2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題42 點、線、面的位置關(guān)系.docVIP

專題42 點、線、面的位置關(guān)系【熱點聚焦與擴展】平面的基本性質(zhì)、點、直線、平面之間的位置關(guān)系是高考試題主要考查知識點，題型多為選擇題或填空題，關(guān)于平行關(guān)系、垂直關(guān)系的證明，多是解答題的一問平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基礎，而兩條異面直線所成的角、線面角、二面角和距離是高考熱點，因此，要加強基本判定定理、性質(zhì)定理的理解與記憶.本專題通過例題說明點、直線、平面之間的位置關(guān)系問題求解方法,為解答更為復雜的問題提供堅實基礎.（一）直線與直線位置關(guān)系：1、線線平行的判定（1）平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行（2）線面平行性質(zhì)：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該直線平行（3）面面平行性質(zhì)：2、線線垂直的判定 （1）兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直直線與平面位置關(guān)系：（2）線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面上的所有直線均垂直（二）直線與平面的位置關(guān)系1、線面平行判定定理：（1）若平面外的一條直線與平面上的一條直線平行，則（2）若兩個平面平行，則一個平面上的任一直線與另一平面平行2、線面垂直的判定：（1）若直線與平面上的兩條相交直線垂直，則（2）兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直（3）如果兩個平面垂直，則一個平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直（三）平面與平面的位置關(guān)系1、平面與平面平行的判定：（1）如果一個平面上的兩條相交直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行（2）平行于同一個平面的兩個平面平行2、平面與平面垂直的判定如果一條直線與一個平面垂直，則過這條直線的所有平面均與這個平面垂直（四）利用空間向量判斷線面位置關(guān)系1、刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量 平面：法向量2、向量關(guān)系與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：設直線對應的法向量為，平面對應的法向量為（其中在外）（1）（2）（3）（4）（5）（6）3、有關(guān)向量關(guān)系的結(jié)論（1）若，則 平行+平行平行（2）若，則 平行+垂直垂直（3）若，則的位置關(guān)系不定.4、如何用向量判斷位置關(guān)系命題真假（1）條件中的線面關(guān)系翻譯成向量關(guān)系（2）確定由條件能否得到結(jié)論（3）將結(jié)論翻譯成線面關(guān)系，即可判斷命題的真假【經(jīng)典例題】例1.【2017課標1，文6】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是（ ） A B C D【答案】A【解析】例2.【2018屆浙江省嘉興市第一中學高三9月測試】設是兩條不同的直線，時一個平面，則下列說法正確的是（ ）A. 若則 B. 若則C. 若則 D. 若則【答案】C【解析】對于A，若還可以相交或異面，故A是錯誤的；對于B. 若，可以是平行的，故B是錯誤的；對于C. 若則，顯然C是正確的；對于D. 若則，顯然D是錯誤的.故選：C.例3.【2018屆河北省邢臺市高三上第二次月考】已知直線平面，直線平面，則下列命題正確的是（ ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】對于A，若，直線平面，直線平面，則與可能平行、相交、異面，故不正確；對于B，若，直線平面，直線平面，則與可能平行也可能相交，故B不正確；對于C, 若, 與的位置不確定，故C不正確；對于D，若 ，直線平面，則直線平面，又因直線平面，則正確；故選D.例4.【2018屆云南省昆明市5月檢測】在正方體中，分別是的中點，則（ ）A. B. C. 平面 D. 平面【答案】D平行的一條直線，證其垂直于平面.故分別取的中點P、Q，連接PM、QN、PQ.可得四邊形為平行四邊形.進而可得.正方體中易得，由直線與平面垂直的判定定理可得平面.進而可得平面.詳解：對于選項A，因為分別是的中點，所以點平面，點 平面，所以直線MN是平面的交線，又因為直線在平面內(nèi)，故直線MN與直線不可能平行，故選項A錯； 對于選項B，正方體中易知 ，因為點是的中點，所以直線 與直線不垂直.故選項B不對；對于選項C ,假設平面，可得.因為是的中點，所以 .這與矛盾.故假設不成立.所以選項C不對；對于選項D,分別取的中點P、Q，連接PM、QN、PQ.因為點是的中點，所以且.同理且.故選D.點睛：在立體圖形中判斷直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，應熟練掌握直線與直線平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理，直線與平面平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理.注意直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直之間的互相推導.要判斷選項錯誤，可用反證法得到矛盾.例5.【2017課標3，文10】在正方體中，E為棱CD的中點，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)三垂線逆定理，平面內(nèi)的線垂直平面的斜線，那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影，A.若，那么，很顯然不成立；B.若，那么，顯然不成立；C.若，那么，成立，反過來時，也能推出,所以C成立，D.若，則，顯然不成立，故選C.例6.【2018屆安徽省六安市毛坦廠中學四月月考】已知是兩個不同的平面，是一條直線，給出下列說法：若，則；若，則；若，則；若，則.其中說法正確的個數(shù)為（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】分析：若，則，或或與相交且與不垂直.故選C.例7【2018屆福建省三明市5月測試】如圖，已知正方體的棱長為2，則以下四個命題中錯誤的是A. 直線與為異面直線 B. 平面C. D. 三棱錐的體積為【答案】D【解析】分析：在A中，由異面直線判定定理得直線A1C1與AD1為異面直線；在B中，由A1C1AC，得A1C1平面ACD1；在C中，由ACBD，ACDD1，得AC面BDD1，從而BD1AC；在D中，三棱錐D1ADC的體積為在D中，三棱錐D1ADC的體積：=，故D錯誤故選：D例8. 【2018屆廣西欽州市第三次檢測】如圖，在四棱柱中，平面，為棱上一動點，過直線的平面分別與棱，交于點，則下列結(jié)論正確的是_對于任意的點，都有對于任意的點，四邊形不可能為平行四邊形存在點，使得為等腰直角三角形存在點，使得直線平面【答案】【解析】分析：根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷A，B，使用假設法判斷C，D詳解：（1）ABCD，AA1DD1，平面ABB1A1平面CDD1C1，平面APQR平面ABB1A1=AP，平面APQR平面CDD1C1=RQ，APQR，故A正確例9.【2017山東，文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1- B1CD1后得到的幾何體如圖所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD 的交點,E為AD的中點,A1E平面ABCD,（）證明：平面B1CD1;（）設M是OD的中點,證明：平面A1EM平面B1CD1. 