歸納、類比推理.ppt

合情推理與演繹推理 推理 從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程 推理 前提 結(jié)論 推理所依據(jù)的命題 根據(jù)前提所得到的命題 歌德巴赫猜想的提出過(guò)程 3 7 10 3 17 20 13 17 30 歌德巴赫猜想 任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和 即 偶數(shù) 奇質(zhì)數(shù) 奇質(zhì)數(shù) 改寫(xiě)為 10 3 7 20 3 17 30 13 17 6 3 3 1000 29 971 8 3 5 1002 139 863 10 5 5 12 5 7 14 7 7 16 5 11 18 7 11 推理案例 前提 當(dāng)n 0時(shí) n2 n 11 11 當(dāng)n 1時(shí) n2 n 11 11 當(dāng)n 2時(shí) n2 n 11 13 當(dāng)n 3時(shí) n2 n 11 17 當(dāng)n 4時(shí) n2 n 11 23 當(dāng)n 5時(shí) n2 n 11 31 11 11 13 17 23 31都是質(zhì)數(shù) 結(jié)論 對(duì)于所有的自然數(shù)n n2 n 11的值都是質(zhì)數(shù) 這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征 推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理 或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理 稱為歸納推理 簡(jiǎn)稱 歸納 歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn) 1 歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象 因而 由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍 2 歸納是依據(jù)若干已知的 沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象 因而結(jié)論具有猜測(cè)性 3 歸納的前提是特殊的情況 因而歸納是立足于觀察 經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上 4 歸納是立足于觀察 經(jīng)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論 需證明 例1 已知數(shù)列 an 的第1項(xiàng)a1 1且 n 1 2 3 試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察 分析 歸納整理 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論 即猜想 檢驗(yàn)猜想 歸納推理的一般步驟 例 蛇是用肺呼吸的 鱷魚(yú)是用肺呼吸的 海龜是用肺呼吸的 蜥蜴是用肺呼吸的 蛇 鱷魚(yú) 海龜 蜥蜴都是爬行動(dòng)物 由此猜想 練 三角形的內(nèi)角和是180度 凸四邊形的內(nèi)角和是360度 凸五邊形的內(nèi)角和是540度 由此猜想 所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的 凸n邊形的內(nèi)角和是 n 2 1800 例 由此猜想 歸納推理 從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論 實(shí)驗(yàn) 觀察 概括 推廣 猜測(cè)一般性結(jié)論 1 觀察下列等式 并從中歸納出一般的結(jié)論 活學(xué)活用 1 2 用歸納法寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 凸四邊形有2條對(duì)角線 凸五邊形有5條對(duì)角線 比凸四邊形多3條 凸六邊形有9條對(duì)角線 比凸五邊形多4條 猜想 凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸n 1邊形多n 2條對(duì)角線 由此 凸n邊形對(duì)角線條數(shù)為2 3 4 5 n 2 凸n邊形有多少條對(duì)角線 3 凸n邊形有多少條對(duì)角線 4 在同一平面內(nèi) 兩條直線相交 有一個(gè)交點(diǎn) 三條直線相交 最多有幾個(gè)交點(diǎn) 四條直線相交 最多有幾個(gè)交點(diǎn) 六條直線相交 最多有幾個(gè)交點(diǎn) n條直線相交 最多有幾個(gè)交點(diǎn) 推理案例 前提 結(jié)論 矩形的對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)與寬的平方和 長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于長(zhǎng) 寬 高的平方和 歸納推理 1 在平面上 一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊 這兩角相等或互補(bǔ) 類比在空間中 一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊 這兩個(gè)角的關(guān)系如何 活學(xué)活用 2 在平面上 到定直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是兩條平行直線 類比在空間中 1 到定直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么 2 到已知平面距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么 2 把與類比 則有 1 把與類比 則有 3 把與類比 則有 4 把與類比 則有 4 在兩類不同事物之間進(jìn)行對(duì)比 找出若干相同或相似點(diǎn)之后 推測(cè)在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式 稱為類比推理 簡(jiǎn)稱 類比 類比推理的幾個(gè)特點(diǎn) 1 類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性 推測(cè)正在研究的事物的屬性 是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ) 類比出新的結(jié)果 2 類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性 3 類比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠 單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能 例類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理 試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想 s1 s2 s3 c2 a2 b2 例 2001年上海 已知兩個(gè)圓 x2 y2 1 與 x2 y 3 2 1 則由 式減去 式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程 將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣 即要求得到一個(gè)更一般的命題 而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例 推廣的命題為 x a 2 y b 2 r2與 x c 2 y d 2 r2 a c或 設(shè)圓的方程為 b d 則由 式減去 式可得上述兩圓的對(duì)稱軸 方程 圓的概念和性質(zhì) 球的概念和性質(zhì) 與圓心距離相等的兩弦相等 與圓心距離不相等的兩弦不相等 距圓心較近的弦較長(zhǎng) 以點(diǎn) x0 y0 為圓心 r為半徑的圓的方程為 x x0 2 y y0 2 r2 圓心與弦 非直徑 中點(diǎn)的連線垂直于弦 球心與不過(guò)球心的截面 圓面 的圓點(diǎn)的連線垂直于截面 與球心距離相等的兩截面面積相等 與球心距離不相等的兩截面面積不相等 距球心較近的面積較大 以點(diǎn) x0 y0 z0 為球心 r為半徑的球的方程為 x x0 2 y y0 2 z z0 2 r2 利用圓的性質(zhì)類比得出求的性質(zhì) 球的體積 球的表面積 圓的周長(zhǎng) 圓的面積 歸納推理 歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象 歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象 該結(jié)論超越了前提所包容的范圍 是從特殊到一般得命題的猜測(cè) 是否正確是需要證明的 類比推理 類比就是在兩類