高中數(shù)學(xué)《絕對(duì)值三角不等式》新人教A版選修.ppt

二 絕對(duì)值不等式 1.絕對(duì)值三角不等式,【自主預(yù)習(xí)】 1.絕對(duì)值的幾何意義,原點(diǎn),距離,長(zhǎng)度,a,2.絕對(duì)值三角不等式 (1)定理1:如果a,bR,則|a+b|_,當(dāng)且僅 當(dāng)_時(shí),等號(hào)成立. (2)定理1的推廣:如果a,b是實(shí)數(shù),則|a|-|b| |ab|a|+|b|.,|a|+|b|,ab0,(3)定理2:如果a,b,cR,那么|a-c|a-b|+|b-c|, 當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí),等號(hào)成立.,(a-b)(b-c)0,【即時(shí)小測(cè)】 1.已知a,bR,則使不等式|a+b|0 B.a+b0 D.ab0 【解析】選D.根據(jù)絕對(duì)值的意義,可知只有當(dāng)ab0時(shí), 不等式|a+b|a|+|b|成立.,2.對(duì)任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值 為 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選C.對(duì)任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| =|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|x-1-x|+|1-y+y+1|=3, 當(dāng)且僅當(dāng)x0,1,y-1,1時(shí),等號(hào)成立.,3.不等式|x+1|+|x-1|a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi). 【解析】因?yàn)閨x+1|+|x-1|(x+1)-(x-1)|=2, 當(dāng)且僅當(dāng)-1x1時(shí)等號(hào)成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|a恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a2. 答案:a2,【知識(shí)探究】 探究點(diǎn) 絕對(duì)值三角不等式 1.用向量a,b分別替換a,b,當(dāng)a與b不共線時(shí),有|a+b|a|+|b|,其幾何意義是什么? 提示:其幾何意義是:三角形的兩邊之和大于第三邊.,2.不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中“=”成立的條件分別是什么? 提示:右側(cè)“=”成立的條件是ab0,左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|.,【歸納總結(jié)】 1.對(duì)定理1的兩點(diǎn)說(shuō)明 (1)由于定理1與三角形邊之間的聯(lián)系,故稱此不等式為絕對(duì)值三角不等式. (2)定理1可推廣到n個(gè)實(shí)數(shù)情況即: |a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.,2.定理2的幾何解釋 在數(shù)軸上,a,b,c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C, 當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A,C之間時(shí),|a-c|=|a-b|+|b-c|. 當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A,C之間時(shí), (1)點(diǎn)B在A或C上時(shí),|a-c|=|a-b|+|b-c|. (2)點(diǎn)B不在A,C上時(shí),|a-c|a-b|+|b-c|.,類型一 利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式 【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x,實(shí)數(shù)|x-a|1.求證:|f(x)-f(a)|2|a|+3. 【解題探究】典例中對(duì)于|f(x)-f(a)|如何構(gòu)造,使其滿足絕對(duì)值不等式的形式? 提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a|x+a-2|.,【證明】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2x,實(shí)數(shù)|x-a|1, 所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a|x+a-2| |x+a-2|=|(x-a)+2a-2|x-a|+|2a-2|1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|2|a|+3.,【方法技巧】?jī)深惡^對(duì)值不等式的證明技巧 一類是比較簡(jiǎn)單的不等式,往往可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明,或利用|a|-|b|ab|a|+|b|,通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明.,另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式,往往可考慮利用一般情況成立,則特殊情況也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明.,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)m是|a|,|b|和1中最大的一個(gè),當(dāng) |x|m時(shí),求證: 2. 