勾股定理及其應(yīng)用.doc

第五次課 勾股定理及其應(yīng)用E本章知識(shí)要點(diǎn) A. 勾股定理及其逆定理。 B. 驗(yàn)證、證明勾股定理及其依據(jù)（面積法）。 C. 勾股數(shù)組、基本勾股數(shù)組及勾股數(shù)的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。 E. 感受“方程”思想、“數(shù)形結(jié)合”思想、“化歸與轉(zhuǎn)化”思想等數(shù)學(xué)思想。內(nèi)容/概念表示方法/舉例 勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如果用，表示直角三角形的兩直角邊，表示斜邊，那么 勾股定理的 逆定理如果一個(gè)三角形的三邊滿足：兩短邊的平方和等于最長邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形用（為最長邊）表示三角形的三邊，如果，那么這個(gè)三角形是直角三角形 勾股數(shù)滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等 基本勾股數(shù)組滿足且互質(zhì)的三個(gè)正整數(shù)，稱為一組基本勾股數(shù)組常見的基本勾股數(shù)組有：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等E重點(diǎn)知識(shí) 勾股定理的驗(yàn)證 驗(yàn)證方法 驗(yàn) 證 過 程（美）伽菲爾德總統(tǒng)拼圖如右圖，直角梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，所以，即 趙爽弦圖如右圖，用四個(gè)全等的直角三角形可得到一個(gè)以為邊長的小正方形和一個(gè)邊長為的大正方形，因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L為，所以面積為，又因?yàn)榇笳叫伪环指畛闪怂膫€(gè)全等的直角邊長分別為的直角三角形和一個(gè)邊長為的正方形，所以其面積為所以，從而.劉徽：青朱出入圖如右圖，通過拼圖，以為邊長的正方形面積等于分別以為邊長的兩個(gè)正方形的面積之和 名師提示用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路：圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，那么面積就不會(huì)改變；根據(jù)同一種圖形面積的不同表示方法（簡稱面積法）列出等式，推導(dǎo)勾股定理E重點(diǎn)知識(shí) 確定幾何體上的最短路線 描述 示意圖幾何體的側(cè)面展開圖長方體將長方體相鄰側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形 名師提示(1) 對(duì)于長方體相鄰兩個(gè)面的展開圖，一定要注意打開的是哪一個(gè)側(cè)面，比較三種打開方式的路徑長度，得到最短路徑.(2) 勾股定理是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，它把三角形有一個(gè)直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范(3) 直角三角形的判別條件可以應(yīng)用到實(shí)際生活中，也就是把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。例1 兩個(gè)全等的長方形如圖1-1-1放置，可驗(yàn)證勾股定理.連接AC,，設(shè)AB=，BC=，AC=，請(qǐng)利用四邊形的面積驗(yàn)證勾股定理. 例2 (1)在下列數(shù)組3，4，5；4，5，6；5，12，13；6，8，10；7，40，41；8，15，17；10，24，26 中，勾股數(shù)組有：_；基本勾股數(shù)組有_。(2) 已知中，的對(duì)應(yīng)邊分別是，且，則 (3) 已知一直角三角形中有兩邊長分別為3和4，第三邊的平方為 例3已知，如圖1-1-2，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四邊形ABCD的面積圖1-1-4例4 如圖1-1-4，已知在ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC邊上的高AD的長.例5 （1）已知RtABC的兩直角邊AC=5，BC=12，D是BC上一點(diǎn)當(dāng)AD是A的平分線時(shí)，求CD的長？ （2）如圖1-1-5，一張長為8cm,寬為4cm的矩形紙片ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)A上，求AE的長。（3）如圖1-1-6,將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處,已知AB=3,BC=4,求圖中陰影部分的面積.例6.（1）如圖1-2-9（1），有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請(qǐng)問它飛行的最短路程是多少米？（先畫出示意圖，然后再求解） （2）如圖1-1-9（2），臺(tái)風(fēng)過后，一希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8處，已知旗桿原長16 ，你能求出旗桿在離底部多少米的位置斷裂嗎？例7 如圖1-2-6，A、B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流CD同側(cè)，到河的距離分別為AC10千米，BD30千米，且CD30千米，現(xiàn)在要在河岸上修建一個(gè)自來水廠，分別向A、B兩鎮(zhèn)供水.鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元，請(qǐng)你在河岸上選擇自來水廠的位置，使鋪設(shè)水管的總費(fèi)用最低，并求出最低總費(fèi)用.例8 如圖1-2-7，一架長2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4，求梯子底端將向左滑動(dòng)多少米？家庭作業(yè)1.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.三個(gè)角度之比為123的三角形是直角三角形；B.三條邊長之比為345的三角形是直角三角形；C.三條邊長比為81617的三角形是直角三角形；D.三個(gè)角度之比為112的三角形是直角三角形。2.在中，斜邊AB=1，則式子的值為（ ） A、2； B、4； C、6； D、83.直角三角形的兩直角邊分別為5、12，則它斜邊上的高為（ ） A 13 B 8.5 C D 4.圖1-1-1中兩個(gè)正方形陰影部分面積分別為A=16,B=25,則直角三角形的面積為（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 3 5.ABC中，AB25，BC20，CA15，CM和CH分別是中線和高。那么SABC ，CH ，MH 6.已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為_7.ABC中，AB=AC=17，BC=16，ADBC于D，則AD= .8.如圖1-1-2，D為ABC的邊BC上的一點(diǎn)，已知AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，則BC的長為 9.如圖1-1-5，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？ 10.如圖1-1-6，一架梯子的長度為25米，如圖斜靠在墻上，梯子頂端