工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)上冊(cè)D44傅里葉級(jí)數(shù).ppt

,第四節(jié),一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù),三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù),第四章,傅里葉級(jí)數(shù),四、周期為2 l 的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :,(諧波函數(shù)),( A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :,令,得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為角頻率,為初相 ),(諧波迭加),稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).,定理 1. 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系,證:,同理可證 :,正交 ,上的積分等于 0 .,即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在,上的積分不等于 0 .,且有,但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在,二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù),定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且,右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有,證: 由定理?xiàng)l件,對(duì)在,逐項(xiàng)積分, 得,(利用正交性),類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得,葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為,的傅里葉系數(shù) ;,由公式 確定的,以,的傅里,的傅里葉級(jí)數(shù) .,稱為函數(shù),簡(jiǎn)介,定理3 (收斂定理, 展開定理),設(shè) f (x) 是周期為2 的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:,1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);,2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則 f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有,x 為間斷點(diǎn),其中,( 證明略 ),為 f (x) 的傅里葉系數(shù) .,x 為連續(xù)點(diǎn),注意: 函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.,簡(jiǎn)介,例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) ,它在,上的表達(dá)式為,解: 先求傅里葉系數(shù),將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù).,1) 根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于,2) 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近,說(shuō)明:,f (x) 的情況見右圖.,例2. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) ,上的表達(dá)式為,將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù).,解:,它在,說(shuō)明: 當(dāng),時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于,周期延拓,傅里葉展開,上的傅里葉級(jí)數(shù),定義在 ,上的函數(shù) f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法,其它,例3. 將函數(shù),則,解: 將 f (x)延拓成以,展成傅里葉級(jí)數(shù).,2為周期的函數(shù) F(x) ,當(dāng) x = 0 時(shí), f (0) = 0 , 得,說(shuō)明: 利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.,設(shè),已知,又,三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù),1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),定理4 . 對(duì)周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為,周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) ,它的傅里葉系數(shù)為,正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,例4. 設(shè),的表達(dá)式為 f (x) x ,將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù).,f (x) 是周期為2 的周期函數(shù),它在,解: 若不計(jì),周期為 2 的奇函數(shù),因此,n1,根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù):,級(jí)數(shù)的部分和,逼近 f (x) 的情況見右圖.,n2,n3,n4,n5,2. 定義在0,上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),周期延拓 F (x),f (x) 在 0, 上展成,周期延拓 F (x),余弦級(jí)數(shù),奇延拓,偶延拓,正弦級(jí)數(shù),f (x) 在 0, 上展成,例5. 將函數(shù),分別展成正弦級(jí),數(shù)與余弦級(jí)數(shù) .,解: 先求正弦級(jí)數(shù).,去掉端點(diǎn), 將 f (x) 作奇周期延拓,注意:,在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù),因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,再求余弦級(jí)數(shù).,將,則有,作偶周期延拓 ,說(shuō)明: 令 x = 0 可得,即,四、周期為2 l 的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),周期為 2l 的函數(shù) f (x),周期為 2 的函數(shù) F(z),變量代換,將F(z) 作傅氏展開,f (x) 的傅氏展開式,狄利克雷( Dirichlet )條件:,1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為,(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處),其中,定理.,說(shuō)明:,其中,(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處),如果 f (x) 為偶函數(shù), 則有,(在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處),其中,注: 無(wú)論哪種情況 ,在 f (x) 的間斷點(diǎn) x 處, 傅里葉級(jí)數(shù),都收斂于,如果 f (x) 為奇函數(shù), 則有,例6. 把,展開成,(1) 正弦級(jí)數(shù); (2) 余弦級(jí)數(shù).,解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有,(2) 將,作偶周期延拓,則有,傅里葉 (1768 1830),法國(guó)數(shù)學(xué)家.,他的著作熱的解析,理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性,書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和,三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅,里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分.,最卓越的工具.,以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的,文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題,傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展,都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.,狄利克雷 (18 05 1859),德國(guó)數(shù)學(xué)家.,對(duì)數(shù)論, 數(shù)學(xué)分析和,數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn),是解析數(shù)論,他是最早提倡嚴(yán)格化,方法的數(shù)學(xué)家.,函數(shù) f (x) 的傅里葉