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考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,返回目錄,1.空間圖形的基本關(guān)系 (1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有 兩種; (2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有個(gè) 兩種. (3)空間兩條直線的位置關(guān)系:,點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外,點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外,返回目錄,直線a和直線b在同一個(gè)平面內(nèi),而且沒有公共點(diǎn), 這樣的兩條直線叫作 ; 直線b和c只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的兩條直線叫作 ;不同在任何的一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作 . (4)直線與平面的位置關(guān)系 直線和平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)稱 ;直線和平面沒有公共點(diǎn)稱 ;直線和平面只有一個(gè)公共點(diǎn)稱 . (5)平面與平面的位置關(guān)系,異面直線,平行直線,相交直線,直線在平面內(nèi),直線和平面平行,直線和平面相交,返回目錄,平面和平面沒有公共點(diǎn),稱平面與平面為 ;兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn),稱兩個(gè)平面為 . .,平行平面,相交平面,位置關(guān)系,返回目錄,平面和平面沒有公共點(diǎn),稱平面與平面為 ;兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn),稱兩個(gè)平面為 . 2.空間圖形的公理 公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上的 都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)).直線a在平面內(nèi),記作 . 公理2 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn), 一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面).,平行平面,相交平面,所有的點(diǎn),a,有且只有,返回目錄,公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有 .平面與平面的公共直線為a,記作 . 公理4 平行于同一條直線的兩條直線 . 定理空間中,如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角 .,相等或互補(bǔ),一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線,=a,平行,返回目錄,如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G分別在AB,BC,CD上,且滿足AE:EB=CF:FB=2:1,CG:GD=3:1,過(guò)E,F(xiàn),G的平面交AD于H,連接EH. (1)求AH:HD; (2)求證:EH,F(xiàn)G,BD三線共點(diǎn).,考點(diǎn)一 證明共點(diǎn)問(wèn)題,【分析】證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問(wèn)題,其基本理論是把直線看作兩平面的交線,點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn),由公理3得證.,返回目錄,返回目錄,【解析】(1) =2,EFAC. EF平面ACD. 而EF平面EFGH,且平面EFGH平面ACD=GH, EFGH.而EFAC,ACGH. =3,即AH:HD=3:1.,返回目錄,(2)證明:EFGH,且 , , EFGH,四邊形EFGH為梯形. 令EHFG=P,則PEH,而EH 平面ABD, PFG,F(xiàn)G 平面BCD,平面ABD平面BCD=BD, PBD.EH,F(xiàn)G,BD三線共點(diǎn).,所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn). (1)證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3. (2)證明三線共點(diǎn)的思路是:先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.實(shí)際上,點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理.,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示,已知空間四邊形ABCD,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn).且CG= BC,CH= DC.求證: (1)E,F(xiàn),G,H 四點(diǎn)共面; (2)三直線FH,EG, AC共點(diǎn).,返回目錄,返回目錄,(1)連接EF,GH. 由E,F分別為AB,AD中點(diǎn), EF BD,由CG= BC CH= DC, HG BD, EFHG且EFHG. EF,HG可確定平面, E,F,G,H四點(diǎn)共面.,(2)由(1)知,EFHG為平面圖形,且EFHG,EFHG. 四邊形EFHG為梯形,設(shè)直線FH直線EG=O, 點(diǎn)O直線FH,直線FH 面ACD, 點(diǎn)O平面ACD.同理點(diǎn)O平面ABC. 又面ACD面ABC=AC,點(diǎn)O直線AC(公理2). 三直線FH,EG,AC共點(diǎn).,返回目錄,在正方體ABCDA1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面 BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)C1,O,M共線.,【分析】證明三點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一 直線,再證明其余點(diǎn)也在該直線上.,考點(diǎn)二 點(diǎn)共線問(wèn)題,返回目錄,【證明】如圖,A1AC1C, A1A,C1C確定平面A1C. A1C 平面A1C,OA1C, O平面A1C,而O=平面BDC1線A1C, O平面BDC1, O在平面BDC1與平面A1C的交線上. ACBD=M, M平面BDC1且M平面A1C, 平面BDC1平面A1C=C1M, OCM,即M,O,C1三點(diǎn)共線.,返回目錄,返回目錄,證 明若干點(diǎn)共線也可用基本性質(zhì)3 為依據(jù),找出兩個(gè)平面的交線,然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn).,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延長(zhǎng)線分別交平面于P,Q,R三點(diǎn).求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.,證明:設(shè)ABC所在平面為,因?yàn)锳P=P,AP,所以與相交于過(guò)點(diǎn)P的直線l,即Pl.因?yàn)锽Q=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可證Rl.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.,返回目錄,【分析】四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),有兩種情況:一是恰有三條直線共點(diǎn);二是任意三條直線均不共點(diǎn),故應(yīng)分兩種情況證明.,考點(diǎn)三 共面問(wèn)題,證明:空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).,【解析】 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于O點(diǎn),直線d和a,b,c分別交于M,N,P三點(diǎn),份直線d和點(diǎn)O確定平面. O直線a,M直線a, 直線a平面. 