高二數(shù)學(xué)矩陣與變換.ppt

通過(guò)幾何變換討論二階矩陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量，并以變換和映射的觀點(diǎn)理解解線(xiàn)性方程組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性。,主要內(nèi)容,2.1 二階矩陣與平面向量 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換 2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法 2.4 逆矩陣與逆變換 2.5 特征值與特征向量 2.6 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用,具體內(nèi)容, 定位 低起點(diǎn)以初中數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)； 低維度以二階矩陣為研究對(duì)象； 形數(shù)以(幾何圖形)變換研究二階矩陣。, 意圖 在基本思想上對(duì)矩陣、變換等有一個(gè)初步了解，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作打下基礎(chǔ)。,本專(zhuān)題的定位和意圖, 主要數(shù)學(xué)思想 （1）數(shù)學(xué)化思想； （2）數(shù)學(xué)建模； （3）數(shù)形結(jié)合的思想；（4）算法思想。, 重點(diǎn) 通過(guò)幾何圖形變換，學(xué)習(xí)二階矩陣的基本概念、性質(zhì)和思想。, 難點(diǎn) 切變變換，逆變換(矩陣)，特征值與特征向量。,本專(zhuān)題重點(diǎn)、難點(diǎn)及主要數(shù)學(xué)思想,2.1 二階矩陣與平面向量 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換 2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法 2.4 逆矩陣與逆變換 2.5 特征值與特征向量 2.6 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用,具體內(nèi)容解析,2.1 二階矩陣與平面向量,2.在本章中點(diǎn)和向量不加區(qū)分.如:,1.本專(zhuān)題研究的矩陣是二階矩陣,對(duì)高階矩陣只是要求學(xué)生初步了解.二階矩陣如:,兩行兩列,2.1 二階矩陣與平面向量,3.矩陣的概念從表、網(wǎng)絡(luò)圖、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)（向 量）、生活實(shí)例等引出. 即在大量舉例的基礎(chǔ)上引出矩 陣的概念和表示方法.如:,某公司負(fù)責(zé)從兩個(gè)礦區(qū)向三個(gè)城市送煤： 從甲礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是200萬(wàn)噸、240萬(wàn)噸、160萬(wàn)噸； 從乙礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是400萬(wàn)噸、360萬(wàn)噸、820萬(wàn)噸。,城市A 城市B 城市C 甲礦區(qū) 乙礦區(qū),2.1 二階矩陣與平面向量,4.矩陣通常用大寫(xiě)黑體字母表示.如;矩陣A, 行矩陣和列 矩陣通常用希臘字母、等表示.,5.兩個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相等,并且對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等時(shí)兩矩陣相等.,6.二階矩陣與列向量的乘法法則為:,2.1 二階矩陣與平面向量,7.強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義理解.使他們認(rèn)識(shí)并理解矩陣是向量集合到向量集合的映射,為后面學(xué)習(xí)幾種常見(jiàn)的幾何變換打下基礎(chǔ).,表示的幾何變換為:縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.,8.二元一次方程組 可以表示為,系數(shù)矩陣,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,1.恒等變換矩陣(單位矩陣)為E:,2.恒等變換是指對(duì)平面上任何一點(diǎn)(向量)或圖形施以 矩陣 對(duì)應(yīng)的變換,都把自己變?yōu)樽约?,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,3.伸壓變換矩陣是指將圖形作沿x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮,或沿y軸方向伸長(zhǎng)或壓縮的變換矩陣.,伸壓變換不是簡(jiǎn)單地把平面上的點(diǎn)(向量) “向下”壓,而是向x軸或y軸方向壓縮.,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,4.反射變換矩陣是指將平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線(xiàn)或定點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的平面圖形的變換矩陣.,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,5.一般地,二階非零矩陣對(duì)應(yīng)的變換把直線(xiàn)變成直線(xiàn).,這種把直線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)的變換叫做線(xiàn)性變換.,或點(diǎn),2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,6.