riemann猜想漫談(十二)

Riemann 猜想漫談 (十二)作者：盧昌海Montgomery關(guān)于Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)分布的論文于1973年發(fā)表在了美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的系列出版物純數(shù)學(xué)專題討論文集(Proc.Symp.PureMath.)上。但最初幾年里它并沒(méi)有吸引多少眼球，因?yàn)檫@種存在于零點(diǎn)分布與隨機(jī)矩陣?yán)碚撝g的關(guān)聯(lián)無(wú)論有多么奇妙，在當(dāng)時(shí)都還只是一個(gè)純粹的猜測(cè)，既沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，也沒(méi)有直接的數(shù)值證據(jù)。我們?cè)诘谑?、十四兩?jié)中曾經(jīng)介紹過(guò)對(duì)Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)進(jìn)行大規(guī)模計(jì)算的部分歷史。在Montgomery的論文發(fā)表之初，人們對(duì)零點(diǎn)的計(jì)算還只進(jìn)行到幾百萬(wàn)個(gè)，而且如我們?cè)诘谑骞?jié)中所說(shuō)那些計(jì)算大都只是驗(yàn)證了“前N個(gè)零點(diǎn)”位于臨界線上，卻不曾涉及零點(diǎn)的具體數(shù)值。既然沒(méi)有具體數(shù)值，自然也就無(wú)法用來(lái)檢驗(yàn)Montgomery的對(duì)關(guān)聯(lián)假設(shè)了。更何況如我們?cè)诘谑?jié)中所說(shuō)為了檢驗(yàn)后者，我們需要研究虛部很大的零點(diǎn)，這顯然也是當(dāng)時(shí)的計(jì)算所遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能觸及的。因此當(dāng)時(shí)就連Montgomery自己也覺(jué)得對(duì)他的猜測(cè)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證將是極為遙遠(yuǎn)的將來(lái)的事情。但是Montgomery和我們?cè)诘谑墓?jié)中提到過(guò)的那位輸?shù)袅似咸丫频腪agier一樣大大低估了計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的發(fā)展速度。在Montgomery的論文發(fā)表五年之后的某一天，他又來(lái)到了普林斯頓。不過(guò)這次不是為了覲見(jiàn)Selberg，而是來(lái)做一個(gè)有關(guān)Riemann函數(shù)零點(diǎn)分布的演講。在那次演講的聽(tīng)眾中有一位來(lái)自32英里外的貝爾實(shí)驗(yàn)室(BellLabs)的年輕人，他被Montgomery所講述的零點(diǎn)分布與隨機(jī)矩陣?yán)碚撻g的關(guān)聯(lián)深深地吸引住了。這位年輕人所在的實(shí)驗(yàn)室恰好擁有當(dāng)時(shí)著名的Cray巨型計(jì)算機(jī)。這位年輕人就是我們?cè)诘谑?jié)中提到的Odlyzko。普林斯頓真是Montgomery的福地，五年前與Dyson在這里的相遇，使他了解到了零點(diǎn)分布與隨機(jī)矩陣?yán)碚撝g的神秘關(guān)聯(lián)，從而為他的研究注入了一種奇異的魅力。五年后又是在這里，這種奇異的魅力打動(dòng)了Odlyzko，從而有了我們?cè)诘谑?jié)中介紹過(guò)的Odlyzko對(duì)Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)的大規(guī)模計(jì)算分析。這些計(jì)算為Montgomery所猜測(cè)的零點(diǎn)分布與隨機(jī)矩陣?yán)碚撻g的關(guān)聯(lián)提供了大量的數(shù)值證據(jù)注一。這種關(guān)聯(lián)，即經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臍w一化之后的Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)的間距分布與Gauss幺正系綜(參閱第十八節(jié))的本征值間距分布相同，也因此漸漸地被人們稱為了Montgomery-Odlyzko定律(Montgomery-OdlyzkoLaw)注二。Montgomery-Odlyzko定律雖然是用Gauss幺正系綜來(lái)表述的，但我們?cè)诘谑斯?jié)中曾經(jīng)提到過(guò)，隨機(jī)矩陣?yán)碚摰谋菊髦捣植荚诰仃囯A數(shù)N時(shí)具有普適性。