【解題指南】利用m|a|,m|b|,m1求解.,【證明】因?yàn)閨x|m|b|且|x|m1, 所以|x2|b|. 又因?yàn)閨x|m|a|, 所以 故原不等式成立.,2.若f(x)=x2-x+c(c為常數(shù)),|x-a|1,求證:|f(x)-f(a)|2(|a|+1). 【解題指南】將|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再利用|x-a|1證明.,【證明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)| =|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a|x+a-1|x+a-1| =|(x-a)+(2a-1)|x-a|+|2a-1| |x-a|+|2a|+11+2|a|+1=2(|a|+1).,類型二 利用絕對(duì)值三角不等式求最值或取值范圍 【典例】求函數(shù)y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. 【解題探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪個(gè)絕對(duì)值不等式? 提示:根據(jù)|a|-|b|a-b|求最值.,【解析】因?yàn)閨x-3|-|x+1|(x-3)-(x+1)|=4, 所以-4|x-3|-|x+1|4. 所以ymax=4,ymin=-4.,【延伸探究】 1.典例中函數(shù)y取到最大值時(shí),需滿足什么條件? 【解析】函數(shù)y取到最大值,需要滿足 解得x-1.,2.若將典例條件改為|x-3|+|x+1|a的解集不是R,求a的取值范圍. 【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值, 則|x-3|+|x+1|a的解集不是R, 而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|3-x+x+1|=4,當(dāng)且僅當(dāng)(3-x)(x+1)0,即-1x3時(shí)取最小值4, 所以a的取值范圍是4,+).,【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-|x+b|的最值的三種方法 (1)轉(zhuǎn)化法:轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.,(2)利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行“放縮”求解,但要注意兩數(shù)的“差”還是“和”的絕對(duì)值為定值. (3)利用絕對(duì)值的幾何意義.,【變式訓(xùn)練】已知xR,求函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|的最大值. 【解析】根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式,有|x+1|-|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3.當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|3,所以最大值為3.,類型三 絕對(duì)值三角不等式的綜合應(yīng)用 【典例】(2014全國(guó)卷)設(shè)函數(shù) f(x)= +|x-a| (a0). (1)證明:f(x)2. (2)若f(3)5,求a的取值范圍.,【解題探究】1.典例(1)中可利用什么來(lái)證明f(x)2? 提示:利用絕對(duì)值不等式去掉x,再利用平均不等式證明. 2.典例(2)中含絕對(duì)值的不等式如何轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值? 提示:可通過(guò)對(duì)a討論,去掉絕對(duì)值,解不等式.,【解析】(1)由a0,有f(x)= 所以f(x)2. (2)f(3)= +|3-a|.當(dāng)a3時(shí),f(3)=a+ , 由f(3)5,得3a,當(dāng)0a3時(shí),f(3)=6-a+ , 由f(3)5,得 a3. 綜上,a的取值范圍是,【方法技巧】絕對(duì)值不等式綜合應(yīng)用的解題策略 含絕對(duì)值的綜合問(wèn)題,綜合性強(qiáng),所用到的知識(shí)多,在解題時(shí),要注意應(yīng)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、推論及已知條件,還要注意配方等等價(jià)變形,同時(shí)在應(yīng)用絕對(duì)值不等式放縮性質(zhì)求最值時(shí),還要注意等號(hào)成立的條件.,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)|x|1時(shí),恒有|f(x)|1,求證:|f(2)|7. 【證明】因?yàn)閨x|1時(shí),有|f(x)|1, 所以|f(0)|=|c|1,|f(1)|1,|f(-1)|1, 又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,所以|f(2)|=|4a+2b+c| =|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| 3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)| 3+1+3=7.所以|f(2)|7.,2.已知函數(shù)f(x)=lg (1)判斷f(x)在-1,1上的單調(diào)性,并給出證明. (2)若tR,求證:,【解析】(1)f(x)在-1,1上是減函數(shù). 證明:令 取-1x1x21, 則u1-u2=,因?yàn)閨x1|1,|x2|1,x10,即u1u2. 又在-1,1上u0,故lgu1lgu2, 得f(x1)f(x2),所以f(x)在-1,1上是減函數(shù).,(2)因?yàn)?所以,由