chap22-離散時間信號的時域分析.ppt

2.3 離散時間系統(tǒng)（數(shù)字濾波器）,離散時間系統(tǒng)的例子 累加器 滑動平均濾波器 指數(shù)加權(quán)的移動平均濾波器 線性內(nèi)插器 中值濾波器,離散時間系統(tǒng)的分類 線性系統(tǒng) 移不變系統(tǒng) 因果系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng) 無源和無損系統(tǒng) 沖激和階躍響應,2.3 離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系,1.離散系統(tǒng)的定義 離散系統(tǒng)在數(shù)學上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一性變換或運算。亦即將一個序列變換成另一個序列的系統(tǒng)，記為 y(n)=Tx(n) 通常將上式表示成圖2-20所示的框圖。,離散時間系統(tǒng)的功能是對給定的輸入序列進行處理得到輸出序列，所以離散時間系統(tǒng)就表示對輸入序列xn的運算，即yn= Txn，其結(jié)果也是一個序列yn。 算子T表示將輸入序列xn映射為單一輸出序列yn的變換。 通常，離散時間系統(tǒng)處理的信號都是數(shù)字信號，產(chǎn)生的信號也是數(shù)字信號，因此，又稱作數(shù)字濾波器。,輸入序列,輸出序列,2.3 離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系,圖2-20 離散系統(tǒng)的模型,2.3.1 離散時間系統(tǒng)的例子,累加器,其輸入輸出關(guān)系定義如下,2.3.1 離散時間系統(tǒng)的例子,2. 滑動平均濾波器,在平均處理中，有對同組數(shù)據(jù)多次檢測，再總體平均得到不受干擾的信號的例子，在很多情況下，不能對數(shù)據(jù)重復測量，所以，一般用滑動平均濾波的方法對信號進行估計(注意兩者區(qū)別),2.3.1 離散時間系統(tǒng)的例子,3.指數(shù)加權(quán)的移動平均濾波器,思考：若1會出現(xiàn)什么情況？,2.3.1 離散時間系統(tǒng)的例子,4.線性內(nèi)插器 用于估計離散時間系統(tǒng)中相鄰一對樣本值之間的樣本值大小 xn上抽樣（補零）xun線性內(nèi)插 用于圖像放大過程等。,2.3.1 離散時間系統(tǒng)的例子,5.中值濾波器 中值長度為2K+1的序列xn中，如果該序列中K個數(shù)據(jù)大于序列中的某個數(shù)據(jù)，剩下的K個數(shù)據(jù)小于該數(shù)據(jù)，則該數(shù)據(jù)稱為中值，表示為medxn。 常用于去除加性隨機突發(fā)噪聲。,5.中值濾波舉例,x = 2 80 6 3 y1 = Median2 2 80 = 2 y2 = Median2 80 6 = Median2 6 80 = 6 y3 = Median80 6 3 = Median3 6 80 = 6 y4 = Median6 3 3 = Median3 3 6 = 3,2.3.2 離散時間系統(tǒng)分類,線性系統(tǒng)（滿足疊加原理的系統(tǒng)） Tax1n+bx2n=aTx1n+bTx2n,2 系統(tǒng)的非移變特性 系統(tǒng)的非移變是指系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化。用數(shù)學表示為 Tx(nn0)=y(nn0) 即不管輸入信號作用的時間先后，輸出信號響應的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時間不同。 要證明一個系統(tǒng)是時不變的，必須解出Txn-m和 yn-m，看兩者是否相等 。 注意：前者僅考慮輸入，后者考慮所有變量影響。 線性時不變系統(tǒng)（Linear Time Invariant）既滿足迭加原理又具有時不變性的系統(tǒng)。,圖2-22 離散系統(tǒng)的非移變特性,(2) 線性非移變系統(tǒng) 線性非移變系統(tǒng)就是既滿足迭加原理 又具有非移變特性的系統(tǒng)，如圖2-24所示。,圖2-23 線性非移變系統(tǒng)模型,線性系統(tǒng)的例子累加器,3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性 (1) 穩(wěn)定性 對于一個系統(tǒng)，當輸入序列是有界時，其輸出也是有界的，則稱它是穩(wěn)定系統(tǒng)。用數(shù)學描述則為 如果 x(n)對于一切n 則 y(n)對于一切n,因為 其中假設x(n)M。,穩(wěn)定系統(tǒng) 當且僅當每一個有界輸入序列都產(chǎn)生一個有界的輸出序列時，則稱該系統(tǒng)在有界輸入有界輸出（BIBO, Bounded-Input-Bounded-Output）意義下穩(wěn)定。 也就是說，如果存在某個固定的有限正數(shù)Bx，使得 | xn| Bx ，for all n 則稱輸入xn有界。 如果在輸入xn有界條件下，存在固定的有限正數(shù)By，使得： | yn| By ，for all n 則稱系統(tǒng)穩(wěn)定。,因果系統(tǒng) 如果對每一個選取的n0，輸出序列在n= n0的值僅僅取決于輸入序列在n n0的值，則該系統(tǒng)就是因果的。 也就是說，該序列是不可預知的。 在因果系統(tǒng)中，輸出的變化不會先于輸入的變化。,（2）因果性 一個系統(tǒng)如果其輸出變化不會發(fā)生在輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是說對于因果系統(tǒng)，如果取n0 ,當n n0時，x1(n) = x2(n),則n n0時，y1(n)=y2(n)。一個線性非移變系統(tǒng)當n0時的因果充要條件是其單位取樣響應等于零,即 h(n)=0 n0 這個充要條件可以從y（n） x(n)*h(n) 的解析式中導出。,4.