因此Montgomery-Odlyzko定律所給出的關(guān)聯(lián)并不限于Gauss幺正系綜。不僅如此，這種本征值分布的普適性還有一層含義，那就是它不僅在各種系綜下都相同，而且對(duì)系綜中任何一個(gè)典型的系統(tǒng)即任何一個(gè)典型的隨機(jī)厄密矩陣都相同。換句話說(shuō)，我們不僅不需要指定系綜的分布函數(shù)，甚至連系綜本身都不需要，只要隨便取出一個(gè)隨機(jī)厄密矩陣就可以了。因此Montgomery-Odlyzko定律實(shí)際上意味著Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)的分布可以用任何一個(gè)典型隨機(jī)厄密矩陣的本征值分布來(lái)描述注三。Montgomery當(dāng)初的研究如我們?cè)诘谑?jié)中介紹的只涉及零點(diǎn)分布的對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)。在他之后，人們對(duì)零點(diǎn)分布的高階關(guān)聯(lián)函數(shù)也作了研究。2019年，Z.Rudnick與P.Sarnak及E.B.Bogomolny與J.P.Keating分別“證明”了零點(diǎn)分布的高階關(guān)聯(lián)函數(shù)也與相應(yīng)的隨機(jī)厄密矩陣的本征值關(guān)聯(lián)函數(shù)相同。美中不足的是，我們不得不對(duì)這種“證明”加上引號(hào)，因?yàn)樗鼈兒蚆ontgomery的研究一樣，并不是真正嚴(yán)格的證明，它們或是引進(jìn)了額外的限制條件(如Z.Rudnick與P.Sarnak的研究)，或是運(yùn)用了本身尚未得到證明的Riemann猜想及強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想(如E.B.Bogomolny與J.P.Keating的研究)。但即便如此，所有這些理論及計(jì)算的結(jié)果還是非常清楚地顯示出Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)的分布與隨機(jī)厄密矩陣的本征值分布從而與由隨機(jī)厄密矩陣?yán)碚撍枋龅囊幌盗袕?fù)雜物理體系的性質(zhì)之間的確存在著令人矚目的關(guān)聯(lián)。Montgomery-Odlyzko定律在“經(jīng)驗(yàn)”意義上的成立幾乎已是一個(gè)毋庸置疑的事實(shí)。二十.Hilbert-Plya猜想那么在Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)這樣的純數(shù)學(xué)客體與由隨機(jī)矩陣?yán)碚撍枋龅募兾锢憩F(xiàn)象之間為什么會(huì)出現(xiàn)像Montgomery-Odlyzko定律那樣的關(guān)聯(lián)呢？很遺憾，這是一個(gè)我們至今也未能完全理解的謎團(tuán)。不過(guò)有意思的是，雖然在與Montgomery論文的發(fā)表已相隔幾十年的今天我們?nèi)晕茨軓氐桌斫釳ontgomery-Odlyzko定律的本質(zhì)，可是遠(yuǎn)在Montgomery的論文發(fā)表之前六十余年前的二十世紀(jì)一、二十年代，數(shù)學(xué)界就曾經(jīng)流傳過(guò)一個(gè)與Montgomery-Odlyzko定律極有淵源的猜想，這個(gè)猜想也是用兩個(gè)人的名字命名的，叫做Hilbert-Plya猜想(Hilbert-Plyaconjecture)，它的內(nèi)容是這樣的：Hilbert-Plya猜想：Riemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與某個(gè)厄密算符的本征值相對(duì)應(yīng)。當(dāng)然，確切地講，Hilbert-Plya猜想指的是：如果把Riemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)寫成=1/2+it的形式，則那些t與某個(gè)厄密算符的本征值一一對(duì)應(yīng)注四。我們知道，厄密算符的本征值全都是實(shí)數(shù)。因此如果那些t與某個(gè)厄密算符的本征值相對(duì)應(yīng)，則它們必定全都是實(shí)數(shù)，從而意味著所有非平凡零點(diǎn)=1/2+it的實(shí)部都等于1/2，這正是Riemann猜想的內(nèi)容。因此如果Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann猜想也必定成立。