【高考輔導(dǎo)資料】2008年高考試題——數(shù)學(xué)理(福建卷)

2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)數(shù) 學(xué)（理科）本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，第卷第1至第2頁，第卷第2至第4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。參考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑P(AB)=P(A)+P(B) 第一卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）A）1 B）2 C）1或2 D）-1設(shè)集合，那么“”是“”的（ ） A）充分而不必要條件 B）必要而不充分條件C）充要條件 D）既不充分也不必要條件設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前7項的和為（ ）A）63 B）64 C）127 D）128函數(shù)，若，則的值為（ ）A）3 B）0 C）-1 D）-2某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（ ） A） B） C） D）如圖，在長方體中， 則與平面所成角的正弦值為（ ） A） B） C） A）某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ）A）14 B）24 C）28 D）48若實數(shù)，則的取值范圍是（ ） A） B） C） D）函數(shù)的圖象按向量平移后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以為（ ） A） B） C） D）在中，角A、B、C的對邊分別為、，若，則角B的值為（ ） A） B） C）或 D）或雙曲線的兩個焦點為、，若P為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A） B） C） D）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖， 那么的圖象可能是（ ）第二卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。若，則 。（用數(shù)字作答）若直線與圓(為參數(shù))沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是 。若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 。設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意、，都有、（除數(shù)），則稱P是一個數(shù)域。例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域。有下列命題： 整數(shù)集是數(shù)域； 若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域；數(shù)域必為無限集； 存在無窮多個數(shù)域。其中正確的命題的序號是 。（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上） 三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)（本小題滿分12分） 已知向量，且A為銳角。 ()求角A的大??； ()求函數(shù)的值域。(18)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，O為AD中點。 ()求證：平面； ()求異面直線與所成角的大小； ()線段上是否存在點，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。(19)（本小題滿分12分） 已知函數(shù) ()設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，前項和為，其中，若點在函數(shù)的圖象上，求證：點也在的圖象上； ()求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值。(20)（本小題滿分12分） 某項考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試。已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書?，F(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試成績合格的概率均為。假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響。 ()求他不需要補考就可獲得證書的概率；()在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E。(21) （本小題滿分12分） 如圖，橢圓的一個焦點是，O為坐標(biāo)原點。 ()已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程； ()設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點。若直線繞點F任意轉(zhuǎn)動，恒有，求的取值范圍。(22) （本小題滿分14分） 已知函數(shù)。 ()求的單調(diào)區(qū)間； ()記在區(qū)間上的最小值為，令。 ()如果對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；()求證：。 數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運算.每小題5分，滿分60分.（1）B由得,且（2）A由得,可知“”是“”的充分而不必要條件.（3）C由及是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，得公比（4）B注意到為奇函數(shù)，又故即.（5）B由（6）D 連與交與O點,再連BO,則為所成角,下面就是計算了.（7）A只少一名女生可用間接法即。（8）C可看做可行域中的點與原點構(gòu)成直線的低斜率.（9）A,而f(x)=cosx (xR)的圖象按向量(m,0) 平移后得到,所以,故可以為.（10）D由得即,又在中所以B為或.（11）B可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意前者可以取到等號成立,因為可以三點一線. 也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系（12）D 從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在處斜率相同,可以排除B答案,再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小,可明顯看出y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的值在減小,所以原函數(shù)應(yīng)該斜率慢慢變小,排除AC,最后就只有答案D了,可以驗證y=g(x).二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.（13）31令,再令（14）此圓的圓心為(-1.2),因為要沒有公共點,所以根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑即可;或者可以聯(lián)立方程根據(jù)二次函數(shù)的.（15）9依題可以構(gòu)造一個正方體,其體對角線就是外接球的直徑. ,（16）要滿足對四種運算的封閉,只有一個個來檢驗，如對除法如不滿足，所以排除；對當(dāng)M中多一個元素則會出現(xiàn)所以它也不是一個數(shù)域；成立.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數(shù)的最值等基本知識，考查運算能力.滿分12分.解:()由題意得由A為銳角得,()由()知,所以 因為,所以,因此,當(dāng)時,有最大值,當(dāng)時,有最小值-3,所以所求函數(shù)的值域是(18)本小題主要考查直線與平面位置關(guān)系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。滿分12分。解法一：（）證明：在PAD中PA=PD,O為AD中點，所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)BDC.由（）知，POOB,PBO為銳角，所以PBO是異面直線PB與CD所成的角.因為AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以O(shè)B，在RtPOA中，因為AP，AO1，所以O(shè)P1，在RtPBO中，tanPBO所以異面直線PB與CD所成的角是.（）假設(shè)存在點Q，使得它到平面PCD的距離為.設(shè)，則，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點Q滿足題意，此時.解法二：()同解法一.()以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以異面直線PB與CD所成的角是， ()假設(shè)存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，此時，所以存在點Q滿足題意，此時.(19)本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分. ()證明：因為所以, 由點在函數(shù)y=f(x)的圖象上, 又所以 所以,又因為,所以, 故點也在函數(shù)y=f(x)的圖象上.()解:,由得.當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值注意到,從而當(dāng),此時無極小值；當(dāng)?shù)臉O小值為,此時無極大值；當(dāng)既無極大值又無極小值.(20)本小題主要考查概率的基本知識與分類思想,考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題/解愉問題的能力.滿分12分. 解:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B，“科目B補考合格”為事件B. ()不需要補考就獲得證書的事件為A1B1,注意到A1與B1相互獨立，則.答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為.()由已知得，2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得 故答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.(21)本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.滿分12分. 解法一：()設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點，因為MNF為正三角形， 所以, 即1 因此，橢圓方程為 ()設(shè) ()當(dāng)直線 AB與x軸重合時， ()當(dāng)直線AB不與x軸重合時， 設(shè)直線AB的方程為： 整理得 所以 因為恒有，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立. 又,所以對mR恒成立，即對mR恒成立.當(dāng)mR時，最小值為0，所以. ,因為a0,b0,所以,即,解得a或a,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時，x=1代入=1.因為恒有,，即1,解得a或a.（ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）.設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入得,故x1+x2=因為恒有,所以,得恒成立.=.由題意得對kR恒成立.當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，a=;當(dāng)時，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2（舍去），a，因此a.綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.（22）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分.解法一：（I）因為，所以函數(shù)定義域為（-1,+）,且.由得-1x0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.(II)因為f(x)在0,n上是減函數(shù)，所以,則an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i) 又lim,因此c1，即實數(shù)c的取值范圍是（-，1）.（II）由（i）知因為2=所以(nN*),則N*）解法二：（）同解法一