【答案】證明見解析.證明見解析.【解析】試題分析：（）取中點,證明,（）證明面. (II)因為 ,，分別為和的中點,所以, 因為為正方形,所以,又 平面,平面所以因為所以又平面，.所以平面又平面,所以平面平面.點睛：證明線面平行時,先直觀判斷平面內(nèi)是否存在一條直線和已知直線平行,若找不到這樣的直線,可以考慮通過面面平行來推導線面平行,應用線面平行性質(zhì)的關(guān)鍵是如何確定交線的位置,有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線在應用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)化時,一定要注意定理成立的條件,嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時,必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行例10.【2017北京，文18】如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點（）求證：PABD；（）求證：平面BDE平面PAC；（）當PA平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積【答案】詳見解析【解析】 由（I）知，平面，所以平面.所以三棱錐的體積.點睛：線線，線面的位置關(guān)系以及證明是高考的重點內(nèi)容，而其中證明線面垂直又是重點和熱點，要證明線面垂直，根據(jù)判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而其中證明線線垂直又得轉(zhuǎn)化為證明線面垂直線線垂直，或是根據(jù)面面垂直，平面內(nèi)的線垂直于交線，則垂直于另一個平面,這兩種途徑都可以證明線面垂直.【精選精練】1.如圖，是正方體的棱上的一點（不與端點重合），平面，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】2【2018屆河南省南陽市第一中學第十五次考】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的個數(shù)（ ）若則； 若，則；若，則； 若，則.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，即可判定命題的真假.詳解：對于中，若，則或，所以不正確；對于中，若，則，又由，所以是正確；對于中，若，則或與相交，所以不正確；對于中，若，則，又由，所以是正確的，綜上正確命題的個數(shù)為2個，故選B.3.【2018屆東北三省三校（哈爾濱師范大學附屬中學）三模】已知互不相同的直線，和平面，則下列命題正確的是（ ）A. 若與為異面直線，則；B. 若，則；C. 若，則；D. 若，則【答案】C4【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學三模】已知互不相同的直線和平面,則下列命題正確的是( ）A. 若與為異面直線,則 B. 若.則C. 若, 則 D. 若.則【答案】C.【解析】分析：對于，可利用面面平行的判定定理進行判斷；對于，可利用線面平行的判定定理進行判斷；對于，可利用面面垂直的性質(zhì)進行判斷. 詳解：若與為異面直線，則與平行或相交，錯，排除；若，則與平行或異面，錯，排除；若，則或相交，錯，排除，故選C.5.【2018屆廣東省湛江市二模】下列命題正確的是：三點確定一個平面；兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面；如果兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面；如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面.A. B. C. D. 【答案】C如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面，該說法正確.綜上可得：命題正確的是： .本題選擇C選項.6.【2018屆河北省武邑中學一?！恳阎矫?，直線，且有，給出下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則，其中正確命題個數(shù)有（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：利用線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理進行判斷即可.詳解：有l(wèi)，m，給出下列命題：若，l，又m，則lm，正確；若lm，m，則，正確；若，則lm或異面直線，不正確；若lm，則或相交，因此不正確其中，正確命題個數(shù)為2故選：B7.【2016高考新課標2理數(shù)】 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有 (填寫所有正確命題的編號）【答案】【解析】8.如圖，在正方體中，過對角線的一個平面交于點，交于.四邊形一定是平行四邊形；四邊形有可能是正方形；四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形；四邊形有可能垂直于平面以上結(jié)論正確的為_（寫出所有正確結(jié)論的編號）【答案】【解析】分析：由題意結(jié)合幾何關(guān)系逐一考查所給命題的真假即可求得最終結(jié)果.詳解：如圖所示：由于平面BCB1C1平面ADA1D1，并且B、E、F、D1，四點共面，故ED1BF，同理可證，F(xiàn)D1EB，故四邊形BFD1E一定是平行四邊形，故正確；9【2018屆江蘇省南京市三模】已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，有如下四個命題：若，則； 若，則； 若，則； 若，則其中真命題為_（填所有真命題的序號）【答案】【解析】分析：，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義判斷命題正確；，根據(jù)線面、面面垂直的定義與性質(zhì)判斷命題錯誤；，根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義判斷命題正確；，根據(jù)線面、面面平行與垂直的性質(zhì)判斷命題錯誤詳解：對于，當l，l時，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義知，正確；對于，l，時，有l(wèi)或l，錯誤；對于，l，l時，根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義知，正確；對于，l，時，有l(wèi)或l或l或l與相交，錯誤綜上，以上真命題為故答案為：10.【2017江蘇，15】 如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD.求證：（1）EF平面ABC； （2）ADAC.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為ABAD，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF平面ABC. 11. 如圖，已知菱形的邊長為，將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）由題意知，為的中點， 為的中點， 又 平面，平面， 平面（2）由題意結(jié)合勾股定理可得由菱形的性質(zhì)可得；結(jié)合線面垂直的判斷定理可得平面，則平面平面詳解：（1）由題意知，為的中點， 為的中點， 又 平面，平面， 平面（2）由題意知， ，點睛：(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面