我們?cè)谏瞎?jié)中提到，Montgomery-Odlyzko定律表明Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)的分布可以用任何一個(gè)典型隨機(jī)厄密矩陣的本征值分布來(lái)描述。這種描述雖然奇妙，終究只是統(tǒng)計(jì)意義上的描述。但如果Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)干脆就直接與某個(gè)厄密矩陣的本征值一一對(duì)應(yīng)了。這是嚴(yán)格意義上的對(duì)應(yīng)，有了這種對(duì)應(yīng)，統(tǒng)計(jì)意義上的對(duì)應(yīng)自然就不在話下。因此Hilbert-Plya猜想雖然比Montgomery-Odlyzko定律早了六十余年，卻是一個(gè)比Montgomery-Odlyzko定律更強(qiáng)的命題！歷史真是富有戲劇性，從二十世紀(jì)早期開(kāi)始流傳的Hilbert-Plya猜想居然在無(wú)形之中與半個(gè)多世紀(jì)之后才出現(xiàn)的Montgomery-Odlyzko定律做了跨越時(shí)間的遙遠(yuǎn)呼應(yīng)。但這一呼應(yīng)實(shí)在是太遙遠(yuǎn)了，Montgomery的論文尚且因?yàn)槿狈ψC據(jù)而遭到冷場(chǎng)，Hilbert-Plya猜想自然就更無(wú)人問(wèn)津了。這種冷落是如此徹底，以至于當(dāng)Montgomery的論文及后續(xù)研究重新燃起人們對(duì)Hilbert-Plya猜想的興趣，并開(kāi)始追溯它的起源時(shí)，大家驚訝地發(fā)現(xiàn)不僅Hilbert和GeorgePlya(1887-1985)兩人不曾在人們找尋得到的任何發(fā)表物或手稿之中留下過(guò)一絲一毫有關(guān)Hilbert-Plya猜想的內(nèi)容。而且在Montgomery之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何與這一猜想有關(guān)的敘述。一個(gè)隱約流傳了大半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)猜想竟似乎沒(méi)有落下過(guò)半點(diǎn)文字記錄，卻一直流傳了下來(lái)，真是一個(gè)奇跡！但Odlyzko執(zhí)著地想要探尋這一奇跡的起點(diǎn)。那時(shí)候Hilbert早已去世，Plya卻還健在。1981年12月8日，Odlyzko給Plya發(fā)去了一封信，詢問(wèn)Hilbert-Plya猜想的來(lái)龍去脈。當(dāng)時(shí)Plya已是九十四歲的高齡，臥病在床，基本不再執(zhí)筆回復(fù)信件了，但Odlyzko的信卻很及時(shí)地得到了他的親筆回復(fù)。畢竟，對(duì)一位數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，自己的名字能夠與偉大的Hilbert出現(xiàn)在同一個(gè)猜想中是一種巨大的榮耀。Plya在回信中這樣寫道注五：很感謝你12月8日的來(lái)信。我只能敘述一下自己的經(jīng)歷。1914年初之前的兩年里我在Gttingen。我打算向Landau學(xué)習(xí)解析數(shù)論。有一天他問(wèn)我：“你學(xué)過(guò)一些物理，你知道任何物理上的原因使Riemann猜想必須成立嗎？”我回答說(shuō)，如果函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與某個(gè)物理問(wèn)題存在這樣一種關(guān)聯(lián)，使得Riemann猜想等價(jià)于該物理問(wèn)題中所有本征值都是實(shí)數(shù)這一事實(shí)，那么Riemann猜想就必須成立。三年后(1985年)Plya也離開(kāi)了人世，他給Odlyzko的這封回信便成了迄今所知有關(guān)Hilbert-Plya猜想的唯一文字記錄。至于早已去世的Hilbert在什么場(chǎng)合下提出過(guò)類似的想法，則也許將成為數(shù)學(xué)史上一個(gè)永遠(yuǎn)的謎團(tuán)了。二十一.Riemann體系何處覓？如上所述，假如Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)將與某個(gè)厄密算符的本征值一一對(duì)應(yīng)。我們知道厄密算符可以用來(lái)表示量子力學(xué)體系的哈密頓量，而厄密算符的本征值則對(duì)應(yīng)于該量子力學(xué)體系的能級(jí)。因此如果Hilbert-Plya猜想成立，則Riemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)有可能對(duì)應(yīng)于某個(gè)量子力學(xué)體系的能級(jí)，非平凡零點(diǎn)的全體則對(duì)應(yīng)于該量子力學(xué)體系的能譜。