系統(tǒng)的差分方程描述 (1) 非遞歸型(FIR) 非遞歸型因果系統(tǒng)是輸出的現(xiàn)在值僅僅取決于輸入的現(xiàn)在值與輸入的過去值的系統(tǒng)。非遞歸，即輸出對輸入無反饋。因此，設在n時刻輸入x(n)與輸出y(n)的關(guān)系為 y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), 若系統(tǒng)是線性非移變的，y(n)可表示為,(2) 遞歸型(IIR) 遞歸型因果系統(tǒng)輸出的現(xiàn)在值不僅取決于輸入的現(xiàn)在值與過去值，還取決于輸出的過去值。 y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), +g,y(n-1),y(n+1),同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、因果時，可推得,常系數(shù)線性差分方程,無源和無損系統(tǒng) 無源指輸入能量有限且輸出序列的能量不超過輸入序列的能量。 無損指對于每一個輸入序列，輸出序列的能量等于輸入序列的能量。,2.3.3 系統(tǒng)的沖激和階躍響應,沖激響應（單位抽樣響應）h(n) 當輸入為單位抽樣序列(n)，其輸出h(n)稱為沖激響應（單位抽樣響應），即 h(n)=T(n),2.3.3 系統(tǒng)的沖激和階躍響應,階躍響應s(n) 當輸入為單位階躍序列u(n)，其輸出s(n)稱為階躍響應，即 s(n)=Tu(n),總結(jié)：線性時不變系統(tǒng)判斷,2.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性,LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 輸出序列為輸入序列與沖激響應序列的卷積和 卷積和的性質(zhì)：交換律，結(jié)合律，分配律，etc 穩(wěn)定條件和因果條件 常系數(shù)差分方程,LTI離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 沖激響應,LTI離散時間系統(tǒng)的性質(zhì)決定了它可以由其沖激響應hn完全描述，即已知hn ，可以得到系統(tǒng)對任意輸入的輸出響應。 下面給出詳細推導。 設LTI離散時間系統(tǒng)的沖激響應為hn，則有 。,由于任意序列可表示成單位抽樣序列的時移加權(quán)和，因此，任意輸入序列xn可以表示為 則 LTI離散時間系統(tǒng)的輸出序列，可以表示為輸入序列與系統(tǒng)沖激響應的卷積和。,卷積和的性質(zhì),交換律 結(jié)合律 分配律,卷積和的性質(zhì),平移性 與單位脈沖的卷積和,兩個有限長序列卷積的結(jié)果仍是有限長序列，通常，兩序列長度為M、N時，卷積得到的序列長度是M+N-1,卷積和的過程,卷積和求解過程： 設序列xn,h n,它們的卷積和yn定義為 卷積和計算分四步：時間反轉(zhuǎn)(折疊)，時移，相乘，相加。,信號的相關(guān)與卷積,相關(guān)的意義：計算信號之間的相似性,1.定義,互相關(guān)序列 表示一對能量信號xn和yn之間相似性的量度，定義如下：,參數(shù) l 稱為時延，表示這一對信號間的相對時移。l0,yn相對xn右移 l 個樣本 l0,yn相對xn左移 l 個樣本,下標xy表示x為參考序列，下標yx的互相關(guān)如下,信號xn自相關(guān)定義,即互相關(guān)定義中，令yn=xn,2.相關(guān)和卷積的關(guān)系,讓序列xn通過沖激響應為y-n的系統(tǒng)，得到的輸出序列即為xn與yn的互相關(guān)。,有限維 LTI離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 線性常系數(shù)差分方程,線性常系數(shù)差分方程 離散變量n的函數(shù)xn及其位移函數(shù)xn-m 線性疊加而構(gòu)成的方程. 一.表示法與解法 1.表示法,* 常系數(shù)：a0,a1,aN ; b0,b1,bM 均是常數(shù)（不含n）. *階數(shù)：max(N,M)，系統(tǒng)和差分方程的階數(shù) *線性：yn-k,xn-m各項只有一次冪,不含它們的乘積項。 2.解法 時域：迭代法，卷積和法; 變換域：Z變換法.,二.用迭代法求解差分方程,1.“松弛”系統(tǒng)的輸出 起始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，這種系統(tǒng) 用的較多，其輸出就是 。 因此，已知hn就可求出yn，所以必須知道hn的求法.,2.迭代法（以求hn為例） 例: 已知因果系統(tǒng)的常系數(shù)線性差分方程為yn-ayn-1=xn，試求單位沖激 響應hn. 解：因果系統(tǒng)有hn=0,n0 ; 方程可寫 作: yn=ayn-1+xn,注意： 1.一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。 2.我們討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。,1. 指系統(tǒng)的輸入與輸出的運算關(guān)系的表述方法。 2. 差分方程可直接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 例：yn=b0xn-a1yn-1 用表示相加器； 用 表示乘法器； 用 表示一位延時單元。,三.系統(tǒng)結(jié)構(gòu),例：差分方程yn= b0 xn-a1yn-1表示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：,LTI離散時間系統(tǒng)的分類,按沖激響應長度分：FIR和IIR 按輸出計算過程分：遞歸和非遞歸 按沖擊相應系數(shù)分：實數(shù)和復數(shù),本章綜述： 離散信號的傅氏變換及離散系統(tǒng),1.變換關(guān)系 對于連續(xù)信號xa(t)與其頻譜Xa()之間存在著傅氏變換關(guān)系，如圖2-28所示。前邊已經(jīng)討論了