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7/12/2019 6:25 PM,微積分講義,設計制作,王新心,7/12/2019 6:25 PM,2.5 極限的運算法則,變量極限的四則運算法則,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.8】在某一變化過程中,,則,證,總有那么一個時刻,,刻以后,,也總有那么一個時刻,,第二章 極限與連續(xù),在那個時,恒有,在那個時刻以后,恒有,中較晚的那個時刻以后,,在兩時刻,兩式同時成立,即,若,7/12/2019 6:25 PM,所以,證畢。,推論 兩個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮,第二章 極限與連續(xù),小量。,到有限個,,說明 定理和推論中的“兩個”都可以推廣,但不能推廣到無窮個。,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.9】在某一變化過程中,,則,證 利用變量極限與無窮小量的關(guān)系,其中,其中 均為無窮小量,,第二章 極限與連續(xù),若,小量(為什么?),,則和仍為無窮,7/12/2019 6:25 PM,推論1 兩個無窮小量的乘積仍為無窮,推論3 若 是正整數(shù),則,說明 定理和推論中的“兩個”都可以推廣,第二章 極限與連續(xù),小量。,到有限個,,但不能推廣到無窮個。,7/12/2019 6:25 PM,【定理 2.10】在某一變化過程中,,則,(證明略),說明 在應用極限運算法則時,,第二章 極限與連續(xù),若,個變量的極限必須存在。,要求每一,7/12/2019 6:25 PM,多項式的極限,例1 計算,解,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,例2 計算,解 因為,所以,有理分式的極限,設 ,且 ,則,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,例3 計算,解 因為 ,,利用無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系,先求,則,設 ,且,則,第二章 極限與連續(xù),的運算法則。,不能直接用極限,7/12/2019 6:25 PM,解 由于分子和分母的極限不存在,,將分子和分母同除以未知數(shù)的最高次冪,例4 計算,第二章 極限與連續(xù),直接應用極限的運算法則。,不能,7/12/2019 6:25 PM,例5 計算,解 方法同例4。,例6 計算,解 方法同例4。,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,當 時,有理分式的極限,說明 以后計算極限時可直接應用。,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,例7 計算,解 因為分子和分母的極限都為0,,由極限的定義,,約去極限為0的公因子,第二章 極限與連續(xù),直接應用極限的運算法則。,不能,消去 的因子。,時, ,,分解因式,7/12/2019 6:25 PM,例8 計算,解 因為分子和分母的極限都為,,將分子有理化,將分子或分母有理化,再約去公因子,第二章 極限與連續(xù),直接應用極限的運算法則。,不能,7/12/2019 6:25 PM,例9 計算,解 因為兩個分式的極限都不存在,,先通分,先通分,再約去公因子,第二章 極限與連續(xù),不能直接應用極限的運算法則。,7/12/2019 6:25 PM,例10 已知,計算,解,即,第二章 極限與連續(xù),分段函數(shù)分點處的極限利用充要條件計算,7/12/2019 6:25 PM,內(nèi)容小結(jié),1.極限的運算法則,2.利用運算法則求極限,作業(yè) P91 11-21,-幾種特殊形式函數(shù)的極限,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,備用題,1.若 存在, 不存在,,是否存在,為什么?,解 不存在。,若存在,,由極限的運算法則知,,思考 本題條件改成 和 都不存,在,,第二章 極限與連續(xù),問,存在,矛盾。,結(jié)論又如何?,7/12/2019 6:25 PM,2.計算,解,所以,思考 下列做法是否正確,為什么?,第二章 極限與連續(xù),7/12/2019 6:25 PM,3.若 求 的值。,解 由于分式的極限存在,,即,將其代入已知極限中,得,第二章 極限與連續(xù),為0,,而分母的極限,則分子的極限必為0。,7/12/2019 6:25 PM,4.計算,解 這是無窮個無窮小量的和,,第二章 極限與連續(xù),運算法則。,不能用,7/12/2019 6:25 PM,5.設 ,,(1979),解,第二章 極限與連續(xù),求,7/12/2019 6:25 PM,6.設函數(shù) ,,(1
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