我們把這一特殊的量子力學(xué)體系稱為Riemann體系，把這一體系的哈密頓量稱為Riemann算符注六。那么這個(gè)神秘的Riemann體系如果存在的話會(huì)是一個(gè)什么樣的量子力學(xué)體系呢？這個(gè)問(wèn)題的答案目前當(dāng)然還不存在。不過(guò)，有關(guān)這個(gè)問(wèn)題目前所知道的最重要的線索顯然是來(lái)自Montgomery-Odlyzko定律。由于Montgomery-Odlyzko定律表明Riemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)分布與隨機(jī)厄密矩陣的本征值分布相同，因此我們不難猜測(cè)，Riemann算符應(yīng)該是一個(gè)特殊的隨機(jī)厄密矩陣。那么由這個(gè)特殊的隨機(jī)厄密矩陣所描述的量子力學(xué)體系會(huì)具有什么特點(diǎn)呢？這個(gè)問(wèn)題自二十世紀(jì)七十年代末以來(lái)有許多人研究過(guò)。1983年，法國(guó)核物理研究所(InstitutdePhysiqueNuclaire)的O.Bohigas、M.J.Giannoni和C.Schmit等人提出了一個(gè)猜想，即由隨機(jī)厄密矩陣所描述的量子體系在經(jīng)典極限下對(duì)應(yīng)于經(jīng)典混沌體系。這一猜想被稱為BohigasGiannoniSchmit(BGS)猜想注七，它獲得了一些數(shù)值計(jì)算的支持(比如對(duì)一些以經(jīng)典混沌體系為極限的特定量子體系的能級(jí)計(jì)算得出了與這一猜想相容的結(jié)果)，但迄今尚未得到嚴(yán)格證明。不過(guò)雖然尚未證明，但從物理角度上講，這一猜想具有一定的合理性，因?yàn)榕c經(jīng)典混沌體系相對(duì)應(yīng)的量子體系的波函數(shù)會(huì)在一定程度上秉承經(jīng)典軌跡的混沌性，從而使得哈密頓量的矩陣元呈現(xiàn)出隨機(jī)性，這正是隨機(jī)厄密矩陣的特點(diǎn)。由此看來(lái)，Riemann體系很可能是一個(gè)與經(jīng)典混沌體系相對(duì)應(yīng)的量子體系。那么，這個(gè)作為Riemann體系經(jīng)典近似的經(jīng)典混沌體系又具有什么樣的特征呢？這個(gè)問(wèn)題人們也做過(guò)一些研究。由于我們所知道的有關(guān)Riemann體系最明確的信息是這一體系的能譜因?yàn)樗cRiemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。因此研究Riemann體系的特征顯然要從能譜入手。描述量子體系能譜的一個(gè)很有用的工具是所謂的能級(jí)密度函數(shù)：(E)=n(E-En)這里的(E-En)是所謂的Dirac函數(shù)，求和對(duì)所有能級(jí)進(jìn)行。早在二十世紀(jì)六十年末和七十年代初，出生于瑞士、一度跟隨著名物理學(xué)家WolfgangPauli(1900-1958)學(xué)習(xí)過(guò)量子力學(xué)的物理學(xué)家MartinGutzwiller(1925-)就對(duì)這一能級(jí)密度函數(shù)的經(jīng)典極限進(jìn)行了研究，并得到了一個(gè)我們現(xiàn)在稱之為Gutzwiller求跡公式(Gutzwillertraceformula)的結(jié)果。在對(duì)應(yīng)的經(jīng)典體系具有混沌性的情形下，Gutzwiller求跡公式為：(E)=(E)+2pkAp,kcos(2kSp/h+p)這里的h為Planck常數(shù)，(E)是一個(gè)平均密度。我們感興趣的是第二項(xiàng)，它包含了一個(gè)對(duì)經(jīng)典極限下所有閉合軌道p以及沿閉合軌道的繞轉(zhuǎn)數(shù)k(k為正整數(shù))的雙重求和。求和式中的Sp是閉合軌道p的作用量，p是一個(gè)相位，被稱為Maslov相位(Maslovphase)或Maslov指標(biāo)(Maslovindex)。而Ap,k與閉合軌道的性質(zhì)有關(guān)，可以表示為：Ap,k=Tp/hdet(Mpk-I)1/2其中Tp是閉合軌道p的周期，Mp則是描述閉合軌道p的穩(wěn)定性的一個(gè)單值矩陣(monodromymatrix)。另一方面，我們也可以定義一個(gè)與量子體系的能級(jí)密度函數(shù)完全類似的Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)的密度函數(shù)：(t)=n(t-tn)并利用Riemann函數(shù)的性質(zhì)對(duì)這一密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。