學(xué)案3空間圖形的基本關(guān)系與公理.ppt

考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,返回目錄,1.空間圖形的基本關(guān)系 （1）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有 兩種； （2）點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有個(gè) 兩種. （3）空間兩條直線的位置關(guān)系：,點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外,點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外,返回目錄,直線a和直線b在同一個(gè)平面內(nèi)，而且沒有公共點(diǎn)， 這樣的兩條直線叫作 ； 直線b和c只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的兩條直線叫作 ；不同在任何的一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作 . （4）直線與平面的位置關(guān)系 直線和平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)稱 ；直線和平面沒有公共點(diǎn)稱 ；直線和平面只有一個(gè)公共點(diǎn)稱 . （5）平面與平面的位置關(guān)系,異面直線,平行直線,相交直線,直線在平面內(nèi),直線和平面平行,直線和平面相交,返回目錄,平面和平面沒有公共點(diǎn)，稱平面與平面為 ；兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)平面為 . .,平行平面,相交平面,位置關(guān)系,返回目錄,平面和平面沒有公共點(diǎn)，稱平面與平面為 ；兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)平面為 . 2.空間圖形的公理 公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的 都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）.直線a在平面內(nèi)，記作 . 公理2 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)， 一個(gè)平面（即可以確定一個(gè)平面）.,平行平面,相交平面,所有的點(diǎn),a,有且只有,返回目錄,公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有 .平面與平面的公共直線為a，記作 . 公理4 平行于同一條直線的兩條直線 . 定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 .,相等或互補(bǔ),一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線,=a,平行,返回目錄,如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，過(guò)E，F(xiàn)，G的平面交AD于H，連接EH. （1）求AH:HD； （2）求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).,考點(diǎn)一 證明共點(diǎn)問(wèn)題,【分析】證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問(wèn)題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3得證.,返回目錄,返回目錄,【解析】（1） =2，EFAC. EF平面ACD. 而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH， EFGH.而EFAC，ACGH. =3，即AH:HD=3:1.,返回目錄,（2）證明：EFGH，且 ， ， EFGH,四邊形EFGH為梯形. 令EHFG=P,則PEH,而EH 平面ABD， PFG，F(xiàn)G 平面BCD，平面ABD平面BCD=BD， PBD.EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).,所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn). （1）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3. （2）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理.,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn).且CG= BC，CH= DC.求證： （1）E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面； （2）三直線FH，EG， AC共點(diǎn).,返回目錄,返回目錄,（1）連接EF，GH. 由E,F分別為AB,AD中點(diǎn)， EF BD,由CG= BC CH= DC， HG BD， EFHG且EFHG. EF,HG可確定平面, E,F,G,H四點(diǎn)共面.,（2）由（1）知,EFHG為平面圖形，且EFHG，EFHG. 四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線FH直線EG=O， 點(diǎn)O直線FH，直線FH 面ACD， 點(diǎn)O平面ACD.同理點(diǎn)O平面ABC. 又面ACD面ABC=AC，點(diǎn)O直線AC（公理2）. 三直線FH，EG，AC共點(diǎn).,返回目錄,在正方體ABCDA1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面 BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)C1,O,M共線.,【分析】證明三點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一 直線,再證明其余點(diǎn)也在該直線上.,考點(diǎn)二 點(diǎn)共線問(wèn)題,返回目錄,【證明】如圖,A1AC1C, A1A,C1C確定平面A1C. A1C 平面A1C,OA1C, O平面A1C,而O=平面BDC1線A1C, O平面BDC1, O在平面BDC1與平面A1C的交線上. ACBD=M, M平面BDC1且M平面A1C, 平面BDC1平面A1C=C1M, OCM,即M,O,C1三點(diǎn)共線.,返回目錄,返回目錄,證 明若干點(diǎn)共線也可用基本性質(zhì)3 為依據(jù),找出兩個(gè)平面的交線,然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn).,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延長(zhǎng)線分別交平面于P,Q,R三點(diǎn).求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.,證明:設(shè)ABC所在平面為,因?yàn)锳P=P,AP,所以與相交于過(guò)點(diǎn)P的直線l,即Pl.因?yàn)锽Q=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可證Rl.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.,返回目錄,【分析】四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),有兩種情況:一是恰有三條直線共點(diǎn);二是任意三條直線均不共點(diǎn),故應(yīng)分兩種情況證明.,考點(diǎn)三 共面問(wèn)題,證明：空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).,【解析】 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于O點(diǎn),直線d和a,b,c分別交于M,N,P三點(diǎn),份直線d和點(diǎn)O確定平面. O直線a,M直線a, 直線a平面. 