（典型題）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 知識點總結(jié) 函數(shù)與方程思想.doc

函數(shù)與方程思想1 函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系2 和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化對函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要(3)在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式，那么問題就能化為未知量的方程來解(4)解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(5)立體幾何中有關(guān)線段的長、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.類型一函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例1已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式an；(2)在(1)的條件下，數(shù)列an的前n項和為sn，設(shè)bn，若對任意的nn*，不等式bnk恒成立，求實數(shù)k的最小值解(1)因為a12，aa2(a41)，又因為an是正項等差數(shù)列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項公式an2n.(2)因為snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，則f(x)2，當(dāng)x1時，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)x1時，f(x)minf(1)3，即當(dāng)n1時，(bn)max，要使對任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實數(shù)k的最小值為.(1)等差(比)數(shù)列中各有5個基本量，建立方程組可“知三求二”；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項公式即為相應(yīng)的解析式，因此在解決數(shù)列問題時，應(yīng)注意用函數(shù)的思想求解已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144.(1)求數(shù)列an的通項an；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項bn，記sn是數(shù)列bn的前n項和，若n3時，有snm恒成立，求m的最大值解(1)an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144，s10145，s10，a1028，公差d3.an3n2(nn*)(2)由(1)知bn，snb1b2bn，sn.sn1sn0，數(shù)列sn是遞增數(shù)列當(dāng)n3時，(sn)mins3，依題意，得m，m的最大值為.類型二函數(shù)與方程思想在方程問題中的應(yīng)用例2如果方程cos2xsin xa0在(0，上有解，求a的取值范圍解方法一設(shè)f(x)cos2xsin x(x(0，)顯然當(dāng)且僅當(dāng)a屬于f(x)的值域時，af(x)有解f(x)(1sin2x)sin x(sin x)2，且由x(0，知sin x(0,1易求得f(x)的值域為(1,1故a的取值范圍是(1,1方法二令tsin x，由x(0，可得t(0,1將方程變?yōu)閠2t1a0.依題意，該方程在(0,1上有解設(shè)f(t)t2t1a.其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t，如圖所示因此f(t)0在(0,1上有解等價于，即，1a1.故a的取值范圍是(1,1 研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等復(fù)雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決 當(dāng)a為何值時，方程lg(3x)lg(x1)lg(ax)有兩解？一解？無解？解當(dāng)即1x3時，方程化為(x1)(3x)ax，即x25x3a.(*)作出函數(shù)yx25x3 (1x3)的圖象(如圖)，該圖象與直線ya的交點橫坐標(biāo)是方程(*)的解，也是原方程的解由圖形易看出：當(dāng)3a時，原方程有兩解；當(dāng)1或a1時，原方程無解類型三函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例3設(shè)f(x)ln x1，證明：(1)當(dāng)x1時，f(x)(x1)；(2)當(dāng)1x3時，f(x)1時，g(x)0.又g(1)0，所以有g(shù)(x)0，即f(x)1時，2x1，故.令k(x)ln xx1，則k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1時，f(x)(x1)(2)方法一記h(x)f(x)，由(1)得h(x).令g(x)(x5)3216x，則當(dāng)1x3時，g(x)3(x5)22160，因此g(x)在(1,3)內(nèi)是減函數(shù)又由g(1)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)內(nèi)是減函數(shù)又h(1)0，所以h(x)0.于是當(dāng)1x3時，f(x).方法二記h(x)(x5)f(x)9(x1)，則當(dāng)1x3時，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此h(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減又h(1)0，所以h(x)0，即f(x)0即x(0,1時，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4；當(dāng)xb0)，設(shè)f(c,0)，直線l：xyc0，由坐標(biāo)原點o到l的距離為，得，解得c1.又e，故a，b1，所求橢圓方程為y21.(2)假設(shè)存在點m(m,0)(0m1)滿足條件，使得以mp，mq為鄰邊的平行四邊形是菱形因為直線與x軸不垂直，所以設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，由可得(12k2)x24k2x2k220.顯然0恒成立，x1x2，x1x2.設(shè)線段pq的中點為n(x0，y0)，則x0，y0k(x01).以mp、mq為鄰邊的平行四邊形是菱形，mnpq，kmnkpq1.即k1，m，k20，0mb0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy0相切，過點p(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓c相交于a、b兩點(1)求橢圓c的方程；(2)求的取值范圍；(3)若b點關(guān)于x軸的對稱點是e，證明：直線ae與x軸相交于定點(1)解由題意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故橢圓c的方程為1.(2)解由題意知直線ab的斜率存在，設(shè)直線ab的方程為yk(x4)，由得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)0得k2.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k225，0k2，的取值范圍是.(3)證明b、e兩點關(guān)于x軸對稱，e(x2，y2)，直線ae的方程為yy1(xx1)，令y0得xx1，又y1k(x14)，y2k(x24)，x，將代入上式得x1，直線ae與x軸交于定點(1,0)1 在高中數(shù)學(xué)的各個部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個方程，如等差數(shù)列的通項公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當(dāng)題目與這些問題有關(guān)時，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2 當(dāng)問題中涉及一些變化的量時，就需要建立這些變化的量之間的關(guān)系，通過變量之間的關(guān)系探究問題的答案，這就需要使用函數(shù)思想3 借助有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，一是用來解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題，二是在問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)來求解4 許多數(shù)學(xué)問題中，一般都含有常量、變量或參數(shù)，這些參變量中必有一個處于突出的主導(dǎo)地位，把這個參變量稱為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實質(zhì)就是分離參變量1 若2x5y2y5x，則有()axy0 bxy0cxy0 dxy0答案b解析把不等式變形為2x5x2y5y，構(gòu)造函數(shù)y2x5x，其為r上的增函數(shù)，所以有xy.2 設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點m、n，則當(dāng)|mn|達(dá)到最小時t的值為()a1 b. c. d.答案d解析可知|mn|f(x)g(x)x2ln x.令f(x)x2ln x，f(x)2x，所以當(dāng)0x時，f(x)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xt時，f(x)有最小值，即|mn|達(dá)到最小3 長度都為2的向量，的夾角為60，點c在以o為圓心的圓弧(劣弧)上，mn，則mn的最大值是_答案解析建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向量(2,0)，向量(1，)設(shè)向量(2cos ，2sin )，0.由mn，得(2cos ，2sin )(2mn，n)，即2cos 2mn,2sin n，解得mcos sin ，nsin .故mncos sin sin.4 已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.若對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立實數(shù)a的取值范圍為_答案a4解析由題意，得當(dāng)x(0，)時，有2xln xx2ax3，則a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x0)，則h(x)，當(dāng)x(0,1)時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4.因為對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.5 已知橢圓g：1(a1)，m：(x1)2y21，p為橢圓g上一點，過p作m的兩條切線pe、pf，e、f分別為切點(1)求t|的取值范圍；(2)把表示成t的函數(shù)f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值解(1)設(shè)p(x0，y0)，則1(a1)，y(a21)，t2|2(x01)2y(x01)2(a21)2，t.ax0a，a1ta1(a1)(2)|cosepf|2(2cos2epm1