平面直角坐標(biāo)系中的基本公式.ppt

2.1.2平面直角坐標(biāo)系中的 基本公式,一. 兩點(diǎn)間的距離公式,當(dāng)AB不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，也不在坐標(biāo)軸上時(shí)，從點(diǎn)A和點(diǎn)B分別向x軸，y軸作垂線 AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分別為A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直線 BB1 和 AA2 相交于點(diǎn) C。,C,在直角ACB中， |AC|=|A1B1|=|x2x1|，|BC|=|A2B2|=|y2y1|，,由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2x1|2+|y2y1|2，,由此得到計(jì)算兩點(diǎn)間距離的公式： d(A，B)=|AB|,C,兩點(diǎn)間的距離公式,已知：A ( x1，y1 )，B ( x2 , y2 ),則AB兩點(diǎn)間距離的公式： d(A，B),當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，d(A，B)=|x2x1|；（y2=y1）,當(dāng)AB平行于y軸時(shí)，d(A，B)=|y2y1|； (x2=x1),當(dāng)B為原點(diǎn)時(shí)，d(A，B)= (x2=y2=0),特別地：,已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，為了運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式正確地計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離，我們可分步驟計(jì)算：,（1）給兩點(diǎn)的坐標(biāo)賦值：(x1，y1)，(x2，y2). （2）計(jì)算兩個(gè)坐標(biāo)的差，并賦值給另外兩個(gè)變量，即x=x2x1，y=y2y1.,求兩點(diǎn)距離的步驟,（3）計(jì)算 d=,（4）給出兩點(diǎn)的距離 d.,通過(guò)以上步驟，對(duì)任意的兩點(diǎn)，只要給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就可一步步地求值，最后算出兩點(diǎn)的距離.,例1. 已知A(2，4)，B(2，3)，求d(A，B)。,解：x1=2，x2=2，y1=4，y2=3，,x=x2x1=4， y=y2y1=7，, d(A，B)=,例題解析,例2已知點(diǎn)A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求證：ABC是等腰三角形。,證明：因?yàn)?d (A，B) =,d (A，C) =,d (B，C) =,因?yàn)閨AC|=|BC|，且A，B，C不共線，,所以ABC是等腰三角形。,坐標(biāo)法,坐標(biāo)法：就是通過(guò)建立坐標(biāo)系（直線坐標(biāo)系或者是直角坐標(biāo)系），將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再通過(guò)一步步地計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題的方法.,用坐標(biāo)法證題的步驟,（1）根據(jù)題設(shè)條件，在適當(dāng)位置建立坐標(biāo)系（直線坐標(biāo)系或者是直角坐標(biāo)系）； （2）設(shè)出未知坐標(biāo)； （3）根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)出所需未知點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而推導(dǎo)結(jié)論.,例3已知ABCD，求證: AC2+BD2=2(AB2+AD2).,證明：取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，,依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可設(shè) 點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0，0)， B(a，0)，C(b，c)，D(ba，c)，,AB2=a2，AD2=(ba)2+c2，AC2=b2+c2， BD2=(b2a)2+c2，,AC2+BD2=4a2+2b2+2c24ab =2(2a2+b2+c22ab)，,AB2+AD2=2a2+b2+c22ab，,所以 ：AC2+BD2 = 2 (AB2+AD2).,二. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式,已知A(x1，y1), B(x2，y2)兩點(diǎn)，M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則有 x - x1 = x 2 - x, y - y1 = y2 - y,（1）兩點(diǎn)間線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是常遇到的問(wèn)題，中點(diǎn)法也是數(shù)形結(jié)合中?？疾斓闹R(shí)點(diǎn)，這一思想常借助于圖象的線段中點(diǎn)特征加以研究，確定解題策略。,（2）若已知點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(x0，y0)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為P(2x0x，2y0y).,（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)可以求得ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐標(biāo)為,例4已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。,解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線的中點(diǎn)相同，所以它們的坐標(biāo)也相同。設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，,則,解得,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，4).,小結(jié)： 作業(yè)：,再見(jiàn),例5 已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，ACB=90，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4,解：若點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C(x，0)，由ACB=90， 得 |AB|2=|AC|2+|BC|2，, (13)2+(31)2=(x+1)2+32+(x3)2+12， 解得x=0或x=2,若點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C(0，y)，由ACB=90得|AB|2=|AC|2+|BC|2， 可得y=0 或y=4，,而其中原點(diǎn)O(0，0)計(jì)算了兩次， 故選C.,例6ABD和BCE是在直線AC同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，用坐標(biāo)法證明：|AE|=|CE|.,證明：如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.,設(shè)ABD和BCE的邊長(zhǎng)分別為a和c，,則A(a，0)，C(c，0),D ，E ，,于是|AE|=,|CD|=,所以|AE|=|CD|.,例7.求函數(shù)y= 的最小值.,解：函數(shù)的解析式可化為,令A(yù)(0，1)，B(2，2)，P(x，0)， 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值.,A(0，1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(0，1)，,即函數(shù)y= 的最小值為,練習(xí)題：,1 如果一條線段的長(zhǎng)是5個(gè)單位，它的一個(gè)端點(diǎn)是A(2，1)，另一個(gè)端點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1，則端點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是（ ） （A）3 （B）5 （C）3或5 （D）1或3,C,2設(shè)A(1，2)，在x軸上求一點(diǎn)B，使得|AB|=5，則B點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） （A）(2，0)或(0，0) （B）( ，0) （C）( ，0) （D）( ，0)或( ，0),D,3若x軸上的點(diǎn)M到原點(diǎn)及點(diǎn)(5，3)的距離相等，則M點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） （A）(2，0) （B）(1，0) （C）(1.5，0) （D）(3.4，0),D,4若點(diǎn)M在y軸上，且和點(diǎn)(4，1)， (2，3)等距離，則M點(diǎn)的坐標(biāo)是 .,5若點(diǎn)P(x，y)到兩點(diǎn)M(2，3)和N(4，5)的距離相等，則x+y的值等于 .,7,6已知點(diǎn)A(x，5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對(duì)