同理b平面,c平面. a,b,c,d四線共面.,返回目錄,(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任意三條不共點(diǎn). 直線ab=M,直線a和b確定平面. ac=N,bc=Q,N,Q都在平面內(nèi). 直線a,b,c,d共面于. 綜合(1),(2)知,兩 兩相交而不過(guò)同一點(diǎn)的 四條直線必在同一平面內(nèi).,返回目錄,返回目錄,所謂點(diǎn)線共面問(wèn)題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題.(1)證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù):如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(公理1).經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面(公理2).(2)證明點(diǎn)線共面的常用方法:納入平面內(nèi):先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面,再證明其余元素確定平面,最后證明平面,重合.反證法.(3)具體操作方法:證明幾點(diǎn)共面的問(wèn)題可先取三點(diǎn)(不共線的三點(diǎn))確定一個(gè)平面,再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).證明空間幾條直線共面問(wèn)題可先取兩條(相交或平行)直線確定一個(gè)平面,再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi).,返回目錄,對(duì)應(yīng)演練,如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中, 判斷下列命題是否正確,并說(shuō)明理由. (1)直線AC1平面CC1B1B; (2)設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1 的中心分別為O,O1,平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1; (3)點(diǎn)A,O,C可以確定一個(gè)平面; (4)由點(diǎn)A,C1,B1確定的平面是ADC1B1; (5)由A,C1,B1確定的平面和由A,C1, D確定的平面是同一平面.,返回目錄,(1)錯(cuò)誤,若AC1平面CC1B1B,則A平面 CC1B1B,這與A 平面CC1B1B的幾何事實(shí)矛盾. (2)正確,O,O1是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn). (3)錯(cuò)誤,點(diǎn)A,O,C在同一直線上. (4)正確,A,C1,B1不共線,確定平面. AB1C1D是平行四邊形,過(guò)AD與B1C1兩平行線確定 一平面, 又,都過(guò)不共線三點(diǎn)A,C1,B1,與重合. 點(diǎn)D平面AC1B1,即A,C1,B1確定的平面是ADC1B1. (5)正確,同(4).,返回目錄,如圖所示,正方體ABCD A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn).問(wèn): (1)AM和CN是否是異面直線? (2)D1B和CC1是否是異面直 線?請(qǐng)說(shuō)明理由.,考點(diǎn)四 異面直線的判定和證明,【分析】(1)由于M,N分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn),可證明MNAC,因此AM與CN不是異面直線.(2)由空間圖形可感知D1B和CC1為異面直線的可能性較大,判斷的方法可用反證法.,【解析】(1)不是異面直線.理由如下: M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn), MNA1C1, 又A1A D1D,而D1D C1C, A1A C1C,四邊形A1ACC1為平行四邊形. A1C1AC,得到MNAC, A,M,N,C在同一個(gè)平面內(nèi),故AM和CN不是異面直線.,返回目錄,返回目錄,(2)是異面直線,證明如下: 假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi), 則B平面CC1D1,C平面CC1D1. BC平面CC1D1, 這與正方體ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾. 假設(shè)不成立,故D1B與CC1是異面直線.,返回目錄,返回目錄,如圖所示,E,F在AD上,G,H在BC上,圖中8條線段所在的直線,哪些直線互為異面直線?,先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線,如AB與CD,AC與BD,AD與BC互為異面直線,然后再把EG添入,那么易得EG分別與AB,AC,BD,DC成異面直線.同理,F(xiàn)H也與它們分別成 異面直線,EG與FH也互為異面直線.每?jī)蓷l異面直線稱 為“一對(duì)”,則共有12對(duì)異面直線.,對(duì)應(yīng)演練,返回目錄,【分析】 本題首先要考慮將題目中的直線AB與 CD所成的角是60反映在圖形上 ,故要考慮添加輔 助線,通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)行平移,從而得解.,考點(diǎn)五 異面直線所成的角,【解析】取AC的中點(diǎn)P,連結(jié)PM,PN,則有 PMAB,且PM= AB.PNCD,且PN= CD. 又AB=CD且其所成的角是60, PM=PN,MPN=120或60. MPN=60或30, 即直線AB與MN所成的角為 60或30.,返回目錄,返回目錄,求異面直線所成的角主要有定義法(平移法)和向量法. 利用定義法(平移法)求異面直線所成角的一般步驟為: (1)平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn),如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn),也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn). (2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角. (3)尋找:在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是0 90,所以所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,DAB=60,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,PO平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60. (1) 求四棱錐的體積; (2) 若E是PB的中點(diǎn), 求異面直線DE與PA 所成角的余弦值.,返回目錄,返回目錄,(1)在四棱錐PABCD中, PO平面ABCD, PBO是PB與平面ABCD所成的角, 即PBO=60, 在RtPOB中, BO=ABsin30=1, 又POOB,PO=BOtan60= , 底面菱形的面積S=2 22 =2 , 四棱錐PABCD的體積 VPABCD= 2 =2.,返回目錄,(2)取AB的中點(diǎn)F,連接EF,DF, E為PB中點(diǎn),EFPA. DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角). 在RtAOB中,AO=ABcos30= =OP, 在RtPOA中,PA= ,EF= . 在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE= , 由余弦定理得cosDEF= 異面直線DE與PA所成角的余弦值為 .,返回目錄,1.對(duì)于平面的三個(gè)公理,要深刻理解其含義,并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表述. 2.主要題型的解題方法 (1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面,再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法”). (2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線,只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可知
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