函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(2).ppt

1,第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,一、函數(shù)的連續(xù)性,二、函數(shù)的間斷點,三、小結(jié) 思考題,2,【引言】,自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、 河水的流動、動植物的生長等等都是 連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上 的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性.,3,一、函數(shù)的連續(xù)性,1.【增量】,【增量的幾何解釋】,4,2.【連續(xù)的定義】,【概念描述】,【定義1】,連續(xù)的本質(zhì),5,【定義2】,【注】f (x)在x0處連續(xù)的三個條件（三條缺一不可）,則稱函數(shù) y = f (x) 在點x0處連續(xù).,6,【注解】,條件,條件,在本質(zhì)上是一樣的，只是形式上的不同,條件式清楚地反映了連續(xù)概念的實質(zhì)， 即,自變量產(chǎn)生微小變化時，函數(shù) 的變化也很微小.,但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分析時，常應(yīng)用條件式（因為條件要具體計算y,往往很麻煩）,7,【補例1】,【證】,由定義2知,f (x) 在x0的鄰域內(nèi)顯然有定義,8,3.【單側(cè)連續(xù)】,【左連續(xù)】,【右連續(xù)】,【定理】,9,【補例2】,【解】,右連續(xù)但不左連續(xù)，,10,4.【連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間】,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,【幾何表現(xiàn)】,閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)的集合,11,【相關(guān)結(jié)論】,5中已證多項式 f (x)有,在定義域內(nèi)連續(xù).,3 例5 已證明,12,【例3】,【證】,【相關(guān)結(jié)論】,13,二、函數(shù)的間斷點,【描述】,如果上述三個條件中只要有一個不滿足，則稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處不連續(xù)（或間斷），并稱點 x0 為 f (x) 的不連續(xù)點（或間斷點）.,函數(shù) f (x) 在點x0處連續(xù)必須滿足的三個條件,14,1. 【間斷點定義】,設(shè)函數(shù) f (x) 在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義。在此前提下，如果函數(shù) f (x) 有下列三種情形之一：,在 x=x0 沒有定義；,雖在 x=x0 有定義，但 不存在；,雖在 x=x0 有定義，且 存在，但,則函數(shù) f (x) 在點 x0 處不連續(xù)（或間斷），并稱點 x0 為 f (x) 的不連續(xù)點（或間斷點）.,15,【特別強調(diào)】,連續(xù)點要求在x0的某鄰域內(nèi)有定義；,間斷點要求在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義；,失去這個前提，則不能研究點x0的連續(xù)性.,例如,定義域是一些離散的點的集合，在這些點的某去心鄰域 f (x) 無定義,則這些點既不是f (x)的連續(xù)點，也不是它的間斷點,連續(xù)點x0與間斷點x0的共性是： 均要求在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義（ 【思考】 為什么？），在這個前提下才有“f (x)的不連續(xù)點就是它的間斷點”成立.,16,跳躍間斷點,【補例4】,【解】,2.【函數(shù)間斷點的幾種常見類型】,(1).【第一類間斷點】(左右極限都存在的點).,17,可去間斷點,【補例5】,18,【解】,【說明】 可去間斷點只要改變（原來有定義時）或者補充（原來無定義時）間斷點處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點，故稱其為可去間斷點.,19,如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.,【特點】,可去型 ： 左右極限存在且相等.,跳躍型： 左右極限存在但不相等.,20,(2)【第二類間斷點】,【補例6】,【解】,【特點】,這種情況稱為無窮間斷點,21,【例7】,【解】,這種情況稱為振蕩間斷點.,【特點】,振蕩而不存在，但均不為，稱之.,22,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.,僅在x = 0 處連續(xù), 其余各點處處間斷.特別地,課后習(xí)題P65 5（3）反例,【注意】 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.,23,在定義域R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,【觀察練習(xí)】立即說出下列間斷點類型:,課后習(xí)題P65 5（2）反例,24,又如:,無窮間斷點,振蕩間斷點,可去間斷點,25,【補例8】,【解】,26,【典型補充例題】備用機動題,【補充1】,【解】,的間斷點為,因為,所以,是 的第一類間斷點（跳躍型）,27,【補充2】,【解】,則,是 的第一類（可去）間斷點.,28,右連續(xù),三、小結(jié),左連續(xù),第一類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,左右極限都存在,第二類間斷點,無窮間斷點,