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2.1.1數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng).3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念1按照一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān),各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng)),第2項(xiàng),第n項(xiàng),.2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,an,簡(jiǎn)記為an思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎?答案不是順序不一樣知識(shí)點(diǎn)二通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式anf(n)來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不是所有數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式,若數(shù)列有通項(xiàng)公式,通項(xiàng)公式表達(dá)式不一定唯一知識(shí)點(diǎn)三數(shù)列的分類1按項(xiàng)數(shù)分類:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列2按項(xiàng)的大小變化分類:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列;從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列;各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列11,1,1,1是一個(gè)數(shù)列()2數(shù)列1,3,5,7,的第10項(xiàng)是21.()3每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式()4如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列()題型一數(shù)列的分類例1下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是()A1,B1,2,3,4,C1,D1,答案C解析A,B都是遞減數(shù)列,D是有窮數(shù)列,只有C符合題意反思感悟判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng),不能有例外跟蹤訓(xùn)練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列?哪些是遞增數(shù)列?哪些是遞減數(shù)列?哪些是擺動(dòng)數(shù)列?哪些是常數(shù)列?(1)2010,2012,2014,2016,2018;(2)0,;(3)1,;(4),;(5)1,0,1,sin,;(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有窮數(shù)列;(1)(2)是遞增數(shù)列;(3)是遞減數(shù)列;(4)(5)是擺動(dòng)數(shù)列;(6)是常數(shù)列題型二由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1,;(2),2,8;(3)9,99,999,9999.解(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an,nN.(2)數(shù)列中的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an,nN.(3)各項(xiàng)加1后,變?yōu)?0,100,1000,10000,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an10n1,nN.反思感悟要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,看哪些部分不隨序號(hào)的變化而變化,哪些部分隨序號(hào)的變化而變化,確定變化部分隨序號(hào)變化的規(guī)律,繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1),;(2),;(3)7,77,777,7777.解(1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)數(shù)乘以比序號(hào)數(shù)大1的數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an,nN.(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù),分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an,nN.(3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?,99,999,9999,即(101),(1001),(10001),(100001),即(101),(1021),(1031),(1041),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1),nN.題型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3(1)已知數(shù)列,那么0.94,0.96,0.98,0.99中是該數(shù)列中某一項(xiàng)值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)答案C解析數(shù)列,的通項(xiàng)公式為an,0.94,0.96,0.98,0.99,都在數(shù)列中,故有3個(gè)(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n210n4.問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?并求出最小值解an2n210n422,當(dāng)n2或3時(shí),an取得最小值,其最小值為a2a38.反思感悟(1)判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項(xiàng),相當(dāng)于已知y求x,若求出的x是正整數(shù),則y是該數(shù)列的項(xiàng),否則不是(2)利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值跟蹤訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(nN),那么是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)答案10解析,n(n2)1012,n10.(2)已知數(shù)列an中,ann225n(nN),則數(shù)列an的最大項(xiàng)是第_項(xiàng)答案12或13解析an22是關(guān)于n的二次函數(shù),又nN,當(dāng)n12或n13時(shí),an最大歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式典例觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個(gè)圖中有_小圓圈答案n2n1解析觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,121,231,341,451.故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n1)n1n2n1.素養(yǎng)評(píng)析歸納是邏輯推理的一類,可以發(fā)現(xiàn)新命題本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象,歸納規(guī)律,大膽猜想,小心求證”這一認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律1下列敘述正確的是()A數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列B數(shù)列0,1,2,3,可以表示為nC數(shù)列0,1,0,1,是常數(shù)列D數(shù)列是遞增數(shù)列答案D解析由數(shù)列的通項(xiàng)an知,an1an0,即數(shù)列是遞增數(shù)列,故選D.2數(shù)列2,3,4,5,的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aann,nNBann1,nNCann2,nNDan2n,nN答案B解析這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大1,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為ann1,nN.3數(shù)列an中,an2n23,nN,則125是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)答案8解析令2n23125,解得n8(n8舍去)所以125是該數(shù)列的第8項(xiàng)4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an,nN,則a1_;an1_.答案1解析a11,an1.5寫出數(shù)列:1,3,5,7,9,的一個(gè)通項(xiàng)公式解該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(1)n+1(2n1),nN.1與集合中元素的性質(zhì)相比較,數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)(1)確定性:一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中,即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的(2)可重復(fù)性:數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)(3)有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān)2并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式例如,的不同近似值,依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1,3.14,3.141,它沒(méi)有通項(xiàng)公式根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住其幾方面的特征:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征并對(duì)此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納3如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式,則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式一、選擇題1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an,nN,則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()A1,0,1,0B0,1,0,1C,0,0D2,0,2,0答案A解析當(dāng)n分別等于1,2,3,4時(shí),a11,a20,a31,a40.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n50,nN,則8是該數(shù)列的()A第5項(xiàng)B第6項(xiàng)C第7項(xiàng)D非任何一項(xiàng)答案C解析解n2n508,得n7或n6(舍去)3數(shù)列1,3,6,10,的一個(gè)通項(xiàng)公式是()Aann2n1BanCanDann21答案C解析令n1,2,3,4,代入A,B,C,D檢驗(yàn),即可排除A,B,D,故選C.4數(shù)列,的第10項(xiàng)是()A.B.C.D.答案C解析由數(shù)列的前4項(xiàng)可知,數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an,nN,當(dāng)n10時(shí),a10.5已知an1an30,nN,則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D不能確定答案A解析an1an3an,nN,即該數(shù)列每一項(xiàng)均小于后一項(xiàng),故數(shù)列an是遞增數(shù)列6設(shè)an(nN),那么an1an等于()A.B.C.D.答案D解析an,an1,an1an.7數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于()A.(10n1) B.(10n1)C.D.(10n1)答案C解析代入n1檢驗(yàn),排除A,B,D,故選C.8如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME7)的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1A1A2A2A3A7A81,如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去,記OA1,OA2,OAn,的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列an,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為()Aann,nNBan,nNCan,nNDann2,nN答案C解析OA11,OA2,OA3,OAn,a11,a2,a3,an,.二、填空題9觀察數(shù)列的特點(diǎn),用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填空:1,_,.答案3解析由于數(shù)列的前幾項(xiàng)中根號(hào)下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù),所以需要填空的數(shù)為3.10數(shù)列3,5,9,17,33,的一個(gè)通項(xiàng)公式是_答案an2n1,nN11323是數(shù)列n(n2)的第_項(xiàng)答案17解析由ann22n323,解得n17(負(fù)值舍去)323是數(shù)列n(n2)的第17項(xiàng)三、解答題12在數(shù)列an中,a12,a1766,通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù)(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)判斷88是不是數(shù)列an中的項(xiàng)?解(1)設(shè)anknb,k0.則解得an4n2,nN.(2)令an88,即4n288,解得n22.5N.88不是數(shù)列an中的項(xiàng)13在數(shù)列an中,ann(n8)20,nN,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)這個(gè)數(shù)列共有幾項(xiàng)為負(fù)?(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始遞增?(3)這個(gè)數(shù)列中有無(wú)最小值?若有,求出最小值;若無(wú),請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)閍nn(n8)20(n2)(n10),所以當(dāng)0n10,nN時(shí),an0時(shí),n,故數(shù)列an從第4項(xiàng)開始遞增(3)ann(n8)20(n4)236,根據(jù)二次
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