1985年，英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家MichaelBerry(1941-)給出了這一計(jì)算的結(jié)果：(t)=(t)-2pkln(p)/2exp-kln(p)/2cosktln(p)這個(gè)公式看似尋常，卻包含了一個(gè)非常值得注意的特點(diǎn)，那就是：其中的k雖然是正整數(shù)，p卻受到更大的限制。事實(shí)上，這個(gè)公式中的p是素?cái)?shù)而非一般的正整數(shù)！將這個(gè)結(jié)果與前面有關(guān)量子體系能級(jí)密度的計(jì)算相比較，我們發(fā)現(xiàn)為了使兩者一致，必須有：p=Tp=ln(p)Sp=(ht/2)TpAp,k=Tp/2exp(kTp/2)這其中最簡(jiǎn)潔而漂亮的關(guān)系式就是Tp=ln(p)，它表明與Riemann體系相對(duì)應(yīng)的經(jīng)典體系具有周期等于素?cái)?shù)對(duì)數(shù)ln(p)的閉合軌道！這無(wú)疑是這一體系最奇異的特征之一。研究Riemann體系的努力仍在繼續(xù)著，在一些數(shù)學(xué)物理學(xué)家的心目中，它甚至已經(jīng)成為了一種證明Riemann猜想的新的努力方向，即所謂的物理證明注八。會(huì)不會(huì)有一天人們?cè)谟钪娴哪硞€(gè)角落里發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇特的物理體系，它的經(jīng)典基本周期恰好是ln2,ln3,ln5？或者它的量子能譜恰好包含14.1347251,21.0220396,25.0108575(讀者們應(yīng)該還記得這些是什么數(shù)吧)？我們不知道。也許并不存在這樣的體系，但如果存在的話，它無(wú)疑是大自然最美麗的奇跡之一。只要想到像素?cái)?shù)和Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)這樣純粹的數(shù)學(xué)元素竟有可能出現(xiàn)在物理的天空里，變成優(yōu)美的軌道和絢麗的光譜線，我們就不能不驚嘆于數(shù)學(xué)與物理的神奇，驚嘆于大自然的無(wú)窮造化。而這一切，正是科學(xué)的偉大魅力所在。注釋1.這種數(shù)值證據(jù)之一便是我們?cè)诘谑?jié)中給出的關(guān)于Montgomery零點(diǎn)對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)的擬合曲線。2.這“定律”二字通常在物理學(xué)中用得比在數(shù)學(xué)中多，它很貼切地表達(dá)了這一命題雖有大量的數(shù)值證據(jù)，卻缺乏數(shù)學(xué)意義上的嚴(yán)格證明這一特點(diǎn)。3.當(dāng)然，別忘了N這一條件。4.自第十一節(jié)中引進(jìn)s=1/2+it以來(lái)，當(dāng)我們提到Riemann函數(shù)的非平凡零點(diǎn)時(shí)，實(shí)際指的往往是零點(diǎn)虛部的大小t，這一點(diǎn)讀者應(yīng)該能很容易地從上下文中判斷出來(lái)。5.Plya提到的函數(shù)應(yīng)該是指我們?cè)诘谖骞?jié)的注釋中提到的Riemann本人所定義的函數(shù)。Riemann猜想等價(jià)于那個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)為實(shí)數(shù)。6.嚴(yán)格講，量子力學(xué)中所有的可觀測(cè)量都是由厄密算符表示的，哈密頓量只是其中之一。不僅如此，由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力學(xué)中的物理量。從Plya給Odlyzko的信中也可以看到，Plya當(dāng)年并沒(méi)有對(duì)與Riemann函數(shù)非平凡零點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的“物理問(wèn)題”做具體的猜測(cè)。因此從Hilbert-Plya猜想到Riemann體系是后人所做的進(jìn)一步猜測(cè)。之所以做這種進(jìn)一步猜測(cè)，除了哈密頓量對(duì)物理體系所具有的重要性外，或許也是因?yàn)殡S機(jī)矩陣?yán)碚撟畛跏窃谘芯吭雍四芗?jí)時(shí)被引入物理學(xué)中的。另一方面，量子體系的能級(jí)是自然界中含義最為深刻的離散現(xiàn)象之一，這或許也是人們把注意力集中到這一方向上的原因之一。語(yǔ)文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對(duì)提高學(xué)生的水平會(huì)大有裨益。現(xiàn)在,不少語(yǔ)文教師在分析課