旋轉(zhuǎn)變換矩陣是指將平面圖形圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的變換矩陣.其中稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角,點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心.,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,7.投影變換矩陣是指將平面圖形投影到某條直線(xiàn)(或某個(gè)點(diǎn))上的矩陣,相應(yīng)的變換為投影變換.,7.投影變換矩陣是映射,但不是一一映射.,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,8.切變變換矩陣是指類(lèi)似于對(duì)紙牌實(shí)施的變換矩陣.,2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換,9.切變變換矩陣 把平面上的點(diǎn)P(x,y)沿x軸方 向平移 個(gè)單位.,10.研究平面上的多邊形或直線(xiàn)在矩陣的變換作用后形成的圖形時(shí),只需考察頂(端)點(diǎn)的變化結(jié)果即可.,旋轉(zhuǎn)矩陣,2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法,1.矩陣乘法的法則是:,2.矩陣乘法MN的幾何意義為對(duì)向量連續(xù)實(shí)施的兩次幾何變換(先TN,后TM)的復(fù)合變換.,3.矩陣乘法不滿(mǎn)足交換率,這可能是學(xué)生第一次遇到乘法不滿(mǎn)足交換率的情況.此時(shí),我們可以從幾何變換角度進(jìn)一步明確乘法一般不滿(mǎn)足交換率,在適當(dāng)時(shí)候,有些特殊幾何變換(如兩次連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換)滿(mǎn)足交換率.,2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法,4.要求學(xué)生從幾何變換角度理解AB.,5.要求學(xué)生從幾何變換角度理解矩陣乘法不滿(mǎn)足銷(xiāo)去率.,2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法,6.有關(guān)轉(zhuǎn)移矩陣.,假設(shè)某市的天氣分為晴和陰兩種狀態(tài),若今天晴,則明天晴的概率為 ,陰的概率為 ,若今天陰則明天晴的概率為 ,陰的概率為 ,這些概率可以通過(guò)觀察某市以往幾年每天天氣的變化趨勢(shì)來(lái)確定,通常將用矩陣來(lái)表示的這種概率叫做轉(zhuǎn)移矩陣概率,對(duì)應(yīng)的矩陣為轉(zhuǎn)移矩陣,而將這種以當(dāng)前狀態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)下一時(shí)段不同狀態(tài)的概率模型叫做馬爾可夫鏈,如果清晨天氣預(yù)報(bào)報(bào)告今天陰的概率為 ,那么明天的天氣預(yù)報(bào)會(huì)是什么?后天呢?,2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法,2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法,2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法,7. 轉(zhuǎn)移矩陣每列的元素的和應(yīng)該為1,否則做乘法時(shí),容易出問(wèn)題.,2.4 逆變換與逆矩陣,2課文從“走過(guò)去”、“走回來(lái)”的生動(dòng)形象的話(huà)語(yǔ)中 引入了逆矩陣和逆變換這樣安排讓學(xué)生在輕松氛圍中掌 握“找到回家的路”的本質(zhì)是已知矩陣A，能否找到一個(gè) 矩陣B，使得連續(xù)進(jìn)行的兩次變換的結(jié)果與恒等變換的結(jié) 果相同也便于學(xué)生更好的理解逆矩陣，從而為例1的順 利解決打下基礎(chǔ),3例1的設(shè)計(jì)起著承上啟下的作用，所舉的幾個(gè)例子也是 學(xué)生熟知的，學(xué)生可以從幾何變換的角度借助直觀找到答 案所以，例1的目的在于幫助學(xué)生從幾何的角度理解逆 矩陣的意義，并為后續(xù)學(xué)習(xí)積累豐富的感性認(rèn)識(shí),1.對(duì)于二階矩陣A,B,若有AB=BA=E,則稱(chēng)A是可逆的,B稱(chēng)為 A的逆矩陣.,2.4 逆變換與逆矩陣,4既然有些矩陣存在逆矩陣，那么，什么樣的矩陣存在 逆矩陣呢？課本從映射角度給出解釋?zhuān)尦橄蟮膯?wèn)題更 貼近學(xué)生實(shí)際,5矩陣 的行列式為 ,則如果 則矩陣 存在逆矩陣.,2.4 逆變換與逆矩陣,7.逆矩陣的求解,2.4 逆變換與逆矩陣,9.“先穿襪子后穿鞋”“先脫鞋子后脫襪子”解決了學(xué)生可能 會(huì)出現(xiàn)的認(rèn)知障礙學(xué)生可以借助于此更好地理解公式 （AB）-1=B-1A-1,10新教材的螺旋上升體系隨處可見(jiàn)，課本在本節(jié)中就通 過(guò)證明命題“已知A，B，C為二階矩陣，且AB=AC，若矩 陣A存在逆矩陣，則B=C”而既做到前后章節(jié)間的呼應(yīng)， 又要求學(xué)生會(huì)用逆矩陣的知識(shí)解釋二階矩陣的乘法何時(shí)滿(mǎn) 足消去率,11.逆矩陣與二元一次方程組密切相關(guān)，用逆矩陣的知識(shí) 理解二元一次方程組的求解過(guò)程是為了讓學(xué)生更好的認(rèn)識(shí) 兩者，理解它們間的相互為用、相輔相成.,2.4 逆變換與逆矩陣,12.,2.4 逆變換與逆矩陣,14.,2.4 逆變換與逆矩陣,15.用二階矩陣和行列式研究二元一次方程組的解的情況并不比消元法優(yōu)越多少.但是,當(dāng)方程組中的未知元很多時(shí),矩陣就變成了研究它的一個(gè)強(qiáng)有力的工具.,2.5 特征值與特征向量,1.