函數(shù)的連續(xù)性(137).pptVIP

第一章 函數(shù) 極限 連續(xù),第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性,一、連續(xù)函數(shù)的概念,二、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),四、函數(shù)間斷點及其分類,一、連續(xù)函數(shù)的概念,定義 1 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x0 的一個鄰域內(nèi)有定義，,則稱函數(shù) y = f ( x ) 在 x0 處連續(xù)，或稱 x0 為函數(shù) y = f (x) 的連續(xù)點 .,且,記 x = x - x0，且稱之為自變量 x 的改變量或增量，,記 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x) 稱為函數(shù) y = f (x) 在 x0 處的增量.,那么函數(shù) y = f (x) 在 x0 處連續(xù)也可以敘述為：,定義 2 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x0 的一個鄰域內(nèi)有定義，,如果,則稱函數(shù) y = f (x) 在 x0 處連續(xù).,若函數(shù) y = f (x) 在點 x0 處有：,則分別稱函數(shù) y = f (x) 在 x0 處是左連續(xù)或右連續(xù).,由此可知，函數(shù) y = f (x) 在 x0 處連續(xù)的充要條件可表示為：,即函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點處左、右連續(xù),若函數(shù) y = f (x) 在開區(qū)間 I 內(nèi)的各點處均連續(xù)，,若函數(shù) y = f (x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則理解為除在 (a, b) 內(nèi)連續(xù)外，,在左端點 a 為右連續(xù)，在右端點 b 為左連續(xù).,定義 1 表明，函數(shù)在某點連續(xù)含有三層意思：,它在該點的一個鄰域內(nèi)有定義，極限存在且極限值等于該點處的函數(shù)值.,則稱該函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù).,例 1 證明函數(shù) y = sin x 在其定義域內(nèi)連續(xù) .,證 任取 x0 (- , + )，則因, y = f (x0 + x) - f (x0) = sin(x0 + x) - sinx0,這表明 y = sin x 在 x0 處連續(xù)，,由于 x0 的任意性可知它在定義域內(nèi)連續(xù) .,例 2,解 因為,所以 f (x) 在 x = 0 處連續(xù).,例 3,證 因為,且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 處左，右連續(xù)，所以它在 x = 0 處連續(xù) .,二、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),定理 1 若函數(shù) f (x) 和 g (x) 均在 x0 處連續(xù)，,則 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) g (x) 在該點亦均連續(xù)，,又若 g(x0) 0，,故由極限的運算法則可得,因此 f (x) g (x) 在 x0 處連續(xù) .,證 我們僅證明 f (x) g (x) 的情形 .,因為 f (x) ，g (x) 在 x0 處連續(xù)，,所以有,定理 3 若函數(shù) y = f (x) 在某區(qū)間上單值、單調(diào)且連續(xù)，,即它們同為遞增或同為遞減.,則它的反函數(shù) x = f -1 ( y ) 在對應的區(qū)間上也單值、單調(diào)且連續(xù)，且它們的單調(diào)性相同，,定理 4 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.,定理 2 設(shè)函數(shù) y = f (u) 在 u0 處連續(xù)，函數(shù) u = (x) 在 x0 處連續(xù)，且 u0 = (x0) ，則復合函數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù) .,例 4,解 因為 arcsin(logax) 是初等函數(shù)，且 x = a 為它的定義區(qū)間內(nèi)的一點，,所以有,例 5,應當先將該函數(shù)的分子有理化，,消去為零的因子 x，,再計算極限，,即,一般地，,解 這是一個 型的極限問題.,例 7,解,例 8,解,令 x a t ，由 x a，則 t 0.,三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理 5 若函數(shù) y = f (x) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù),(2) 在 a, b 上至少存在一點 x2，,(1) 在 a, b 上至少存在一點 x1，,使得對于任何 x a, b，恒有 f (x1) f (x).,使得對于任何 x a, b，恒有 f (x2) f (x).,x1,x2,則,若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，,f (x1)， f (x2) 分別稱為函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間 a, b 上的最大值和最小值，定理 5 又稱最大值和最小值存在定理 .,如函數(shù) y = x2 在區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)就無最大值和最小值 .,則它在該區(qū)間內(nèi)未必能取得最大值和最小值，,則它在 a,b內(nèi)取得介于其最小值和最大值之間的任何數(shù).,定理 6 若 f (x) 在 a, b 上連續(xù)，,推論 若 f (x) 在 a, b 上連續(xù)，且 f (a) f (b) 0，,推論 若函數(shù) y = f (x) 在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在該區(qū)間上有界 .,a,b,y = f (x),則至少存在一個 c (a,b)，使得 f (c) = 0 .,c,例 9 證明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 內(nèi)至少有一個實根.,證 設(shè) f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 0, 1 上連續(xù)且 f (0) = 1 0， f (1) = - 2 0，,因此由推論可知，至少存在一點 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0.,這表明所給方程在 (0, 1) 內(nèi)至少有一個實根 .,四、函數(shù)間斷點及其分類,定義 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x0 的一個鄰域有定義(在 x0 可以沒有定義)，,則稱 x0 是函數(shù) y = f (x) 的間斷點. 也稱函數(shù)在該點間斷.,如果函數(shù) f (x) 在點 x0 處不連續(xù)，,1.第一類間斷點,若 x0 為函數(shù) y = f (x) 的間斷點，,則稱 x0 為 f (x) 的第一類間斷點.,即左、右極限都存在的間斷點為第一類間斷點 .,例 10 證明 x = 0 為函數(shù),證 因為該函數(shù)在 x = 0 處沒有定義, 所以 x = 0 是它的間斷點，,又因為,所以 x = 0 為該函數(shù)的第一類間斷點 .,例 11 證明函數(shù),在 x = 0 處是第一類間斷點.,因此 x = 0 是該函數(shù)的第一類間斷點 . 這類間斷點又稱為可移去間斷點.,證,即該函數(shù)在 x = 0 處的左、右極限存在，,但是由于,因為，如果修改定義 f (0) = 1，,所以，左、右極限存在且相等的間斷點稱為可移去間斷點.,在 x = 0 連續(xù).,則函數(shù),2.第二類間斷點,若 x0 是函數(shù) y = f (x) 的間斷點，,且在該點至少有一個單側(cè)極限不存在，,則稱 x0 為 f (x) 的第二類間斷點.,故 x = 0 是該函數(shù)的間斷點.,即該函數(shù)在 x = 0 處的左、右極限都不存在，,所以 x = 0 是該函數(shù)的第二類間斷點.,例如，,例 12 證明 x = 1 是,的第二類間斷點.,證 所給函數(shù)在 x = 1 處沒有定義，因此 x