標(biāo)軸與A，B兩點(diǎn)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（,0），N為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取最小值時(shí)MN= ，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為 .練習(xí)：1. 如圖2,矩形ABCD中AB=6，tanADB=,E為對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AE的最小值為 .2. 如圖3,菱形ABCD中，AB=10，B=45，M為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM的最小值為 .3. 如圖4,O直徑為10，弦AB長(zhǎng)為8，M為AB上一點(diǎn)，則OM的最小值為 .4. 如圖5,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，-3），C半徑為1，P 為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切C于Q， 則當(dāng)PQ最小時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為 . 5. 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使CD=AC,過(guò)點(diǎn)D作DEAB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過(guò)B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.（要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）6.已知MN為一條東西走向的公路，在公路的一側(cè)是平坦的草原，大偉駕駛汽車從A處出發(fā)到位于點(diǎn)A東北方向（北偏東45）的B處，B距離公路的距離BC為10km，已知汽車在公路上的行駛速度為40km/h，在草原上的速度為20km/h，大偉規(guī)劃了兩種方案：方案一：直接沿線段AB行駛從A到B方案二：現(xiàn)沿公路行駛至C處，再沿CB從C到B（1）請(qǐng)你計(jì)算哪種方案用時(shí)較少？（2）同行的王教授提出，如果沿公路先行駛一段距離，再沿直線方向到 B可以用時(shí)較少;. 汽車先沿公路行駛5km到D，再沿DB到B，求所用時(shí)間. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)用時(shí)最少的方案.二、關(guān)于兩（多）條線段和最小問(wèn)題思路指導(dǎo)：此類問(wèn)題一般通過(guò)適當(dāng)?shù)膸缀巫儞Q實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。即將連接兩點(diǎn)的折線轉(zhuǎn)化為線段最短問(wèn)題1. 直接運(yùn)用兩點(diǎn)間線段最短解決問(wèn)題.例： 如圖8，已知A（1,1）B（3，-3），C為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC+BC最小時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為 ，此時(shí)AC+BC的最小值為 .練習(xí)： 如圖9，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為5的正方形，以B為圓心4為半徑畫弧交BA與M，交BC于N，P在上運(yùn)動(dòng)，則PA+PB+PC的最小值為 .2.平移后應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短例：已知：如圖10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在圖中作出當(dāng)AC+CD+DB最小時(shí)C點(diǎn)的位置，并求出此時(shí)m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.練習(xí)：如圖11，NP，MQ為一段河的兩岸（河的兩側(cè)為平坦的地面，可以任意穿行），NPMQ，河寬PQ為60米，在NP一側(cè)距離河岸110米處有一處藏寶處A，某人從MQ一側(cè)距離河岸40米的B處出發(fā)，隨身攜帶恰好橫穿（與河岸垂直）河面的繩索（將繩索利用器械投擲至河對(duì)岸并固定，人扶繩索涉水過(guò)河），請(qǐng)計(jì)算此人從出發(fā)到目的地最少的行進(jìn)路程，并確定固定繩索處（MQ一側(cè)）到B處的最近距離.3.旋轉(zhuǎn)后應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短例：如圖12，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).練習(xí)：點(diǎn)O 為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，（1）正方形邊長(zhǎng)為4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值為，求正方形的邊長(zhǎng)4.對(duì)稱后應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短數(shù)學(xué)模型已知：如圖14，直線 l 及直線同側(cè)兩點(diǎn) P、Q，在直線 l 上求作點(diǎn)M， 使線段PM+QM最小，并說(shuō)明理由關(guān)系探究上圖中：相等的角： 線段關(guān)系： 類型一：?jiǎn)蝿?dòng)點(diǎn)單對(duì)稱軸（直線同側(cè)兩線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)，進(jìn)而應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短）練習(xí)：1.如圖15，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，M、N分別為AB、BC邊的中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則 PM+PN的最小值 .2. 如圖16，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，BAD=60，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則 PE+PB的最小值 .3. 如圖17,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，則 PM+PC 的最小值 4. 如圖18，正方形ABCD的面積為a，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上 有一動(dòng)點(diǎn)P，PD+PE的和最小值為4，則a= .5.如圖19，已知O的半徑為1， AB、CD為O的兩互相垂直的直徑，點(diǎn)M在弧AD上，且MOD=30， 點(diǎn)P為半徑OD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PA的最小值 .6. 如圖20，已知O的半徑為1， AB為O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，且CAB=30點(diǎn)M是弧CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PC的最小值 .7.如圖21，O的直徑為10，A,B在圓周上，ACMN，BDMN，AC=6，BD=8.P為MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 .8.如圖22，已知AOB=60，OA=6，C為OA的中點(diǎn)，OD平分AOB，M為OD上一動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為 9如圖23，從點(diǎn)A(0，2)發(fā)出的一束光，經(jīng)軸反射，過(guò)點(diǎn)B(4，3)，則這束光從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)為 10.如圖24，已知拋物線y=x2-2x-3,與x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸相較于點(diǎn)C，P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，則PO+PC的最小值是 .11.如圖25，以正方形ABCD中AB為邊向外作等邊三角形AMB，N為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，若AN+MN的最小值為，則正方形邊長(zhǎng)為 .12.一次函數(shù)y=kxb的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)(1)求該函數(shù)的解析式；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)C為AB的中點(diǎn)，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPA取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)13.