在本節(jié)開(kāi)始部分，課本安排了兩個(gè)學(xué)生熟知的伸壓變換 ，并給出了變換前后的圖形，其目的在于讓學(xué)生借助于感 性理解在矩陣的作用下某些向量的“不變性”，從而為學(xué)生 學(xué)習(xí)特征值和特征向量打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),2.,3.將矩陣的特征值與特征向量概念轉(zhuǎn)換成矩陣與列向量的 乘法表示來(lái)理解，其目的在于引出矩陣的特征多項(xiàng)式課 本沒(méi)有對(duì)特征多項(xiàng)式作展開(kāi)討論，其意圖是僅僅讓學(xué)生將 之作為一個(gè)工具,2.5 特征值與特征向量,4.,5.,2.5 特征值與特征向量,2.5 特征值與特征向量,6.一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)著多個(gè)特征向量.,7.有了特征值和特征向量的知識(shí),我們就可以方便地計(jì)算多次變換的結(jié)果.,2.5 特征值與特征向量,2.5 特征值與特征向量,投影變換,2.6 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用,1.只要求學(xué)生對(duì)高階矩陣有一個(gè)感性認(rèn)識(shí).,2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生了解到矩陣來(lái)源于實(shí)際生活需要.,3.課本介紹了矩陣在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用,也介紹了它在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域、密碼學(xué)領(lǐng)域、生物學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用.,2.6 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用,2.6 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用,2.6 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用,2.1 二階矩陣與平面向量 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換 2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法 2.4 逆矩陣與逆變換 2.5 特征值與特征向量 2.6 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用 學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告,主要內(nèi)容,教學(xué)建議,1.本專(zhuān)題只對(duì)具體的二階方陣加以討論,而不討論一般mn階矩陣以及(aij)形式的矩陣.,教學(xué)建議,2.矩陣的引入要從具體的實(shí)例開(kāi)始,通過(guò)具體的實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,某些幾何變換可以用矩陣表示,豐富學(xué)生對(duì)矩陣幾何意義的理解,并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)矩陣,解線(xiàn)性方程組.不提倡先講矩陣,后講變換.,3.要求從圖形的變換直觀地理解矩陣的乘法,并通過(guò)具體的實(shí)例讓學(xué)生理解矩陣乘法的運(yùn)算率.,4.在新課講解過(guò)程中適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)映射和一一映射.,教學(xué)建議,5.應(yīng)通過(guò)大量實(shí)例,借助立體幾何圖形的三視圖來(lái)研究平面圖形的幾何變換,這樣會(huì)讓學(xué)生感到生動(dòng),單純的平面幾何變換比較抽象.,6.可以將伸壓變換與數(shù)學(xué)4中的三角變換結(jié)合起來(lái),體現(xiàn)知識(shí)的螺旋上升.,7.注意伸壓變換和伸縮變換的異同.,8.在證明二階非零矩陣對(duì)應(yīng)的變換把直線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)(或點(diǎn))時(shí),學(xué)生可能會(huì)感到困難,教師可以先復(fù)習(xí)定比分點(diǎn)的有關(guān)知識(shí).自一部分內(nèi)容不要求掌握,只要求學(xué)生能夠直觀地理解線(xiàn)性變換把直線(xiàn)變成直線(xiàn)(或點(diǎn)).,教學(xué)建議,9.切變變換從幾何上可以這樣理解:保持圖形面積大小不變,而點(diǎn)間距離和線(xiàn)間角可以改變,且點(diǎn)沿坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)的變換.這些不要求學(xué)生掌握,只要求學(xué)生能結(jié)合圖形,用書(shū)上的方式直觀描述.,10.對(duì)于矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合率,可讓學(xué)生自己動(dòng)手驗(yàn)證.,教學(xué)建議,11.行列式知識(shí)只限于二階行列式，它僅僅是作為一個(gè)工 具來(lái)使用，不作為重點(diǎn)，不應(yīng)展開(kāi)討論,12.對(duì)二元一次方程組來(lái)說(shuō)，用求逆矩陣的方法來(lái)解方程 組并不簡(jiǎn)便，這里強(qiáng)調(diào)的是其思想，無(wú)需做大量練習(xí),13.從具體伸壓變換引入“不變性”不可缺少，只有在建立感 性認(rèn)識(shí)后才能對(duì)學(xué)生提出更高要求，不應(yīng)該從定義上形式 地理解特征值和特征向量,教學(xué)建議,14.課本介紹了特征多項(xiàng)式，只是將它作為求解特征值的 一個(gè)工具使用，不需要展開(kāi)討論但是對(duì)如何得到這個(gè)公 式要作出解釋?zhuān)匆驅(qū)W生說(shuō)明為何,有不全為零的解時(shí)要D=0,15.將直觀觀察特征值與特征向量和利用特征多