同理b平面,c平面. a,b,c,d四線共面.,返回目錄,(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任意三條不共點(diǎn). 直線ab=M,直線a和b確定平面. ac=N,bc=Q,N,Q都在平面內(nèi). 直線a,b,c,d共面于. 綜合（1），（2）知,兩 兩相交而不過(guò)同一點(diǎn)的 四條直線必在同一平面內(nèi).,返回目錄,返回目錄,所謂點(diǎn)線共面問(wèn)題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題.（1）證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）.經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2）.（2）證明點(diǎn)線共面的常用方法:納入平面內(nèi)：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面,重合.反證法.（3）具體操作方法：證明幾點(diǎn)共面的問(wèn)題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).證明空間幾條直線共面問(wèn)題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi).,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中， 判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由. （1）直線AC1平面CC1B1B； （2）設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1 的中心分別為O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1； （3）點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面； （4）由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面是ADC1B1； （5）由A，C1，B1確定的平面和由A，C1， D確定的平面是同一平面.,返回目錄,(1)錯(cuò)誤，若AC1平面CC1B1B，則A平面 CC1B1B，這與A 平面CC1B1B的幾何事實(shí)矛盾. (2)正確，O，O1是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn). (3)錯(cuò)誤,點(diǎn)A，O，C在同一直線上. (4)正確，A，C1，B1不共線，確定平面. AB1C1D是平行四邊形，過(guò)AD與B1C1兩平行線確定 一平面, 又,都過(guò)不共線三點(diǎn)A,C1,B1，與重合. 點(diǎn)D平面AC1B1，即A,C1,B1確定的平面是ADC1B1. (5)正確，同（4）.,返回目錄,如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn).問(wèn)： （1）AM和CN是否是異面直線？ （2）D1B和CC1是否是異面直 線？請(qǐng)說(shuō)明理由.,考點(diǎn)四 異面直線的判定和證明,【分析】（1）由于M,N分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn)，可證明MNAC，因此AM與CN不是異面直線.（2）由空間圖形可感知D1B和CC1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法.,【解析】（1）不是異面直線.理由如下： M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn), MNA1C1， 又A1A D1D,而D1D C1C， A1A C1C，四邊形A1ACC1為平行四邊形. A1C1AC，得到MNAC， A,M,N,C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.,返回目錄,返回目錄,（2）是異面直線，證明如下： 假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)， 則B平面CC1D1，C平面CC1D1. BC平面CC1D1， 這與正方體ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾. 假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線.,返回目錄,返回目錄,如圖所示，E,F在AD上，G,H在BC上，圖中8條線段所在的直線，哪些直線互為異面直線？,先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線，如AB與CD，AC與BD，AD與BC互為異面直線，然后再把EG添入，那么易得EG分別與AB,AC,BD,DC成異面直線.同理，F(xiàn)H也與它們分別成 異面直線，EG與FH也互為異面直線.每?jī)蓷l異面直線稱 為“一對(duì)”，則共有12對(duì)異面直線.,對(duì)應(yīng)演練,返回目錄,【分析】 本題首先要考慮將題目中的直線AB與 CD所成的角是60反映在圖形上 ，故要考慮添加輔 助線，通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)行平移，從而得解.,考點(diǎn)五 異面直線所成的角,【解析】取AC的中點(diǎn)P，連結(jié)PM,PN，則有 PMAB，且PM= AB.PNCD，且PN= CD. 又AB=CD且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或60. MPN=60或30， 即直線AB與MN所成的角為 60或30.,返回目錄,返回目錄,求異面直線所成的角主要有定義法(平移法)和向量法. 利用定義法(平移法)求異面直線所成角的一般步驟為: (1)平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn),如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn),也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn). (2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角. (3)尋找:在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是0 90,所以所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB=60,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60. (1) 求四棱錐的體積； (2) 若E是PB的中點(diǎn)， 求異面直線DE與PA 所成角的余弦值.,返回目錄,返回目錄,（1）在四棱錐PABCD中， PO平面ABCD， PBO是PB與平面ABCD所成的角， 即PBO=60, 在RtPOB中， BO=ABsin30=1, 又POOB，PO=BOtan60= , 底面菱形的面積S=2 22 =2 ， 四棱錐PABCD的體積 VPABCD= 2 =2.,返回目錄,(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF， E為PB中點(diǎn)，EFPA. DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補(bǔ)角）. 在RtAOB中，AO=ABcos30= =OP, 在RtPOA中，PA= ，EF= . 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE= ， 由余弦定理得cosDEF= 異面直線DE與PA所成角的余弦值為 .,返回目錄,1.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表述. 2.主要題型的解題方法 （1）要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面,再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)（即“納入法”）. （2）要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可知