如圖27，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線實(shí)驗(yàn)與探究：（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（2，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B、C的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B 、C ；歸納與發(fā)現(xiàn)：（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （不必證明）；運(yùn)用與拓廣：（3）已知兩點(diǎn)D（1，3）、E（1，4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)類型二：雙動(dòng)點(diǎn)單對(duì)稱軸（在類型一基礎(chǔ)上應(yīng)用垂線段最短）例：如圖，已知CAB=30，BA=6，AF平分BAC，P,Q分別為AB，AF上的動(dòng)點(diǎn)，則BQ+PQ的最小值為 練習(xí):1.如圖29，正方形ABCD中，AE為BAC的平分線，M,N分別為AE，AB上的動(dòng)點(diǎn)，若MN+BM最小值為3，則正方形邊長(zhǎng)為 .2.如圖30，在銳角ABC中，AB=,BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D, M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_ 3.如圖31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為 .類型三：?jiǎn)蝿?dòng)點(diǎn)雙對(duì)稱軸例：如圖32，已知：AOB=30，P為AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=6，M，N分別為OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PMN的周長(zhǎng)最小值為 .練習(xí)：1.如圖33，已知：AOB=60，P為AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=10，M，N分別為OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PMN的周長(zhǎng)最小值為 .2.如圖34，兩個(gè)鏡子成45角，P為夾角內(nèi)一個(gè)光源，P距離交點(diǎn)2米，光線從P發(fā)出后經(jīng)過(guò)OB，OA反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則光線經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為 .3.如圖35，已知A（3,2）為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，在x，y軸上確定點(diǎn)M,N，使AMN周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)M，N坐標(biāo).類型四. 雙動(dòng)點(diǎn)雙對(duì)稱軸例： 已知P，Q為AOB內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，M，N分別為OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)。P為P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，Q為Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接PQ交OA，OB于M、N則四邊形PMNQ為周長(zhǎng)最小的四邊形.請(qǐng)結(jié)合所給圖形說(shuō)明理由.練習(xí)：1.恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖11（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖11（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說(shuō)明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖11（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值2. 如圖37，以矩形OABC的頂點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知OA=3, OC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處.（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸的正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求拋物線的解析式；（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最?。咳绻嬖?，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。類型四. 對(duì)稱，平移綜合例：如圖38，A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長(zhǎng)線段PQ在a上平行移動(dòng)，問(wèn)PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ+QB的長(zhǎng)最短？練習(xí)：1. 已知：如圖，A(1，2),B(4，3),C(m.0)，D（m+1，0）求當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)m的值。 綜合練習(xí)1、如圖，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線上(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，AC+CB 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2. 如圖，在矩形中，已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，總與相等；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離最小時(shí)，試確定過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，的周長(zhǎng)最??？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長(zhǎng)；（4）設(shè)點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)yOxPDB圖413.一只螞蟻從圓柱下底面B處沿圓柱表面爬行到上底面D處，圓柱底面半徑為1，圓柱高為h，現(xiàn)有兩條路線可供選擇（本題中取3）方案設(shè)計(jì)路線一：沿圓柱側(cè)面繞行，請(qǐng)?jiān)趫D中右邊的側(cè)面展開(kāi)圖中畫出最短路線路線二：沿圓柱側(cè)面從B爬到A，再沿直徑AD爬到D觀察計(jì)算（1）路線一中最短路線長(zhǎng)d1為 .（2）路線二中路線長(zhǎng)d2為 .探索歸納：（1）當(dāng)h=4時(shí)，比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）當(dāng)h=時(shí)，比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）（2）請(qǐng)你就h（當(dāng)h0）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使螞蟻所爬路線較短，應(yīng)選擇路線一還是路線二？4在一平直河岸同側(cè)有兩個(gè)村莊，到的距離分別是3km和2km，現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個(gè)村莊供水方案設(shè)計(jì)某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，且（其中于點(diǎn)）；圖2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，且（其中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，與交于點(diǎn)）ABPllABPC圖1圖2lABPC圖3K觀察計(jì)算（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算的長(zhǎng)，作了如圖3所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算， km（用含的式子表示）探索歸納（1）當(dāng)時(shí)，比較大小：（填“”、“”或“”）；當(dāng)時(shí)，比較大?。海ㄌ睢啊?、“”